至此，前麵§73引言裏勾勒的計劃，前兩部分已經完成。我闡明以下兩點，一，海森堡公式可以作統計解釋，因此，二，將其解釋為可達精度的局限，這無法從量子理論裏邏輯地推出。因此，僅在測量上獲得更高精度，不足以使其陷入矛盾。
有人可能反駁，“目前一切尚好。我不否認，可以這樣看待量子力學。然而，在我看來，你的論證並未觸動海森堡理論的物理學核心，做出準確的單一預測的不可能性”。
若請論對方舉一個物理學的實例來闡明自己的觀點，他可能會這樣說，“設想一束電子，如陰極射線管裏的那種。假定電子束的運動方向是x。我們可以對這個電子束做各種物理選擇。比如，可以根據其在x方向上的位置，選擇或分離一組電子(亦即，根據它們在特定瞬間的x坐標); 這一點可以做到，也許借助瞬時開關的快門。這樣應該獲得一組在x方向上延伸非常小的電子。根據散射關係，這組裏不同電子的動量(連同其能量)在x方向上將差異巨大。你說得對，可以驗證這類有關散射的命題。可以通過測量單一電子的動量或能量來達到這一目的；因為位置已知，因此我們將既得到位置又得到動量。這種測量可以實施如下，比如，讓電子撞擊膠片，激發上麵的原子。我們將發現，撇開其它情況，有些原子被激發所需的能量超過這些電子的平均能量。因此，你強調這種測量既有可能又有意義，我承認你是對的。但是，我的反駁是，進行任何這類測量，必定幹擾正在檢驗的係統，或者單一電子，或者整個電子束，如果測量許多(如本例所做)的話。必須承認，如果在幹擾這組電子之前(當然，隻要不允許運用知識來實現禁作的選擇)，能夠知道不同電子的動量，理論便不會陷入邏輯矛盾。但是，不施加幹擾就無法獲得此類有關單一電子的知識。總之，準確的單一預測是不可能的，命題依然為真。”
對於這一反駁，我的第一回應是，它若正確，毫不奇怪。畢竟，從統計理論的觀點看，準確的單一預測顯然永遠無法實現，能實現的隻有‘不確定的’(亦即形式上單一)單一預測。但是，我在此斷定的是，理論盡管不提供此類預測，但也未將其排除在外。隻有在一種情況下，人們才能談論單一預測的不可能性，即可以斷定，幹擾或幹涉那個係統必定阻止任何預測。
對方會說，“但這正是我斷定的。我斷定的正是這類測量的不可能性。你假定了下述可能性，即測量一個運動電子的能量，不會令其脫離軌道，離開電子束。我認為這是一個站不住腳的假定。理由是，假定我擁有可以進行這種測量的設備，那麽，我應該能用這類設備來產生滿足以下條件的電子束，(a)位置都是限定的，(b)擁有相同的動量。這種電子束的存在與量子理論相悖，當然也是你的觀點，因為它被你所謂“散射關係”否決。因此，你隻能回複，設想一件設備允許測量而不允許選擇，這是可能的。我承認，這一答案在邏輯上可行，但作為物理學家，我隻能說，直覺拒斥以下主意，即不能排除動量超過(或低於)某個給定值的電子，卻能測量電子的動量。”
對此，我的反應是，聽上去挺有說服力的。但是，沒有給出嚴格的證明(而且此類證明無法給出，詳情見後)，即若預測是可能的，則相應的物理選擇或分離也是可能的。這類論證沒有一個能證明準確預測違背量子理論。它們都引進了輔助假設。理由是，準確的單一預測不可能(對應於海森堡的觀點)，這一命題實際上等價於以下假設，預測與物理選擇結為一體不可分離。量子理論加上輔助的“聯結假設”，形成新的理論係統，必定與我的觀念抵觸。
對此，我計劃的第三點已經完成，但第四點仍需證明。那就是，作統計學解釋的量子理論(假定包括動量與能量的守恒定律)與“聯結假設”相結合，所形成的係統是自相矛盾的，這一點仍需證明。我認為，有一種預設根深蒂固，即預測與物理選擇總是聯結的。這一預設的廣泛存在可以解釋，為什麽證明相反論點的論證如此簡單卻從未有人做出。
我想強調的是，下麵將要展開的主要是出於物理考慮，在對不確定性關係進行邏輯分析時，我希望物理考慮不構成邏輯分析的部分假設或前提，盡管它們可能被描述為結果。事實上，到目前為止，分析的展開大致獨立於後麵所述，尤其是下麵描述的想象中的物理實驗，實驗意在建立以任意精度對單一粒子的軌跡進行預測的可能性。
在引進這一思想實驗之前，先討論幾個簡單的實驗。這些實驗旨在表明，以任意精度進行軌跡預測並驗證預測，沒有問題。這一階段隻考慮以下預測，不涉及確定的單一粒子，但涉及確定的小時空區域(?x.?y.?z.?t)內的(所有)粒子。在每一種情況下，粒子出現在那個區域，僅有一個確定的概率。
