阿蘭·孔涅和他的非交換幾何世界（上）

法國人認為數學是其傳統文化中最優秀的部分，深以曆史上眾多數學家為自豪，巴黎共有89條以數學家名字命名的街道。在1889年建成的城市地標埃菲爾鐵塔上，鐫刻著72位法國科學家、工程師和其他知名人士的名字，包括拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、柯西、泊鬆、蒙日、傅裏葉等24 位著名數學家。在1936-2022年間召開的國際數學家大會上，獲得菲爾茨獎的64位數學家中有13位法國人，1982年得主阿蘭·孔涅（Alain Connes）就是其中傑出的一位。此外孔涅還獲得2000年法國電力安培獎（Prix Ampère de l'Électricité de France）、2001年瑞典皇家科學院克拉福德獎（Crafoord Prize）、2004年法國國家科學研究中心金獎等一係列獎項。

孔涅從1970年代起一直致力於解決由量子物理學和相對論引起的數學問題，他成功地獲得了馮·諾伊曼代數中幾乎完整的單射因子分類。孔涅統一了算子代數領域中一些先前被認為是不同的概念，徹底改變了這一學科的麵貌，並激發了大量後續研究。通過與數十位合作者的250 多篇學術文章，孔涅在過去幾十年裏對現代數學的發展產生了重大影響。他還致力於算子代數在微分幾何中的應用，發展了類似於著名的阿蒂亞-辛格指數定理的有關理論。孔涅開創了非交換幾何這一全新的數學分支，在算子理論與數學和物理學中的許多基本問題之間建立了深刻聯係。對於諸如數學的本質、時間的發生等科學哲學問題，他也提出了深刻獨到的見解。

在自由的思考中成長

1947年4月1日，孔涅出生於法國南部戛納附近的城市德拉吉尼昂（Draguignan）。他的祖父是一位法國工程師，在一戰中陣亡，祖父母在德拉吉尼昂購買了一處莊園。孔涅的外祖父母來自阿爾及利亞，外祖母是一位鋼琴家。他的母親在摩洛哥出生，18歲時隨其父母移民法國，後來成為一名醫生。1944 年，孔涅的父母在德拉吉尼昂相遇，兩人生育了三個男孩，阿蘭是中間的孩子。為了使孩子們接受更好的教育，在孔涅八歲時全家搬到馬賽，在新家附近一所很好的學校聖查爾斯中學（Lycée St Charles）讀書。他從小就對通過考試、參加競賽不感興趣，而是著迷於自己的想法。孔涅小時候學過幾年鋼琴，始終對音樂情有獨鍾，他認為自己大腦的一部分是音樂性的。圖片1956年攝於聖查爾斯中學，前排左二為孔涅。

1966-1970年間，孔涅在著名的巴黎高等師範學院（Ecole Normale）學習。巴黎高師創建於1794年，在法國大革命中飽經動蕩。1808年經拿破侖一世和拉普拉斯整頓後重新開學，二百多年來培養了許多傑出的科學家、哲學家、文學家等精英人才，20世紀的巴黎高師以布爾巴基學派聞名。一戰結束後一群優秀的法國青年進入高師學習，他們不滿法國數學日益衰落的現狀。1935年，亨利·嘉當（Henri Cartan）、讓·迪厄多內（Jean Dieudonné）、安德烈·韋伊（André Weil）等人發起成立了這個數學家秘密團體，提出了 “數學結構”的觀點。這些年輕的數學家們以 “布爾巴基”為筆名，在之後近半個世紀中撰寫了鴻篇巨著《數學原本》（Éléments de mathématique）。

有人說巴黎高師畢業的數學家對數學有一種優雅的品位，孔涅也許就是這樣一個高師人。大學第一年給他留下了美好的回憶，在那裏孔涅和朋友們可以自由地思考數學問題，並不局限於課堂和書本。他們隻須在年底通過一些小型考試，很多人日後成長為優秀的數學家。孔涅認為，當你開始做數學時必須要有自己的花園，即使它遠離那些很時髦的東西。花園很小也沒有關係，重要的是它是你自己的，你對它想了很多、喜歡它，並且把它作為一個起點。用他自己的話說：“我們或多或少是通過某個反叛行為才開始成為數學家的”。大學高年級時，孔涅參加了數論學家查爾斯·皮索（Charles Pisot）和分析學家古斯塔夫·喬凱（Gustave Choquet）組織的討論班，並開始嚐試進行數學研究。1970年孔涅參加了一個暑期物理學校，他在那裏第一次接觸到算子代數理論。

