智者的共鳴——波蘭數學大師斯坦因豪斯與巴拿赫（下）

【續前】智者的共鳴——波蘭數學大師斯坦因豪斯與巴拿赫（上）
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非凡成就

泛函分析是現代數學的一個重要分支，起源於數學物理中的變分問題。通俗地說，泛函分析就是研究“函數的函數”，或者無限維向量空間上的數學分析。泛函分析綜合運用分析、代數和幾何的觀點和方法，研究19世紀以來分析數學、現代物理和工程技術提出的許多問題，其主要研究對象是Banach空間，以及Banach空間上的連續線性算子。1920年代初，測度論和勒貝格積分在其發源地法國，都還被認為是非主流數學。巴拿赫在自己的博士論文中，將定義在這一概念上的函數空間抽象化為一般的Banach空間，是極具前瞻性的。泛函分析的核心工具包括本文開始提到的共鳴定理，以及逆算子定理、閉圖像定理和擴展定理。

Banach空間最重要的特例是Hilbert空間，20世紀初希爾伯特和施密特 (E. Schmidt) 在對積分方程的研究中最先注意到這類空間。1927年，馮·諾依曼在巴拿赫和維納 (N. Wiener) 工作的基礎上，提出了Hilbert空間的公理化理論。Hilbert空間具有良好的幾何結構，其範數由內積導出，為量子力學提供了強有力的數學工具。說來有趣，斯坦因豪斯的導師是希爾伯特、學生是巴拿赫，他雖然沒有以自己的名字命名的空間，卻在這兩類空間中架起了一座橋梁。斯坦因豪斯與巴拿赫在1927年的第二篇合作文章中證明了共鳴定理，這也是兩人在泛函分析中最重要的合作成果。從19世紀中葉開始，在幾個不同的數學領域發現了這一定理的特殊情形。

1929年《數學研究》第一卷上最重要的文章是巴拿赫的《關於線性泛函》，文中他研究了線性連續算子，引入了Banach空間的對偶空間和對偶算子的概念，證明了幾個重要定理。共鳴定理和擴展定理也曾被奧地利數學家哈恩 (H. Hahn) 獨立證明，因此後者稱為Hahn-Banach 定理。該定理允許將定義在某個賦範空間子空間上的線性連續泛函擴展到整個空間，表明在每個空間上都定義了 “足夠多”的線性連續泛函，從而使得對偶空間有意義。與哈恩的證明相比較，在巴拿赫的證明中隻需假設在空間上定義了半範數，特別是引進了對偶空間的重要概念。在這些優美的定理問世半個世紀之後，筆者和同學們有幸在大學課堂上與它們相遇。

巴拿赫等利沃夫數學家們的另一創舉是利用存在性方法，而不是傳統的構造性方法證明定理，一個典型的例子是Hahn-Banach 定理的證明。德國數學家策梅洛於1908年提出的集合論中的 “選擇公理” 是這一方法的重要工具，而在1920年代，選擇公理仍然被數學家和哲學家質疑。被稱為 “分球怪論” 的Banach-Tarski定理，其原意是給一個反例，結果變成了選擇公理的有趣應用。巴拿赫的重要成果還包括：關於一般測度的Banach-Kuratowski定理，關於對偶空間閉單位球弱*緊性的Banach-Alaoglu定理，關於拓撲空間上連續函數的Banach-Stone定理，Banach-Ulam 等距定理，Banach-Mazur博弈等。巴拿赫一生中共發表了59篇文章，其中6篇在他去世後發表。

巴拿赫最偉大的工作是於1932年在《數學專著》第一卷發表了史上第一部關於泛函分析一般理論的專著《線性運算理論》，全書共有12章、256頁，獻給他的妻子露西亞，一如巴拿赫的既往風格：清晰的語言、簡明的定義和證明、豐富的例子。這本書總結了到那時為止有關賦範向量空間的所有成果，它的出版標誌著泛函分析已成為一門獨立和成熟的數學分支，被譯成多種語言出版，巴拿赫使用的符號和術語也被全世界數學家廣泛接受。由於利沃夫的大學教授工資較低，因此在這本著作完成之後，巴拿赫大部分時間用於教學和撰寫教科書，並以此補貼他在蘇格蘭咖啡館的開銷。左：《數學研究》第一卷，右：巴拿赫的著作《線性運算理論》。