再次想象一束粒子(電子或光束)沿x方向運動。但這次是單色的，因此所有粒子都以相同的已知動量，沿平行軌跡，在x方向上運動。如此一來，動量在其它方向上的值也已知，即為0。我們不奢求通過物理選擇來確定一組粒子在x方向上的位置 - 亦即通過技術手段(如上所述)，把一組粒子從粒子束裏隔離出來 - 隻要關注把該組與其餘區分開來即可。例如，可以關注所有滿足以下條件的粒子，(以給定精度)在給定瞬間，x軸的坐標，其發散不超出任意小的區間?x。對於這些粒子裏的任何一個，我們確知其動量。因此，對於每一個未來瞬間，也確地知這組粒子將在哪裏。(顯然，這樣一組粒子的存在並不違背量子理論，違背量子理論的是其分離的存在，即物理選擇的可能性。) 我們可以對其它空間坐標實施同樣的想象選擇。物理選擇的單色粒子束在y和z方向上必將非常寬(在理想單色粒子束的場合，無限寬)，因為在這些方向上，動量應該是準確選擇的，亦即，等於0，因而這些方向上的位置必定充分分散。然而，我們可以再關注一個非常窄的不完整束。窄束裏的每個粒子，不僅位置已知，而且動量已知。因此，我們將能預測，窄束裏的每個粒子(可以說在想象裏作過選擇)，在哪個點，以什麽動量，撞擊置於軌道上的膠片。當然，這一預測可以被經驗驗證(如同驗證先前的實驗)。
對其它類型的集束也可以做想象選擇，類似於對特定類型的‘純粹場合’剛做的選擇。比如，可以取一個單色的集束，令其通過一個非常窄的縫?y，從而做出物理選擇(因而把對應於前麵那個例子裏的一個隻是想象選擇的物理選擇作為我們的物理起點)。任取一個粒子，我們不知道其通過窄縫後會轉向何方，但如果考察一個特定方向，便能準確地計算出轉向這一方向的所有粒子的動量因素。如此一來，穿過窄縫後沿特定方向運動的粒子又形成一個想象的選擇。我們能夠預測其位置及動量，簡言之，軌道。在軌道上放置感光膠片，便可驗證預測。
這一情形與我們考察的第一個例子原則上相同(盡管經驗驗證稍微困難)，即根據在運動方向上的位置來選擇粒子。如果製作一個與此相應的物理選擇，那麽，由於動量散布的緣故，不同的粒子將以不同的速度運動。在運動的過程中，那組粒子將在x方向上一個不斷增大的區間內散布開來(封包將變得更寬)。在給定瞬間，那個不完整組(想象選擇)的粒子將在x方向上的一個給定位置，我們可以算出其動量：選擇的不完整組越靠前動量越大(反之亦然)。該預測的經驗驗證可以這樣進行，用一條移動的感光膠片替換感光底板。既然能知道膠帶上每個點因電子撞擊而曝光的時間，對於膠帶上的每個點，也就能預言撞擊發生時的動量。這些能夠驗證的預測，比如，在運動膠帶或者蓋革計數器前麵插入過濾裝置(若是光線則用濾鏡，若是電子則用與射線方向成直角的電場)，然後根據方向進行選擇，隻允許具有給定的最小動量的粒子通過。這樣，我們可以驗定這些粒子是否真的按預定時間到達。
這些驗證所涉及的測量精度不受限於不確定性關係。如我們所見，這些精度主要適用於那些用來推導預測的測量，而非驗證預測的測量。也就是說，它們意在用於‘預言性測量’，而不是‘非預言性測量’。在73與76章裏，我考察了三種‘非預言性測量’的情況，(a)測量兩個位置，(b)動量測量發生於前的位置測量，(c)動量測量緊隨其後的位置測量。上麵討論的在蓋革計數器的膠片前麵插入過濾裝置的測量就是情況(b)的例子，即根據測位之後的動量作出選擇。據海森堡(參閱73章)，這應該就是允許‘對電子的過去進行計算’的情況。在情況(a)與(c)裏，隻可能對兩個測量之間的時間進行計算，而在情況(b)裏，計算第一次測量之前的軌跡是可能的，條件是，這一測量是根據給定動量所進行的選擇，因為這種選擇不幹擾粒子的位置②。眾所周知，海森堡質疑這一測量的‘物理實在性’，因為它僅允許在下述情況下計算粒子的動量，在準確測量的時間，到達準確測量的位置:測量似乎缺乏預言性內容，因為無法從中得出可供驗證的結論。不過，我的思想實驗將基於這個乍一看顯然是非預言性的特殊測量安排，意在建立準確預言特定粒子的位置與動量的可能性。
假定這類準確的‘非預言性’測量是可能的，而我準備從這一假定推出如此勉強的結論，我似乎應該討論這一假定的可行性。細節見注釋vi。
