春後雨前的博客
蘭若生春夏，芊蔚何青青。秋漁蔭密樹，夜博然明燈。
17世紀以來，法國曆史上出現了眾多一流數學家，笛卡爾、韋達、帕斯卡、費馬、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾、勒讓德、蒙日、彭賽列、柯西、傅裏葉、伽羅華、龐加萊、阿達馬、格羅滕迪克等大師級人物，如天空中的群星般璀璨，不可勝數。與人們印象中對於數學家的刻板印象不同，很多法國數學家熱心於社會政治活動，在法國還有數學家從政的傳統。例如1799年拉普拉斯曾給數學愛好者拿破侖當過六個星期的內政部長，1831年伽羅瓦兩度因政治原因下獄，2010年菲爾茲獎得主維拉尼（C. Villani）出任法國國民議會議員。數學家、政治家和航空讚助人保羅·潘勒韋（Paul Painlevé，1863-1933，舊譯“班樂衛”）也是這樣一位奇人。左圖：潘勒韋標準像，右圖：1925年11月9日《時代周刊》封麵的潘勒韋頭像。
所處時代裏最著名的數學家之一
潘勒韋出生在巴黎的一個工匠家庭，他的童年正值法國的動蕩年代，從小在文學和科學方麵都具有天賦。直到中學畢業前，潘勒韋尚未決定自己的人生方向，在政治和工程之間舉棋不定，但最終選擇了科學生涯。1883年潘勒韋進入巴黎高等師範學校（École normale supérieure，簡稱巴黎高師）學習數學，在P. Appell、G. Darboux、C. Hermite、皮卡德（É. Picard）、龐加萊（H. Poincaré ）和 J. Tannery等教授的影響下被數學深深吸引。他在博士論文導師——當時法國最傑出的數學家之一皮卡德建議下，1886年前往德國哥廷根大學跟隨克萊因（F. Klein）和施瓦茲（H. A. Schwarz）深造，次 年以題為《關於解析函數的奇異線》的論文獲得巴黎大學博士學位。
當時法國領先學者的標準職業道路是在外省獲得第一個教職，然後嚐試返回巴黎。潘勒韋博士畢業後被聘為裏爾大學（Université de Lille）數學和應用力學講師，1892 年回到巴黎，先後巴黎大學、巴黎綜合理工學院（École Polytechnique）和法蘭西公學院（Collège de France）任教，1903年成為巴黎大學數學教授，1905年成為巴黎綜合理工學院力學教授。潘勒韋的主要研究領域涉及微分方程及分析力學，他對數學最早的興趣是代數曲線和曲麵的有理變換，提出了雙均勻變換的概念，並對非線性分析理論表現出極大興趣。潘勒韋具有敏銳的數學直覺，他在1900年發表的一篇文章中寫道：“在實數域的兩個真理之間，最簡單和最短的路徑通常是穿過複數域。”這段話後來被誤傳成阿達馬（J. S. Hadamard）的“名言”。
在瑞典現代數學之父米塔-列夫勒（G. Mittag-Leffler）的斡旋下，1888年龐加萊因對三體問題的研究獲得瑞典和挪威君合國國王奧斯卡二世頒發的數學獎。1895年9-11月，同樣對三體問題感興趣的潘勒韋應國王之邀前往斯德哥爾摩大學講學。潘勒韋的講義《微分方程的解析理論教程》兩年後出版，其中包括對n體問題奇異性的第一次係統研究。例如他證明了“三體問題的奇點都是碰撞奇點”， 並提出了著名的“潘勒韋猜想”：當n>3 時，n 體問題存在非碰撞奇點。用通俗的話來說，就是如果係統中有三顆以上星球，就可以將其中一顆甩到無窮遠處。留美中國數學家夏誌宏（1992年）和薛金鑫（2014年）分別證明了當n ≥ 5和n=4時潘勒韋猜想成立。
潘勒韋取得的最重要的成就之一是發現了後來以他的名字命名的非線性常微分方程以及新的超越函數。眾所周知，線性常微分方程可以使用初等函數或經典的特殊函數求解，而求解非線性微分方程比線性方程困難得多。19世紀發現的橢圓函數擴展了特殊函數族，可用來求解一類二階非線性常微分方程。潘勒韋利用 K. Weierstrass、L. Fuchs 和 S. V. Kovalevskaya 的想法，研究了一類二階非線性常微分方程，其通解的二階導數是自身和一階導數的有理函數，該函數在複平麵上局部解析，並且通解沒有可移動臨界奇點。這類方程被稱為具有“潘勒韋特性”，有些文章中（如維基百科）“唯一可移動的奇點是極點”的定義是錯誤的。
