春後雨前的博客
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【續前】阿蘭·孔涅和他的非交換幾何世界（上）
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心智、物質和數學本質
數學是獨立於人類心智的永恒存在還是人腦發明或創造的產物？我們是發現了還是建構了它們？這場關於數學本質的哲學之辯延續了兩千多年，分成了“發現派”和“發明派”兩大陣營。“發現派”又被稱為 “柏拉圖主義者”，最早可追溯到畢達哥拉斯和柏拉圖等古希臘先哲，他們認為數學的存在貌似無法被人類改變，阿基米德、伽利略、笛卡爾、牛頓、哈代、哥德爾等人都屬於發現派陣營。20世紀初，以弗雷格和羅素為代表的邏輯主義、以希爾伯特為代表的形式主義、以布勞威爾為代表的直覺主義（發明派的現代版本）三大學派之間發生了激辯，從而引發了史上第三次數學危機。這一涉及數學的文化複雜性和永久正確性的問題，也許會永遠爭論下去。
1995年，孔涅與國際知名的法國神經生物學家讓-皮埃爾·尚熱（Jean-Pierre Changeux）就數學本質進行了一場著名的辯論，並出版了《關於心智、物質和數學的對話》（Conversations on Mind, Matter, and Mathematics）一書。數學是否構成一種原則上允許人類與外星文明交流的通用語言，或僅僅是一種地球語言，而其偶然存在歸功於智人大腦中神經元網絡的特殊進化？ 物理世界是否真地遵守數學定律，或僅僅是因為物理學家越來越能夠從數學角度理解物理現象似乎符合這些定律？兩位科學家討論了人類大腦的發展作為自然選擇和變異的功能、數學在解釋物理世界時“不合理的有效性”的原因、人類智力的特征和數學創造力的來源等問題，該書生動地記錄了他們之間的深刻分歧以及尋求相互理解的真誠努力。圖為《關於心智、物質和數學的對話》英文版封麵和簡介。
尚熱曾在多個生物學領域取得重要的研究成果，例如蛋白質的結構和功能、神經係統的早期發育和認知功能等，因其關於心智與大腦生理機能之間關係的觀點而為非科學界人士所熟知。由於數學是人類的認知活動，因此尚熱首先從心理和神經認知的角度對其進行分析。他主張的神經唯物主義認為數學對象實質上是存在於大腦中的心理對象，作為心理表征而被賦予物質現實。更重要的是，公理化分析方法本身就是一個“大腦過程”。根據尚熱的說法，大腦不可能是一台生物計算機，而是一台自然進化的達爾文機器。數學的真實性、存在性、連貫性和剛性是其“進化的後驗結果”，人類知識獲取的裝置——我們的大腦——就像它的數學對象本身一樣演化。
尚熱是最早通過突觸的選擇性穩定提出表觀發生基本機製模型的科學家之一，他引用了大量包括神經生物學和認知心理學領域的科學數據，指出大腦中存在感性、知性、理性的從具體到抽象不同層次的認知組織，在從脊髓的基本神經回路、腦幹和神經節一直到額葉皮層的神經結構中實現，其複雜性在數學宇宙漸進式結構化中起著基礎性作用。尚熱認為，數學構成了一種語言，因此必須像任何其他語言一樣，從概念形成的認知理論出發並進行處理。數學對象存在於“宇宙中某個地方”的說法是一個過去魔法神學時代的“神話殘餘”，數學隻能是一係列心智建築。自然界存在規律性，但這些是“物質固有的屬性”而不是數學定律。
與尚熱相反，孔涅是一位現代的柏拉圖主義者。他堅稱： “獨立於人類意識之外，存在著一個原生而永恒的數學世界。”在孔涅看來，如果數學被簡化為一種語言，否認數學的真實性，那麽就沒有理由不認為感知到的任何真實物體都僅僅是“一種有助於解釋某些視覺現象的心理結構”。如同哥德爾不完備性定理在其最深刻的表述中所闡述的，數學不能簡化為正式語言。孔涅以素數為例，指出素數“構成了比我們周圍的物質現實更穩定的現實”。他多次提到承認數學真實是“原始的和不變的”之重要性，他指出數學真實像物理真實一樣受到限製，但要穩定得多，因為它不在時空之中，而時空世界中的存在不再是客觀真實性的唯一標準。
關於數學的真實性，孔涅在辯論中強調了如下三個方麵：1. 對由公理體係定義的對象進行詳盡分類的可能性，公理化允許“為由非常簡單的條件定義的數學對象提出的問題分類”。這一曆史從古希臘幾何學家開始，他們對五種柏拉圖立體進行了分類。2. 數學理論的一致性與和諧性。盡管對其原因仍“無法解釋”，卻是無可爭議和客觀的“隨機性對立麵”。一個典型的例子是沃恩·瓊斯（Vaughan Jones）關於馮·諾伊曼代數中子因子的指標定理，以及與紐結理論的驚人聯係和在量子場論中的應用。瓊斯是孔涅的非正式學生，1990年獲得菲爾茲獎。3. 有趣的數學理論（結構）包含無限的但不能被有限公理化的信息量，而這正是獨立於一切人類創造的客觀存在的顯著特征。
非交換性是時間的發生器
“時間是什麽？”這是另一個備受爭議和令人燒腦的問題。量子力學中的時間和廣義相對論中的時間是一個互相衝突的概念，量子力學認為時間的流動是同一的和絕對的，而廣義相對論則認為時間的流動是動態的和相對的, 時間和空間作為時空一起演化。孔涅在幾年前的一次訪談中說： “人們從量子力學中發現的非交換性，其實就是時間的發生器。 我仍在思考這樣一個事實，即時間的流逝，或者我們感覺到時間在繼續卻無法阻止，實際上恰恰是量子力學的非交換性結果，或者更明確地說是量子力學內在隨機性的結果……我相信時間流逝的起源正是這種隨機性。”“ 在非交換世界中，有一種完全原始的東西在交換世界中不存在，這就是上帝賜予的時間演化。” 他認為由宏觀狀態決定的時間與量子非交換性決定的時間是同一現象的不同方麵。