下麵的思想實驗直接挑戰波爾和海森堡的論證方法，二人使用此法為把海森堡方程解釋為可達精度的局限進行辯護。其辯護的方法是試圖證明，能產生更準確的預言性測量的思想實驗是無法設計出來的。但是，這一論證方法顯然無法排除以下可能，有朝一日，(運用已知的物理效應和規律)可以設計出這樣一個思想實驗，證明這種測量終究是可能的。人們想當然地認為，任何這種實驗都將違背量子理論的形式主義，而且這一觀念似乎左右著找尋這種實驗的方向。然而，我的分析 - 實施計劃要點(I)與(2) - 為設計這樣一種思想實驗掃清了道路。它表明，所說的準確測量是可能的，完全符合量子理論。
為實現這一實驗，我仍將利用‘思想選擇’，但作下述安排，如果該選擇所刻劃的粒子真的存在，我們將能確認事實。
在某種意義上，我的實驗可算是Compton-Simon和Bothe-Geiger實驗③的一種理想化。既然想獲得單一預測，就不能僅憑統計假定行事。非統計性的能量與動量守恒定律也必須使用。我們可以利用以下事實，滿足特定條件，這些定律就允許我們計算粒子碰撞時出現的情況。條件是，描寫碰撞的四個量級有兩個(即動量a1和碰撞之前的b1，及動量a2和碰撞之後的b2)被給定，外加第三量的一個因素④。(計算方法是熟知的康普頓效應(Compton-effect)理論的一部分)。
設想以下實驗安排(見右圖)。橫穿兩個粒子束(其一至多可能為光束，另一束至多可能電子非中性⑤)，A束是單色，即根據動量a1所做的選擇，而B束通過窄縫S1，因而屬於根據位置所做的選擇，在這一意義上，二者都是‘純粹情況’。B束粒子可以視為具有(絕對)動量b1。兩束粒子中的某些將發生碰撞。現在我們想象兩個狹窄的不完整束[A]與[B]在P處相交。[A]的動量已知，即a1。隻要決定[B]的方向，其動量便可計算，令該動量為b1。現在選擇方向PX。注意碰撞之後不完整束[A]裏那些沿方向PX運動的粒子，我們可以計算它們的動量a2，以及b2，即參與碰撞的粒子碰撞之後的動量。對於[A]束裏，於點P，以動量a2，在X方向上，被改變方向的每一個粒子，必有一個與之對應的[B]束粒子，於點P，以動量b2，被改變至可計算的方向PY。現在，在X上放一個裝置，比如，蓋革計數器，或一條移動的膠片，記錄從P到達任意限定的區域X時粒子的撞擊。然後，我們可以說，隻要看到任何一個有關粒子的記錄，同時便得知，另一個粒子必定從點P，以動量b2，向Y運動。從這一記錄上同時還得知，在任何給定瞬間，這個粒子在哪裏。理由是，根據第一個粒子在X上碰撞的時間，及其已知的速度，可以算出它在P上碰撞的動量。在Y上再放一個蓋革計數器(或一條移動的膠片)，就可以驗證對第二個粒子的預言⑥。
對於PY方向上的坐標位置和動量成分來說，這些預測以及用來驗證的測量，其精度原則上不受製於測不準原則的限製。理由是，對於P上變向的B粒子作預言的精度問題，被我的思想實驗化歸為在X上作測量可以達到的精度問題。乍一看，這似乎是對相應的第一個粒子[A]的時間，位置和動量的非預言性測量。這一粒子在PX方向上的動量，以及它在X上碰撞的時間，亦即它在PS方向上的位置，可以任意精度加以測量(參閱索引vi)。前提是，如果在測量位置之前，插進一個電場，或在蓋革計數器前麵插進一個過濾裝置，從而做出動量選擇。據此(更全麵的解釋見索引vii)，我們能以任意精度預測粒子在PY方向上的運動。
這一思想實驗讓我們不僅能看到準確的單一預測可行，而且還能看到在什麽條件下可以做出，甚至在什麽條件下與量子理論兼容。這種預測隻有在下述情況下才能夠做出，能獲得有關粒子狀態的知識，而不必任意製造這一狀態。可以說，我們真的是事後獲得知識的，因為在獲得知識的瞬間，粒子已經進入運動狀態。而我們仍可以利用這一知識來推出可驗證的預言。(例如，如果有關粒子是光子，也許能算出它到達天狼星的時間。)粒子到達X的撞擊將以不規則的時間間隔一個跟著一個，這意味著，被預言的不完整束[B]的粒子也將以不規則的時間間隔一個跟著一個。如果我們能夠改變事物的狀態，比如，讓時間間隔均勻，那將違背量子理論。因此，可以說，我們能夠瞄準並預定子彈的動能，還能夠(在子彈擊中靶子Y之前)計算出在P上開火的準確時間。然而，開火的瞬間不能自由地選擇，而必須等到槍響。我們也無法防止(從P附近)射向標靶方向的不受控製的子彈。