1971年七月，孔涅應邀參加在西雅圖舉辦的一個學術會議，這是他和新婚妻子第一次前往美國旅行，因此並沒有注意會議的主題。那時算子代數領域的一大熱點是兩位日本數學家富田稔和竹崎正道發展的Tomita-Takesaki模理論，使得沉寂了近30年的馮·諾伊曼代數重新引起關注，而孔涅開始研究這一理論的方式是一個機緣巧合的故事。孔涅夫婦首先飛往紐約看望他當時在普林斯頓的兄弟，他在書店挑選了一本看上去有趣的數學小冊子，用以打發之後前往西部長達五天的火車旅行時間。在西雅圖參加會議期間，孔涅發現那本書的作者竹崎正道竟然是會議的報告人之一，他因此決定隻聽竹崎的報告，並開始專注於Tomita-Takesaki模理論。

馮·諾伊曼代數是由複 Hilbert 空間上有界線性算子構成的自伴代數，對於弱算子拓撲封閉並且包含恒等算子，是測度論的非交換推廣。匈牙利裔美國數學家約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）在1929年的論文《函數運算代數和正規算子理論》中首先提出“算子環”的概念，將有限維矩陣代數推廣到無窮維向量空間，為研究物理世界中無窮自由度的係統提供了新的數學工具。1930-40年代，馮·諾伊曼在博士後弗朗西斯·默裏（Francis Murray）的協助下，研究了算子環的一些重要性質以及分類和構造，發表了一係列奠基性論文，也留下了許多尚未解決的問題。馮·諾伊曼去世後，在迪厄多內建議下，算子環被重新命名為 “馮·諾伊曼代數”。

回到巴黎後，孔涅開始尋找在法國從事相關研究的數學家。當得知雅克·迪克斯米爾（Jacques Dixmier，1924-）是算子代數的領軍人物之一時，他決定參加九月份迪克斯米爾主持的討論班。在第一天的討論班上，迪克斯米爾帶來幾篇論文，讓參加者自行挑選並準備報告。孔涅隨機地拿了其中一篇，在回家的火車上，他發現該文作者荒木不二洋（Huzihiro Araki ）和愛德華·詹姆斯·伍茲（Edward James Woods） 所做的事情實際上與Tomita-Takesaki 模理論密切相關。當天孔涅就給迪克斯米爾寫了一封信，並寫出一篇四頁的報告，闡述了Araki-Woods 不變量可以用 Tomita-Takesaki 模理論計算。他從此步入研究生涯，開啟了自己在數學王國神奇領地上的尋寶之旅。

從因子分類到非交換幾何

2024年滿一百歲的迪克斯米爾於1942年進入巴黎高師學習數學，師從亨利·嘉當和加斯頓·朱利亞（Gaston Julia），1949年獲得巴黎大學博士學位。迪克斯米爾是布爾巴基學派的成員之一，他認為自己在學派中屬於比較中庸的一員。迪克斯米爾對布爾巴基學派的巨著《數學原本》的“李群和李代數”分卷做出了重要貢獻，算子理論中的“Dixmier跡”和李代數中的“Dixmier映射”均以他的名字命名。迪克斯米爾年輕時閱讀了默裏和馮·諾依曼關於算子環的係列論文，1947年他曾拜見來訪巴黎的馮·諾依曼，1954年在阿姆斯特丹國際數學家大會上聆聽了馮·諾依曼的《數學中未解決的問題》主題演講，1957年他用法文撰寫了關於馮·諾依曼代數的第一本專著。

迪克斯米爾一共指導了20位博士生，孔涅是其中最傑出的一位。1971年他在自己的討論班上第一次見到孔涅時有些吃驚，因為大部分參加者都是他的學生。孔涅關於Araki-Woods不變量的簡潔證明給他留下了深刻印象，從那時起兩人成為終生好友。在迪克斯米爾的指導下，孔涅用兩年時間完成了博士論文《III型因子的分類》，於1973年獲得巴黎第六大學（現為索邦大學）博士學位。因子是具有平凡中心的馮·諾依曼代數，目的是為了探索量子力學中Hilbert空間的非平凡分解。默裏和馮·諾依曼將因子分為I、II、III型，利用態跡對前兩種類型的因子進行研究。孔涅的主要工作是發現了馮·諾依曼代數新的同構不變量，並將III型因子進一步細分為III_λ型因子，這裏0 ≤ λ ≤1。