利沃夫的數學家們參加了在博洛尼亞 (1928 )、蘇黎世 (1932 ) 和奧斯陸 (1936 ) 召開的三屆國際數學家大會 (ICM)，那時以集合論和點集拓撲學研究為主的華沙學派已經嶄露頭角，謝爾賓斯基在蘇黎世ICM會議上作了大會報告。雖然巴拿赫在博洛尼亞ICM會議上作了專題報告、1932年出版了《線性運算理論》，但是在前兩次ICM會議上並沒有引起很多關注。在1936 年的奧斯陸ICM會議上，情況發生了戲劇性變化。巴拿赫應邀作了題為《算子理論及其在分析中的意義》的大會報告，講述了利沃夫學派的工作及今後發展計劃，從而贏來人生的高光時刻。在這次會議上，卡茨馬茲、奧裏奇、馬祖爾和肖德爾也應邀作了專題報告。

在整個1930年代，利沃夫的數學家們深入推廣了巴拿赫的工作，取得許多重要成果，利沃夫毫無疑問地成為當年泛函分析的世界領導中心，在很多年的數學文獻中，巴拿赫的名字出現的頻率超過任何其他數學家。然而由於種種原因，他們的很多工作推遲甚至從未發表，同時麵臨蘇聯、美國、法國等國同行的強有力競爭。利沃夫學派沒有足夠的時間從事泛函分析一些新方向的研究，如複數域上的巴拿赫空間、Hilbert空間、巴拿赫代數、無界線性算子、非線性泛函分析等。盡管如此，這並不影響利沃夫學派在數學史上的地位，特別是斯坦因豪斯和隆尼基等人還在概率論等領域留下了深刻印記。圖為1936年奧斯陸國際數學家大會合影。

斯坦因豪斯一生發表了170多篇學術論文，他的主要研究領域是三角級數和正交級數的求和問題，1935年和卡茨馬茲合作撰寫了利沃夫數學家的第二部專著，發表於《數學專著》第六卷。斯坦因豪斯的研究興趣十分廣泛，包括數學在生物學、醫學、經濟學等不同領域的應用。他是概率論的早期貢獻者和聯合創始人，1923年他就試圖用測度論描述概率，提出了第一個關於拋硬幣的測度理論的公理化描述。十年後，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫給出了概率論完整的公理化定義。斯坦因豪斯是最早準確定義隨機事件“獨立性”以及隨機變量“均勻分布”的數學家，他還最早給出“策略”的正式定義，被認為是現代博弈論的早期創始人之一。

斯坦因豪斯也是一位傑出的數學教育家，撰寫了多本數學文化和普及讀物，如《什麽是數學，什麽不是》《數學快照》等，後者被譯成十多種文字。1938年斯坦因豪斯發明了斷層掃描儀的前身introwizor，在美國注冊專利。在兩次世界大戰之間，斯坦因豪斯一共指導了七位博士。除了巴拿赫之外，他的弟子拉奇曼 (A. Rajchman) 、肖德爾、奧裏奇、伯恩鮑姆 (Z. W. Birnbaum) 和卡茨後來都成為著名數學家。還有一位溫洛斯 (S. Weinlös)，是利沃夫學派的年輕一代女數學家，她的博士論文是關於歐幾裏得幾何第一、二、四組公理的獨立性，但她的名字卻不太為人所知。

至暗歲月

在波蘭第二共和國時期，利沃夫是僅次於克拉科夫的波蘭第二大學術和文化中心，擁有多所大中學校和教育機構。利沃夫是一個多語言、多種族交融的城市，二戰前全城35萬人口中，63.5%為波蘭人、24%為猶太人、11.3%為魯塞尼亞人——一個東斯拉夫族群。1939 年巴拿赫當選為波蘭數學會主席，正當利沃夫的數學家們集中精力，準備為進一步的研究工作大展宏圖之際，一切終止在1939 年 9 月1日。納粹德國和蘇聯入侵並瓜分波蘭，引發了第二次世界大戰，波蘭進入20世紀最黑暗的歲月，利沃夫也先後經曆了蘇聯的“烏克蘭化”、德國占領，以及波蘭人被驅逐的磨難。