孔涅與他的妻子丹耶·謝羅（Danye Chéreau）及導師迪克斯米爾一起撰寫了兩部科幻小說：《量子劇院》（Le théâtre quantique，2001）和《阿塔卡馬幽靈》（Le Spectre d''Atacama，2018）。謝羅是一位高中拉丁語和希臘語老師，她總是以好奇和有趣眼光看待科學世界。迪克斯米爾在1990年代曾寫過兩篇科幻小說：《眾神的黎明》（L'Aurore des dieux）和《第七次保證金》（Le Septième arrhe）。這兩本用六隻手寫出的書使得那些遠離普羅大眾的科學理論大放異彩，他們在《量子劇院》中寫道： “量子的變幻莫測是神聖時鍾的滴答聲”（l'aléa de quantique est le tic-tac de l'horloge divine）。孔涅用他40多年來一直在改進的奇特工具——非交換幾何，將人們帶入了 “虛構”的宇宙，其哲學意義大於數學意義。圖片右起：孔涅夫婦與迪克斯米爾，攝於2013年。
在《量子劇院》中，年輕美麗的女科學家夏洛特·登皮埃爾（Charlotte Dempierre）通過自己的設計，讓日內瓦歐洲核子中心的阿特拉斯探測器讀取她的大腦，並在全球計算機網絡的幫助下，成功測量了神經網絡中所有基本粒子，因此時間消失了。夏洛特經曆了無限的過去和未來，帶給讀者一段非凡的啟蒙之旅，或睡美人的經曆。小說借夏洛特之口說：“我擁有一筆無人知曉的財富，我擁有對自己的存在全觀的視野——不隻是對於一瞬間，而是對於‘作為一個整體’的我的存在。我能夠把空間與時間的有限性進行比較，對於前者無人反對，而後者卻帶來問題……我的印象是失去了量子場景提供的所有無限信息，因此將我不可抗拒地拖回時間之河。”
《阿塔卡馬幽靈》講述數學家阿爾芒·拉福雷（Armand Lafforêt）遭遇數學中尚未解決的一個重大問題——黎曼猜想的故事，通過法國作曲家奧利維爾·梅西安（Olivier Messiaen）和他的室內樂《時間終結四重奏》，以及在智利阿爾瑪天文台捕捉到的包含黎曼 zeta 函數零點在內的神秘光譜，揭示了時空與音樂之間的聯係。拉福雷和他的科學家同伴為了確定發送光譜的是否外太空智能生物，必須設計一個圖靈測試進行檢驗，這一檢驗與韋伊關於黎曼猜想的工作有關。書中人物所做的是將與素數相關的模式發送到外太空，但他們會遺漏一個素數。如果收到信息的生物足夠聰明，就會通過發送缺失素數的模式來回答，量子的危險與素數的叛逆交織在一起。
1990年代，孔涅與讓-伯努瓦·博斯特（Jean-Benoit Bost）合作研究量子統計力學時，發現了一個對稱性自發破缺的係統，其配分函數是黎曼 zeta 函數，而zeta 函數的零點自然顯示為 “時間開始”。孔涅後來創作《阿塔卡馬幽靈》的靈感也發源於此，他意識到梅西安音樂的節奏與韋伊模擬的 zeta 函數零點的周期具有完全相同的模式。為此孔涅在《數學和音樂》雜誌上發表了一篇文章，闡述了代數幾何中 “動機”（motif）的數學特性與音樂 “節奏”（rhythms）之間令人驚訝的關係。動機是格羅滕迪克在 1960 年代提出的一個概念，用於統一大量有類似性質的上同調理論，格羅滕迪克將其描述為 “終極上同調不變量”。圖為《量子劇院》和《阿塔卡馬幽靈》的法文版封麵。
亞曆山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014）是20世紀最偉大的數學家之一，也是布爾巴基學派成員。他將空間和相關的環作為主要研究對象，開創了代數K-理論和拓撲K-理論的研究，為現代代數幾何學奠定了新的基礎。1950年代末，格羅滕迪克引入了“拓撲斯”（topos）的概念，拓撲斯是“空間概念的變體”，使得拓撲直覺形式化，這也是點集拓撲學的範疇論推廣。2014年，孔涅與合作者發現了一個算術拓撲斯，可以產生與他在 1996 年發現的非交換空間相同的空間，從而在格羅滕迪克的拓撲斯觀點與非交換幾何的觀點之間建立起聯係。孔涅年輕時也曾參加過布爾巴基的活動，但據他自己說隻持續了一年多時間。
格羅騰迪克在其自傳《收獲與播種》（Récoltes et Semailles）中描述了一幅他從分析出發，最終來到代數幾何的過程中所經曆的景象： “我仍然記得這個吸引人的印象（當然，這完全是主觀的），就像是我離開了令人厭惡的幹旱荒原，突然發現自己來到了一個華麗繁茂、遍地流金的 ‘富裕地帶’，到處都充斥著無窮無盡的財富，這裏令人禁不住伸出雙手，去采摘果實或者開發寶藏??”這也是包括孔涅在內的無數數學家花費畢生心血致力於發現的真理：“條條道路通羅馬”，數學世界是連通的。孔涅認為，在數學中沒有比麵對無法解決的問題更好的進步方法了。他把這樣的問題視為一份禮物，始終樂此不疲。
【注】本文刊登於《數學文化》期刊
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