腦筋急轉

數學家的故事 (十七) - 朝霞滿天 - 給 朝霞滿天 發送悄悄話 朝霞滿天 的博客首頁 朝霞滿天 的個人群組 (27503 bytes) () 08/30/2021  07:17:09

數學家的故事 (十三) - 朝霞滿天 - 給 朝霞滿天 發送悄悄話 朝霞滿天 的博客首頁 朝霞滿天 的個人群組 (26356 bytes) () 08/28/2021  16:16:08

數學家的故事(十二) - 朝霞滿天 - 給 朝霞滿天 發送悄悄話 朝霞滿天 的博客首頁 朝霞滿天 的個人群組 (12371 bytes) () 08/25/2021  05:16:26

一道有趣的邏輯題 1 - 朝霞滿天 - 給 朝霞滿天 發送悄悄話 朝霞滿天 的博客首頁 朝霞滿天 的個人群組 (11670 bytes) () 08/10/2021  06:00:43

若隻有ab兩人 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (3227 bytes) () 08/10/2021  18:21:49

裁縫的難題:一塊布上出現了3個圓洞,要求用一塊半徑最小的圓布覆蓋這些洞。如果不止3個破洞呢?本世紀最難的數學問題 - 競選 - 給 競選 發送悄悄話 競選 的博客首頁 競選 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  00:46:33

本世紀最難的數學問題:給定同一平麵上的3個圓,今要用一個半徑最小的圓覆蓋這些圓,求其半徑大小。如果不止3個圓呢? - 競選 - 給 競選 發送悄悄話 競選 的博客首頁 競選 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  00:48:57

更難:推廣到3維空間 - 競選 - 給 競選 發送悄悄話 競選 的博客首頁 競選 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  00:51:00

這個比以前那個容易。因為裁縫那裏沒有洞中洞。也沒有洞連洞。三個相互分離的圓。我那個解析幾何的辦法可以用在這裏。 - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  11:18:55

未必可以,因為 - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (233 bytes) () 08/08/2021  16:20:31

我那個就是找與三個圓都內接的圓。本身就是不一定有解。 - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  20:21:40

更多的情況是目標大圓與兩個圓內切,第三個圓包含在大圓內 - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  21:24:14

貢獻一個一般解的思路,本題適合電腦來做 - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (1298 bytes) () 08/08/2021  16:09:06

似乎可行,我自己也沒有答案 - 競選 - 給 競選 發送悄悄話 競選 的博客首頁 競選 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  19:34:05

應該可以吧 - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  21:29:16

如果用解析幾何和編程的思維,我覺得可以這樣表述,此法可推廣到多圓或三維(圓變球) - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (334 bytes) () 08/08/2021  19:52:42

模糊記得這麽道題:x=sqrt(2), 規定指數符號是右結合,即 x^x^x^x=x^( x^(x^x)); - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (56 bytes) () 08/05/2021  18:44:50

8,然後旋轉90度:) - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (62 bytes) () 08/05/2021  19:17:26

收斂;可能我沒表達清楚,就是根號二的根號二次方,結果再作為根號二的指數,如此無限延續 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/05/2021  22:06:47

是不是:(2)^(1/2)^(1/2)^(1/2)...... (第一個x 換成2,後麵的x都是1/2)? - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (0 bytes) () 08/05/2021  23:06:57

不是,x就是根號二,全都是 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/05/2021  23:41:42

如果收斂到y, 則有x^y=y, 這是不可能的,因為x>1,易證:x^y>y - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/06/2021  05:18:08

見內 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (118 bytes) () 08/06/2021  11:55:00

哦,倒是沒有理解錯題意,我也得出x^y=y, 但最後一步推論錯了,y=2應該是唯一解 - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/06/2021  13:03:10

已經很接近了,人容易被直覺欺騙 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/06/2021  14:12:31

必須先證明收斂才能做 x^y 的運算 - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (0 bytes) () 08/06/2021  16:17:10

如果收斂,既可以得出x^y = y; 也可以得出 y = y^x (這時,y= 1, 0) - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (141 bytes) () 08/06/2021  16:31:47

不能得出y=y^x, 這就是我一直要避免被誤解的,指數符號是右結合;至於收斂,用計算器按幾下就發現了^_^ - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/06/2021  16:39:25

在有限情況下a_(n+1) = x^(a_n) = a_n^(x)是一個錯誤。 - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (0 bytes) () 08/06/2021  17:51:03

突然聯想到看過的一道題,怎樣證明:存在無理數的無理數冪是一個有理數 - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/06/2021  17:59:59

試一下,沒有把握, 有些公司是現推導的 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (212 bytes) () 08/06/2021  18:57:55

不嚴謹,隻要具體找到一個這樣的數就行 - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/07/2021  10:43:38

X=Sqrt(3), y=2/log3 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/07/2021  11:08:27

那你還要證明log3是無理數?可以這樣證明: - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (151 bytes) () 08/07/2021  17:21:47

你這個方法很巧妙 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/07/2021  20:37:37

綜合上麵的討論,給一個完整的解。S=2. - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (776 bytes) () 08/06/2021  22:15:07

很完美,證明遞增好像沒有更簡單的辦法 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/07/2021  11:12:13

推廣一下,x=n^(1/n), n為自然好數。 - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (29 bytes) () 08/08/2021  16:30:10

好像是的!我們幾個人合一起,別真的整出什麽重大數學發現吧? - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  20:45:26

哈哈,希望如此 - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  21:41:55

n是個正實數就可以了,不必是自然數 - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  21:37:20

是的,其實有些負數也可以的 - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (0 bytes) () 08/08/2021  21:48:49

冪的結果怎麽可能是負數? - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/09/2021  04:18:41