1939年9 月 22 日蘇聯軍隊占領利沃夫，10月西烏克蘭議會決定加入蘇聯，對利沃夫的各所高等院校重組改名，實行烏克蘭化。巴拿赫當選為烏克蘭科學院通訊院士，但他必須承諾學習烏克蘭語，才能繼續擔任大學物理和數學係係主任以及從事學術活動，巴拿赫也是唯一擔任係主任的波蘭人。斯坦因豪斯最初曾考慮逃往匈牙利，但後來決定留在利沃夫，與肖德爾、馬祖爾等繼續在大學作教授。這段時間蘇聯數學家經常訪問利沃夫，並為《蘇格蘭書》貢獻了幾個問題。巴拿赫等人也曾訪問過莫斯科、基輔和第比利斯，然而在意識形態的重壓下，生活變得極不正常，被捕、監禁和流放隨時可能發生。

1941年6月30日夜間，納粹德國占領利沃夫，屠殺了3000多名波蘭人和猶太人，關閉了所有大學，禁止波蘭人接受高等教育。由於猶太背景，斯坦因豪斯及家人隻好四處躲藏。後來波蘭反納粹抵抗組織向他提供了一名森林護林員的虛假文件，斯坦因豪斯在這一身份的掩護下秘密教書。在沒有任何學術資料的情況下，他根據記憶寫出了自己知道的全部數學，撰寫了大量回憶錄，並致力於解決 “公平切蛋糕” 問題。由於與戰爭進程的可靠消息完全隔絕，斯泰因豪斯在躲藏期間根據當地媒體上發表的零星訃告設計了一種統計方法，依賴於死去士兵在兄弟排行中的相對頻率，估計德軍在前線的死亡人數。

在德國占領時期，為了維持生計，巴拿赫父子、奧裏奇以及許多同事隻好到生物學家魏格爾 (Rudolf Weigl) 的斑疹傷寒研究所擔任虱子飼養員。這一工作機會保護了許多失業的大學教授，使他們免於被隨意逮捕和驅逐到納粹集中營，2003年魏格爾被以色列政府授予“國際義人”的稱號。1944年7月蘇軍奪回利沃夫後，巴拿赫回到大學參與戰後重建。1944年下半年，巴拿赫獲得雅蓋隆大學數學係係主任的職位，並被認為是波蘭教育部長候選人。然而由於戰爭和貧困，他的健康狀況不斷惡化。1945 年 1 月巴拿赫被診斷出患有肺癌，年僅53 歲的一代宗師於8 月 31 日與世長辭。

大部分利沃夫數學家都具有猶太血統，戰爭爆發後他們的命運倍加艱難，時刻處於危險之中。波蘭整個知識界遭到了毀滅性打擊，十餘位利沃夫數學家不幸遇難，包括卡茨馬茲、薩克斯、肖德爾、奧爾巴赫等。隻有少數利沃夫的活躍成員活著看到了戰爭結束，同為猶太後裔的烏拉姆和卡茨戰前就已經去美國發展，逃過了這場浩劫，在大洋彼岸開拓了一片新天地。1930年代，馮·諾依曼在美國創建了一個科學夢之隊，曾力邀巴拿赫加盟。雖然數學是一門跨國界的科學，但巴拿赫並沒有動心。他在利沃夫感到賓至如歸，有一種可能無法在美國再現的氛圍，而這一切在戰爭到來之時隨風而去。

斯泰因豪斯曾指出，在巴拿赫所處的時代，波蘭科學家還受到宗教殉道觀念的束縛，即知識分子應當遠離塵世的歡樂，象苦行僧那樣清心寡欲。巴拿赫沒有向這種觀念屈服，他是一位現實主義者，到了接近玩世不恭的程度。巴拿赫強調自己祖先的山民血統，對那些無所專長的所謂有教養的知識分子持蔑視態度。斯泰因豪斯寫道：巴拿赫“最重要的功績是從此打破了波蘭人在精確科學方麵的自卑心理，……他把天才的火花與驚人的毅力及熱情熔為一體。”1946 年波蘭數學會設立了巴拿赫獎，1972 年國際巴拿赫數學中心在華沙成立，自 1992 年起波蘭科學院頒發巴拿赫特別獎章。左：1944年巴拿赫在利沃夫，右：巴拿赫的墓碑。

