皮皮蝦:【馬立平談數學】

2018-01-27 19:10:03

這是一道新加坡數學課程五年級的題目，如果你不用解方程的方法來做，隻用算術的方法，看看你能不能解出來？

傻眼了吧？是不是做不出來？別泄氣，據馬立平說，斯坦福的數學教育教授也做不出來。上周末，馬立平在圖書館做了一個《變中思不變－美國小學數學教育改革百年考》的講座，這道題是她在講座上分享的。

而中國大陸的五年級的孩子們幾乎個個都能做出來。你也許不相信，當年你在小學的時候也能做出來，隻不過自從你學了方程以後就退化了，不會再用這種算術的方法做這麽複雜的題目了。

我知道你很想知道算術怎麽做這道題。好吧，現在給出你答案，你好好琢磨一下每步的思路。

可是這道題所有的美國小學五年級的孩子能做出來的，鳳毛麟角。不信你回家讓你家的孩子做做，就算他是初中生或者高中生也未必能用算術做出來。

有人認為，既然有方便簡潔的代數方法解方程來做，有必要要求小學生學這麽複雜的算術方法嗎？

質疑有效，當時有家長就提出了這個問題，馬校長也給出了回答，但也許時間有限，她沒有展開講，隻是說基本上這是一種思維的訓練。現在本蝦來試著回答一下這個問題。

第一，同意馬校長所說。雖然有更快捷的方式，但是整個數學的訓練就是一套思維的訓練。不能因為有高級的方法就跳過了初級的方法，因為它是一種增強概念的理解方式。我們覺得我們代數學得好、方程解得快，那是因為我們在學算術的時候，已經通過這種複雜的算術運算增強了對概念的理解，所以打好了基礎，在代數學習的時候可以非常遊刃有餘。好比你吃第四個饅頭就飽了，不能由此判定前三個饅頭不用吃。美國學生的代數學不好，就是因為他們的算術沒學好。

第二，數學的學習不僅僅是簡單的能把一道題做出來而已，而是一種能夠讓學生從中體會用不同途經(approach)、不同思路、不同方式解決問題的數學之美。

記得本蝦初中上學時非常享受平麵幾何的學習。有時一道題下來被老師叫起來，當堂口述證明過程，內心有一種朗誦詩歌的快感。當然有的時候，遇到極難的幾何題目，也花費很長時間去解(老師對這種題從來不會當場叫人起來做的)。後來學了解析幾何，發現這真是一條捷徑。隻要通過列出幾道解析方程，就可以求得或證明結果。可是，難道我們不需要學平麵幾何嗎？我敢說這種超級縝密的邏輯思維的訓練，即使是文科學生都是需要的。如果想做一位好的律師，平麵幾何就一定要學得好。

做數學題當然可以思考有沒有巧妙的解法，但學習本身沒有捷徑可走。台上一分鍾，台下十年功。馬校長分享的錢文忠的話很有道理：憑什麽教育要是快樂的？我實在想不通。教育怎麽會一定是快樂的？教育一定有痛苦的成分，這是不言而喻的。

想起本蝦所遇到的最難的一道幾何題需要加八條輔助線，那是高我一年的升高中考題。居然我同學的哥哥在考場上做了出來，得了滿分(幾年後去了清華)。大學畢業後本蝦與同事講起這件事，幾年後這人忘了從我這裏聽來的，吹起自己當年數學多麽了得，居然說他自己把一道數學題加了八條輔助線做了出來，＂震驚全校＂。相似的事情不同的人不同的場合本蝦遇到過好幾次了，並不是他一人有類似作為。不過至少說明中國的社會風氣是以才能為榮的，不象現在的美國充滿了反智的文化。

還有一道物理神題，居然可以有九種不同的解法，記得有用動量衝量的辦法，有用能量守恒的辦法，等等。一般來說，物理題很少可以用多種方法來解的。好可惜本蝦沒把這兩題保留下來，要不然給自己孩子看看一定會讓他們開眼的。

下麵這道題是著名數學家丟番圖(Diophantus)墓碑上的文字，也是馬校長在講座中分享的。這道題也是本蝦非常喜歡的一道題，中學時代本蝦辦黑板報的時候曾經用過這道題。歲月的流逝，經過了這麽多年，又出現在本蝦的眼前。經典就是經典啊！