負的奇數可以開奇次根號like (-3)^(-1/3), 最終可以得負值 - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (0 bytes) () 08/09/2021  13:40:51

一個負數的無理數指數,意義何在?冪的正負號如何決定? - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/09/2021  16:11:43

萬大俠囿於成見了吧?想一想為什麽要研究虛數?好處意義影響深遠一樣也不缺少啊 - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (536 bytes) () 08/09/2021  18:47:06

x=(-3)^(-1/3), x顯然是無理數,按照右結合先算,請問x^x=?, 計算器或計算機中都算不出來吧?和虛數也沒啥關係吧 - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/09/2021  19:13:24

It makes no sense to take a single x^x from the infinite complex - askerfor - 給 askerfor 發送悄悄話 askerfor 的博客首頁 askerfor 的個人群組 (437 bytes) () 08/09/2021  20:38:02

先有限,有通項表達,再證明收斂,然後才有無限,無限且收斂是從有限,即量變到質變的飛躍 - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/09/2021  21:42:10

這種推廣(向正實數推廣,負指數沒有考慮過)。最大的問題是證明數列的單調性,我那個證明單調增加,隻能推廣到e=2.7... - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (98 bytes) () 08/11/2021  18:52:36

a^{1/a} 最大是 e^{1/e}. 單調性可以用歸納法。 - 亂彈 - 給 亂彈 發送悄悄話 亂彈 的博客首頁 亂彈 的個人群組 (52 bytes) () 08/24/2021  03:36:34

穿越回初中,老題新問。 - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (152 bytes) () 08/05/2021  09:25:57

由F作BC垂線,總麵積20,5是20一半的一半,可判斷 - 站住 - 給 站住 發送悄悄話 站住 的個人群組 (0 bytes) () 08/05/2021  09:59:41

好!同理可以判斷,AE:EB=2:1 - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/05/2021  10:39:28

如果原題如此,不知道是不是增加了難度? - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (0 bytes) () 08/05/2021  17:38:44

肯定,幾何問題代數來解 - 站住 - 給 站住 發送悄悄話 站住 的個人群組 (0 bytes) () 08/05/2021  18:04:19

我肯定想不到 - 站住 - 給 站住 發送悄悄話 站住 的個人群組 (0 bytes) () 08/05/2021  18:05:00

想了一下,其實直接解也不難。 - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (315 bytes) () 08/05/2021  20:39:31

貼錯地方 - 發現其中的事實 - 給 發現其中的事實 發送悄悄話 發現其中的事實 的個人群組 (101 bytes) () 07/30/2021  19:39:02

穿越回初中,看看這道求麵積題:) - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (88 bytes) () 07/28/2021  19:57:09

8 - Duduwho - 給 Duduwho 發送悄悄話 Duduwho 的個人群組 (69 bytes) () 07/29/2021  05:34:34

my try - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (358550 bytes) () 07/29/2021  13:54:16

此法甚妙! - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 07/29/2021  18:37:59

很好的輔助線,也可以換個思路: - 雲間 - 給 雲間 發送悄悄話 雲間 的個人群組 (135 bytes) () 08/02/2021  10:38:53

精彩,一氣嗬成 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 08/02/2021  12:02:42

總結的好,有點像蝴蝶原理 - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/02/2021  20:25:02

加一解 - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (362 bytes) () 07/29/2021  23:38:33

好,類似的解法是: - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (227 bytes) () 07/30/2021  07:17:35

再類似,令AF=3,則AE=2;令EB=a,則BC=8/a,FD=8/a-3,CD=2+a;解方程即可知a - 站住 - 給 站住 發送悄悄話 站住 的個人群組 (0 bytes) () 07/30/2021  07:52:47

憑什麽可以這麽設,你也不知道AE和AF的比例啊? - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 07/30/2021  09:52:53

不需要知道,好多競賽題可以用這種方法取巧 - 站住 - 給 站住 發送悄悄話 站住 的個人群組 (0 bytes) () 07/30/2021  10:01:42

有人給這個方法取了個名字叫試錯法。就是憑估計設一值。如果從此出發,能解出一個合乎條件的解, - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (113 bytes) () 07/30/2021  13:33:42

如果是填充題,有可能也得出正確答案,但如果寫過程,這種方法不嚴格,會被扣分,因為你不知道換一種設定能否得出相同結果 - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 07/30/2021  14:20:07

剛被萬大俠一下子問懵了,現在想其實不防令為3x,則另一邊是2/x,原先易誤解為3和2,這樣就不會有比例的問題,隻是簡化了 - 站住 - 給 站住 發送悄悄話 站住 的個人群組 (0 bytes) () 07/30/2021  17:25:19

用試錯法解一下。這個應該可以接受。 - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (350 bytes) () 08/01/2021  20:20:18

我後來想了一下,你們兩位都對,其實: - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (460 bytes) () 08/02/2021  20:37:08

這樣說一句行不行:令BC=4u。 以後所有的邊長都以u為單位,故可以略去。 - wxcfan123 - 給 wxcfan123 發送悄悄話 wxcfan123 的個人群組 (0 bytes) () 08/03/2021  17:47:45

應該沒問題! - 萬斤油 - 給 萬斤油 發送悄悄話 萬斤油 的博客首頁 萬斤油 的個人群組 (0 bytes) () 08/03/2021  21:29:19

這個題很有啟發;我感覺表麵上是幾何題,實際上必須經曆代數過程;能夠在一個領域簡單表述的問題,有時並不容易在該領域解答 - monseigneur - 給 monseigneur 發送悄悄話 monseigneur 的個人群組 (0 bytes) () 07/30/2021  14:25:30

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