開枝散葉

二戰結束後，斯坦因豪斯來到弗羅茨瓦夫大學，先後擔任大學和理工學院共同的應用數學係主任，大學數學、物理和化學學院的第一任院長。斯坦因豪斯在大學數學研究所常年舉辦關於數學應用的研討會，並擔任波蘭科學院數學研究所自然和經濟應用部門的負責人。他是許多波蘭以及國際科學學會和科學院的成員，並數次訪問美國多所大學，為波蘭數學和科學事業的戰後重建殫精竭力。卡茨這樣描述自己的導師：“他是兩次大戰之間在波蘭奇跡般開花的數學學派設計師之一，也許比其他任何人更能幫助在二戰中化為灰燼的波蘭數學重新崛起，並獲得新的力量和如今令人尊重的位置。”

二戰後斯坦因豪斯在弗羅茨瓦夫 (Wroc?aw) 大學和波蘭科學院指導了9名博士，大多從事數理統計、博弈論等應用數學領域的研究。數理統計學家、中國科學院係統科學所第二任所長成平留學波蘭期間，就是師從斯坦因豪斯，於1961年獲得博士學位。1957年，斯坦因豪斯提出了信號處理中的k-均值 聚類分析方法。1962年，他與 年輕同事邁謝爾斯基 (Jan Mycielski ) 一起提出了博弈論中的確定性公理。1972 年 2 月 25 日，斯坦因豪斯在弗羅茨瓦夫去世，享年95歲。波蘭科學院和弗羅茨瓦夫大學將2002年設為 “斯坦因豪斯年” ，以紀念他對波蘭和世界科學事業做出的巨大貢獻。

雖然天主教在波蘭具有強大勢力，但斯坦因豪斯卻是一位無神論者。他的文化底蘊深厚，精通多門外語。斯坦因豪斯具有極強的幽默感，以機智犀利的格言而聞名，他的一本最著名的波蘭語、法語和拉丁語格言文集在他去世後出版。斯坦因豪斯說：“離開現實家園很容易迷失在數學的森林裏，但隻有少數人知道如何返回。”“數學是精神和物質之間的中介。” 對他來說，數學是現實和生活的一麵鏡子，他喜歡“玩”數字、集合和曲線，就像詩歌是文學的一麵鏡子，以及詩人玩單詞、短語和音律一樣。

《蘇格蘭書》奇跡般地躲過了二戰，巴拿赫去世後，他的妻子露西亞和兒子小斯特凡移居弗羅茨瓦夫。由於深知這本書的重要性，露西亞將《蘇格蘭書》帶到了弗羅茨瓦夫，原版如今由巴拿赫家族保存。露西亞在1954年去世前，一直保持與斯坦因豪斯等數學家的聯係。戰後斯坦因豪斯憑記憶逐字還原了《蘇格蘭書》，1956年他將一份打印稿寄給在美國的烏拉姆。烏拉姆將其譯成英文，並自費印製了300份，寄給世界各地的朋友和大學。1981年，更新和增訂的《蘇格蘭書》由瑞士Birkhäuser出版公司正式出版。雖然利沃夫學派的實體不複存在，但精神遺產終得傳世。左：克拉科夫的巴拿赫紀念碑，右：Birkhäuser出版的《蘇格蘭書》。

弗羅茨瓦夫位於波蘭西南部奧德河 (Odra) 河穀平原，曆史上曾先後屬於大摩拉維亞公國、波希米亞王國、奧地利、德意誌帝國。在長達幾百年的德國統治時期，弗羅茨瓦夫名為布雷斯勞 (Breslau)，是當年德國重要的經濟和文化中心。根據《波茨坦協定》，二戰後德國將11萬平方公裏領土割讓給波蘭，弗羅茨瓦夫成為新的波蘭邊境城市。弗羅茨瓦夫大學建於1702年，幾年前筆者曾到那裏觀光，上圖為弗羅茨瓦夫大學建築，下圖為1930年利沃夫學派成員的著名合影，以及巴拿赫與斯坦因豪斯。2022年是巴拿赫誕生130周年、斯泰因豪斯逝世50周年，也是巴拿赫的劃時代著作發表90周年，謹以此文紀念兩位偉大的數學家，以及回蕩在曆史中的交響和共鳴。

【注】本文刊登於《數學文化》期刊

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