丟番圖是古希臘亞曆山大後期的重要學者和數學家，他是代數學的創始人之一，對算術理論有深入研究，在希臘數學中獨樹一幟。

上圖解法是算術解，題中隻有一個四年和五年是具體數量，所以要考慮這九年占的分率，相除即可得出單位“1”即丟番圖活的歲數。

如果用方程解，可以設丟番圖活了x歲，於是

x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4
x=25/28x+9
3/28x=9
x=84
所以丟番圖活了84歲。

讀者可能注意到了，馬立平被本蝦稱呼為馬校長。或許你想不到，她這個校長不是數學校長，而是中文學校校長。她創立的斯坦福中文學校已經二十多年了。本蝦兒子女兒曾在該校學習中文多年，以前和馬校長曾多次見麵，不過那時隻是家長和校長之間的簡單互動。

自從本蝦公眾號刊發了《美國數學戰爭百年演義》的係列文章，點擊量轉發量很大。該文章引起了馬校長的關注，使本蝦有幸得以真正認識了這位久仰的教育家。

那次由馬校長提議的幾人聚餐是本蝦第一次和她的深入交談。馬校長早已加入本蝦公眾號，讀過本蝦許多文章，顯然她已在心目中自己想象了本蝦的形象。當見到本蝦後，除去覺得似曾相識被證實以前見過外，還流露出與自己想象中的落差。

其實本蝦還算五官端正，但從馬校長的眼神中可以看出，她想象的形象不定多麽儒雅清朗呢。這種情況近來多次出現在＂見光死＂的場合裏，看來以後要學錢鍾書避免見光，除非學習朝鮮電影《原形畢露》中的白桃花在韓國做個美容手術，以徐誌摩的形象示人。想來七十年代北朝鮮就已經為韓國的世界頂尖技術作了軟廣告，來自敵人的讚美應該是最可靠的。

馬校長編寫的中文教材內容生動、貼近海外少兒的生活、教材設計獨具匠心和特色，有三點特別值得稱許：一是三年級以後才學拚音，避免了對拚音文字有天然喜好的海外兒童認字時不看字隻看拚音、最後出現離開拚音隻有字的時候不識字的怪事。馬立平的教材＂強迫＂初學者直接認字，在鞏固認字能力的三年級後再引入拚音，既避免上述弊端，又使學生掌握拚音方法便於查字典或電腦拚音輸入。二是不強求學生會寫字，這一點大大減少了學生學習的難度和厭煩情緒。現代科技的發展已使寫字能夠通過電腦來完成了，這項課程設計完全與時俱進。三是作業的完成基本上通過電腦，而且是以遊戲方式寓教於樂，將家長從繁重煩瑣中解放出來。

但是馬校長是數學教育背景出身，她自斯坦福教育學院畢業，獲得課程設計專業博士學位。她關於小學數學教育的學術專著＂Knowing and Teaching Elementry Mathematics＂由 Lawrence Erlbaum出版，此後又出版了韓文版、西班牙文版和葡萄牙文版，後來又有了中文版《小學數學的掌握與教學》，在國內引起很大反響。2006年, 馬立平接受聯邦教育部長提名，以數學教育專家身份，進入美國總統的16人數學決策顧問團“national math panel”。

馬校長在講座中反複引用了她在華師大的導師、校長劉佛年的話：搞教育一定要實踐，用一半時間都不少。前麵提到的那個美國教授為什麽用算術做不出小學數學題？因為美國的數學教學體係脫離實踐，自從上世紀五十年代以來就散掉了！這個教授就是受害者之一。

下圖顯示，美國的小學算術隻教了四個重要組成部分之一，而典型的應用題，諸如灌水放水相遇追擊，根本不涉及。記得中央台有個名嘴嘲笑說，真不明白誰吃飽了撐的，算術題裏還有同時兩個水龍頭灌水又在另一邊放水的。是的，數學是思維的體操，就是吃飽了撐的人想出來讓大家去做健腦鍛煉的。這位名嘴真是無知，不知道思維訓練就是在看似沒道理的虛擬情況下演練的。照他那麽說牛頓定律都不要學了，因為摩擦為零的假設在生活中根本不存在。