很清楚，我們的試驗與海森堡的解釋不協調。然而，既然進行這一實驗的可能性可以從量子物理的統計解釋裏推導出來(輔以能量與動量的守恒定律)，看起來，海森堡的解釋，我們違背它，它也必定違背量子物理的統計解釋。從Compton-Simon和Bothe-Geiger的試驗著眼，實施我們的試驗是可能的。在海森堡的概念和量子物理協調的統計解釋之間作取舍，可以被視為一種試驗教。
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① 海森堡公式
海森堡公式(Heisenberg formulae)指不確定性原則。泛泛而言，該原則說，對粒子的物理特征進行測量，其精度有局限性。具體說來，粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性越小，則動量的不確定性越大，反之亦然。
② 這種選擇不幹擾粒子的位置
這一命題(我試圖將索引vi裏的討論基於此)受到Effect的有力批評(參閱索引*xii)。命題為假，故我的思想試驗瓦解了。要點是，‘非預言性’測量僅決定粒子在兩次測量之間的軌道，諸如，一次動量測量和其後的位置測量(反之亦然)。根據量子理論，再往後，亦即第一次測量之前的時間區間，追溯是不可能的。因此，索引vi裏的最後一段是錯的，關於到達x的粒子，我們不可能知道它的確是來自P，還是別處。另見232頁注釋**。
③ Compton-Simon和Bothe-Geiger實驗
Compton and Simon,《物理評論》(Physical Review) 25, 1924, p. 439; Bothe und Geiger,《物理學報》(Zeitschrift für Physik) 32, 1925, p. 639; 另參閱Compton的《X射線與電子》(X-Rays and Electrons), 1927;《精確自然科學的成果》(Ergebnisse der exakten Naturwissenschaft) 5, 1926, p. 267 ff.; Haas,《原子理論》(Atomtheorie), 1929, p. 229 ff.
④ 因素
因素(Component)一詞在此作最寬泛的理解(或作方向，或作絕對量極)。
⑤ 電子非中性(electrically non-neutral)
我在想象一個光束和任何種類的雲隙束(負電子，位置，中子)。然而，原則上，可以使用兩個雲隙束，至少其中之一是中子束。(偶然間，‘負電子(negatron)’和‘位置(position?)’二詞成為流行用法，在我看來，這是語言怪物，畢竟，我們既不說‘positrive’，也不說‘protron’。)
(position?) - Popper既稱之為語言怪物，position想必是positron之誤。Positron意為正電子，正電子剛好滿足電子非中性的要求。對於任何外行來說，序列{ 負電子，位置，中子 }在雲隙束的上下文裏顯得很不協調，而序列{ 負電子，正電子，中子 }則不突兀。
⑥ 驗證對第二個粒子的預言
Einstein, Podolsky, 和Rosen用了一個較弱但有效的論證：令海森堡的解釋是正確的，這樣我們隻能隨意測量第一個粒子在X上的位置或動量。那麽，若能測量第一個粒子的位置，則能計算第二個粒子的位置; 若能測量第一個粒子的動量，則能計算第二個粒子的動量。但是，既然我們在任何時間都能夠選擇，是測量位置，還是動量，即使在兩個粒子碰撞之後也是如此，那麽假定二個粒子影響或幹涉是因為我們的選擇引起試驗安排的變化而導致的，這是不合理的。相應地，我們能夠以任何精度計算二個粒子的位置或動量，而不會幹擾它；這一事實可以這樣表達，二個粒子“具有”精確的位置和精確的動量。(Einstein說，位置和動量都是“實在的”，因此而被攻擊為“反動的”。)另請參閱232頁的注釋和索引xi與xii。
§77 DECISIVE EXPERIMENTS
The Logic of Scientific Discovery, London and New York 2002. Pp.232-248. P261