自從在普林斯頓發現竹崎正道寫的書開始，又在西雅圖遇到作者本人，再到巴黎拜師迪克斯米爾，其中似乎存在某種隨機因素，因此有人說孔涅很幸運。但是他本人認為機緣巧合並不等同於幸運，可能開始有一定的隨機因素，而隨後卻必須做大量工作。這些工作是以“那裏有東西”的想法為指導的，這種直覺層麵的想法或內在的驅動力在數學中比什麽都重要，難以傳遞給他人。在前往奧斯陸訪問挪威數學家埃爾林·斯托默（ Erling Størmer ）時，孔涅了發現博士論文中的重要結果。在六月北歐那些漫長的白晝裏，太陽不會真正落山，因此給他留下了美好的回憶。孔涅說自己是為發現的樂趣而工作，而這種快樂是其他任何事情都無法替代的。

博士畢業後，孔涅繼續自己在博士論文中提出的想法，取得了許多重要的研究成果。他證明了II型超有限內射因子的唯一性並對其自同構群進行分類，從而對於0 ≤ λ <1得到了III_λ型超有限因子的幾乎完全分類。這一抽象理論在同行中引起巨大反響，孔涅發展的研究方法日後也成為量子統計力學、C*動力係統等領域的重要工具。1978年，孔涅應邀在赫爾辛基國際數學家大會上作一小時報告，一顆數學新星冉冉升起。在1983年華沙國際數學家大會上，孔涅獲得菲爾茲獎，荒木不二洋作了題為 “阿蘭·孔涅的工作”的大會報告，他指出：孔涅關於因子分類的工作 “構成了馮·諾依曼代數理論中最完善和最引人注目的部分”。

非交換理論的源起可以追溯到1925年，沃納·海森堡（Werner Heisenberg）提出了兩種力學中著名的“不確定性原理”：在一個量子力學係統中，一個運動粒子的位置和它的動量不可被同時確定，他因此與馬克斯·玻恩（Max Born）等人共同提出了矩陣力學的概念。類似的不確定性關係也存在於能量和時間、角動量和角度等物理量之間，馮·諾伊曼關於算子代數的奠基性工作，就是受到海森堡不確定性關係的啟發。算子代數領域的一個標誌性結果是1943年證明的Gelfand-Naimark表示定理，即緊豪斯多夫拓撲空間可以從該空間上函數的C*-代數中重建出來。在完成了超有限因子的分類工作之後，孔涅嚐試將Gelfand-Naimark表示定理中空間與代數之間的交換對偶性擴展到非交換環境，獲得了巨大成功。

在數學和量子物理學中，存在許多幾何空間自然地對應於非交換代數。孔涅在與丹尼斯·沙利文（Dennis Sullivan）、亨利·莫斯科維奇（Henri Moscovici）、保羅·鮑姆（Paul Baum）等數學家的交流與合作中不斷產生新思想，提出了循環上同調（cyclic cohomology）理論及其與K-理論的關係，逐步搭建起非交換幾何學的框架。非交換幾何學融合了分析、代數、幾何、拓撲、物理、數論等多個領域，經典分析中的許多基本概念和工具均可擴展到非交換的情形，離散變量和連續變量作為算子共存並被同步處理。1990年孔涅出版了法文專著《非交換幾何》，英文版於1994年問世，2001年的克拉福德獎就是表彰他對算子代數和非交換幾何學理論做出的開創性和獨特貢獻。圖為孔涅（1989年）以及他的《非交換幾何》英文版封麵（1994）。

孔涅的工作為理論物理的研究提供了強有力的新方法，包括標準模型和重整化理論，對於量子理論給予了全新的解釋。彭羅斯平鋪（Penrose tiling）和葉狀結構（Foliation）是非交換幾何空間的兩個典型例子。彭羅斯平鋪的一個顯著特征是其局部同構性，因此是非交換幾何技術的主要示例。孔涅發現黎曼曲麵上的測地線流Anosov 葉狀結構可以產生一類超有限的III₁型因子，在相對論量子場論中與局域代數同構。如果使用非交換代數作為坐標代數，這類空間就變得易於處理。孔涅將描述基本粒子的標準模型納入了同一個幾何空間，使得將引力場納入標準模型成為可能，其最終願景是實現對於宇宙中所有相互作用統一理論的幾何學描述。（未完待續）

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