美國受進步教育思潮的影響，加上1957年前蘇聯人造衛星上天造成的刺激，不斷進行花樣翻新的教學＂改革＂，常年的、缺乏主心骨的改革動蕩使教師的專業隊伍建設非常混亂、無所措手足，學區領導和家長社團意見紛紛，各種專家(學習心理學、兒童心理學、認知科學)的各種理論五花八門，改革過程出現過的學術思想資源令人眼花繚亂，略舉幾個如下：

• 杜威（進步教育）

• 桑代克（行為主義）

• 布魯納（結構主義）

• 皮亞傑（發生認識論）

• 奧蘇貝爾（先行組織者）

• 維果斯基（最近發展區）

• 加德納（多元智能）

• Cognitively Guided Instruction

反觀中國，小學數學教學內容顯得嚴謹(不同於美國的散亂)，有一個內在的、統一的理論體係。雖然這套體係並非原創、引自前蘇聯，但一直穩定地保存下來(近年由於盲目學習美國的＂先進＂，正在把這套體係搞散)。其實美蘇都對這套體係有貢獻，但美國在小學算術理論體係的雛形建立起來之後，又放棄了它。本蝦在馬校長的講座中曾插話說，現在美國小學搞的那一套Common Core體係，是在用學語文的方式做算術題，學生會越學越糊塗。

下圖是中國小學數學內容結構，可以看出這些內容的順序有著嚴謹的承接關係，不象美國的體係，東一榔頭西一棒子，最終學生會像猴子掰白玉米一樣，邊掰邊扔，根本鞏固不起來。

下圖是小學算術學科的數學理論體係。— 正是由於這種嚴格的體係使得中國的教師專業水平和學生的學習質量優於美國。

有人會說，那為何美國數學尖子不比中國差？蝦曰：數學天賦好的孩子無論體係好壞所受影響都不大，何況他們有現代社會的豐富資源和能力(網上、家長、課外名師、自學)。而大家的孩子絕大多數是普通孩子，體係好壞所產出的結果是很不一樣的。

又有人(抬杠)說，為何大量人才願意來美，又為何美國科技發達、創造性並非受損？蝦曰：美國相對公平的社會製度可以人盡其才，當然人們願意擇良枝而棲，但這並不證明它的一切體係都是完美的。何況科技發達也得益於一流移民的貢獻(近年美國的諾獎得主大多是移民及其一代後代)，何況技術進步一般由少數精英的突破就可達成。但我們不能甘於糟糕的教育體係把大量孩子培養成平庸的缺乏競爭力的落伍者。這個話題不是本篇重點，在此不再展開了。

馬校長在講座中列出了三條美國小學數學教育改革的教訓(第三條是她講座前臨時加上去的)：

1. “大敵當前”(指人造衛星所引起的恐慌)時不夠理性的結構性大改變，傷筋動骨；

2. 缺乏耐心，忽視積澱，造成學術思想資源的浪費；

3. 教育受政黨政治鬥爭的影響。

那麽，麵對這種局麵，處在變革點上的家長該怎麽辦呢？馬校長給出了以下的處方：

1. 了解孩子的秉性；

2. 普通資質孩子的小學數學要抓好“雙基”：一個是運算能力，另一個是寫算式的能力，尤其是多步運算應用題寫出一步算式；

3. 爭取係統化教學，積極尋找資源；

4. 抓住本質，即抽象能力和邏輯性。

在馬校長的四點建議之上，本蝦願厚顏再加一條：積極關注和參與學區建設，阻止極左腦殘提案的通過和推行。最近，鄰近矽穀的三穀地區的學區，為了照顧某些＂弱勢群體＂，居然悍然要取消數學分班，強壓數學資質良好的學生去上對他們來說乏味的低班課程，這其實不但耽誤人才培養，也損害美國的國家利益。這種作法並非孤例，此風已在美國各地滋長。

麵對反智主義的＂政治正確＂，家長們任重道遠。請和馬校長同行！

2018.1.27

蝦注：感謝馬立平在講座後提供了ppt，本蝦此文選用了部分slides。