上次簡單介紹了一下形式邏輯（演繹邏輯），https://bbs.wenxuecity.com/teatime/735859.html
剛好看到壇裏大家好像對悖論也有興趣，這一篇就以芝諾的兩個悖論為例，和大家一起談談其應用。（沒看過上一篇也不影響閱讀）
我們先回顧一下上次討論的形式邏輯最簡單的一種模式：三段論。
在一個三段論裏，第一，二句叫前提(premises)，第三句是結論（conclusion)。有效論證是論證(Argument)裏的“形式”正確（類似數學應用題裏列式和步驟正確），可靠論證是形式和前提都正確（類似數學應用題本身給的條件和解答都正確。顯然，如果題幹假設老太太以每小時60mile向前步行，得出的答案自是不具參考價值的）。以此為基礎，在辯駁論證不成立時，有兩種不同的方式。
第一是指出論證的形式不對，第二是指出論證的前提不對。
我們下麵以芝諾（Zeno)的飛矢不動和二分法悖論為例，來討論一下以上兩種方法的應用。
飛矢不動悖論：一支飛行的箭是靜止的。由於每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處於運動狀態。
我們用三段論重寫一下以上論證：
1.箭矢在每一瞬間都不移動。
2.一段時間是由多個瞬間組成的。
3. 結論: 在每一段時間，箭矢都不移動（靜止）。
這個悖論的兩個前提都是正確的。但是我們要理解，第一個前提裏的“不移動”，並不意味著“靜止”。
我們說，靜止和運動都是需要一段時間才能判定的，因為物體的運動在瞬間點是完成不了的。所謂物體是靜止的，是說在相近的瞬間裏，物體一直在同一地點。而物體的運動，是在相近的瞬間裏物體在不同地點。所以箭矢“不移動”有“歧義”，它可以是說箭矢靜止（結論裏的意思），也可以是說箭矢的狀態不能定義為“移動”（前提裏的意思）。
因為前提裏的“不移動”和結論裏的“不移動”，不是一個意思。所以結論裏的詞“靜止”沒有在前提裏出現過。我在前一篇提到過，最簡單判斷形式是不是有效，可以看結論裏的詞項（term）是不是都在前提裏出現過（大多數情況可用）。如果沒有，則這個論證形式不對，是一個無效（invalid）論證。
所以以上關於飛矢不動的論證，是一個無效論證。
我們再來看一下二分法悖論：運動是不可能的。由於運動的物體在到達目的地前必須到達其半路上的點，若假設空間無限可分則有限距離包括無窮多點，於是運動的物體會在有限時間內經過無限多點。
以下是三段論形式：
1. 一段距離，從起點到終點，需要經過無數個路程：先經過從起點到終點的一半（½)，再經過中點到終點的一半(¼)，然後經過中點到終點的一半(?)等等等等。
2. 邏輯上不可能完成無數個路程。
3. 結論：從邏輯上不可能完成一段距離。因為這些點是任意劃分點，所以，所有的運動在邏輯上都是不可能的。
如果我們讓a代表：一段距離。S代表：需要經過無數個路程。P代表: 邏輯上能完成無數個路程。那麽以上的論證形式是：
1. a是S,
2. 沒有S是P （No S are P)
3. a不是P
以上形式是正確的，所以它是一個有效論證。那麽得出悖論的原因，隻能在於前提是錯誤的。我們這裏認為前提2是錯誤的，也就是說，在邏輯上，一個人可以完成無數個路程。
以下引用羅素的解法：
我們完全可以想象一個人在作任何工作時，效率從低到高，剛開始1分鍾，接下來半分鍾，等等等等，如果我們一直將工作作下去，那麽無限個工作可以在兩分鍾內完成（1+½+¼+?+…=2)。
這在“現實”不可能，但在“邏輯上”可能。而芝諾的整個討論，隻是在邏輯上的討論。根據以上分析，運動在邏輯上也是可能的。
題外說一句，有些人認為前提1不合理，因為如果運動不可能，怎麽能一上來就已經運動了二分之一了呢？
我們在這裏要明白，芝諾是要反駁運動不可能，那怎麽反駁呢？有一種方法叫歸謬法（Reductio ad absurdum）。就是要證明論題是假的（不能運動），我們先假設論題是真的（能運動），然後根據假設，推出一個矛盾或明顯荒謬的結論，由此證明論題為真是錯誤的。芝諾的二分法悖論，就是應用了歸謬法來論證運動的不可能。
如果要認為前提一有問題，我們可以分析在現實裏，一段路程不可能“無窮”分下去。我們所謂的“無窮”隻是概念上的無窮，比如無窮細分，是我們意識裏認為，再小的數也可以被一分為二。而無窮大，是我們認為再大的數都可以加一後更大。但在現實物理世界，真的“無窮”是不存在的。
當然，邏輯論證有些像解數學題，我們可以用不同的方法得出同一結論。所以以上悖論也有其它解釋，我列出的隻是我看得的解釋中，覺得最有道理和條理的。
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