潘勒韋與B. Gambier、R. Fuchs等發現，具有潘勒韋特性的非線性常微分方程總是可以轉化為50種規範形式之一，其中44個方程可以經約化後使用已知函數求解，隻有六個方程需要引進“新的”超越函數。這六個常微分方程被稱為“潘勒韋方程”，而其解被稱為“潘勒韋超越函數”，具有與經典特殊函數非常不同的性質。某些潘勒韋方程的不可約性一直是一個有爭議的話題，1980年代末，日本數學家K. Nishioka和H. Umemura證明了所有潘勒韋方程都不可約化為線性方程或利用橢圓函數求解。由於在現代幾何、量子場論、可積係統和統計力學中的應用，近年來潘勒韋超越函數重新引起數學界的興趣，並且被推廣到高階非線性常微分方程以及非線性偏微分方程的研究。
潘勒韋係統地分析了剛體係統的運動，其中涉及到在滑動過程中的幹（庫侖）摩擦力。他給出了此類係統的一般運動方程，並指出了使用庫侖摩擦定律可能導致的自相矛盾的情況，提出了摩擦係統動力學中的“潘勒韋悖論”。後來潘勒韋還曾嚐試創建力學公理，他相信力學公理允許定義僅適用於直線和勻速平移運動的絕對運動坐標係。類似於潘勒韋方程，由於近幾十年來非線性動力學方法的發展，潘勒韋悖論再次回到公眾視線。米塔-列夫勒對潘勒韋的評價是：“他不懼怕最困難的問題，是一位真正的發明家。” 與潘勒韋師出同門的阿達馬說：“潘勒韋繼承了龐加萊的工作，達到了人類力量的極限。”
潘勒韋的數學才華很快得到國際公認，成為那個時代最著名的數學家之一。他曾獲得法國科學院數學科學大獎（1890）、波爾丁大獎（Prix Bordin，1894）和蓬塞萊大獎（Prix Poncelet，1896），1900年當選為法國科學院（Académie des sciences）院士。同年在巴黎舉辦的國際數學家大會（ICM）上，潘勒韋擔任分析分會主席。1904 年，他在海德堡ICM上作了題為《積分微分方程的現代問題》的大會報告。潘勒韋指導的一名博士是1907年畢業於巴黎高師的法都（P. Fatou），因勒貝格積分中的Fatou引理和複變動態係統中的Fatou集而知名。圖為潘勒韋的著作：《微分方程的解析理論教程》（左），《航空學》（右）。
航空先行者及執掌多個部門的政治家
如果潘勒韋繼續從事數學研究，前途未可限量。然而19世紀末著名的“德雷福斯事件”改變了他的人生，從而邁出了政治生涯的第一步。德雷福斯（A. Dreyfus）是一位法國猶太裔軍官， 1894 年 12 月被反猶聯盟指控叛國罪並被判處無期徒刑。1898年初以著名作家左拉（É. Zola）投書支持德雷福斯的清白為開端，掀起了為期十多年、天翻地覆的法國社會大改造運動。1899 年潘勒韋在新的軍事法庭上作證，持續為德雷福斯爭取正義，直到 1906 年他被無罪釋放，正式成為國家英雄。與潘勒韋亦師亦友的龐加萊和阿達馬均為德雷福斯平反奔走呼號。
1901 年，潘勒韋與J. Petit de Villeneuve結婚，他們的兒子讓（Jean Painlevé）於次年出生。不幸的是，潘勒韋的妻子在生產六周後死於產褥熱。讓由其父孀居的姐姐撫養成人，後來成為著名紀錄片導演和製片人，執導了 200 多部科學和自然電影。潘勒韋是一位理想主義、人道主義及和平主義者，他於1910年停止了所有教學和研究工作，成為一名全職政治家。作為中左翼的共和-社會黨人，潘勒韋一直擔任法國眾議院議員。第一次世界大戰開始後，他主持了多個軍事方麵的委員會。潘勒韋於 1915 年加入內閣，曆任法國公共教育部長、國防發明部長、戰爭部長、航空部長、財政部長等職。
潘勒韋自幼就對探索科學的奧秘感興趣，對前衛技術充滿好奇和激情，他在 1903 年利用流體力學理論證明了飛行的可能性。 1908年 ，美國航空先驅萊特兄弟（Wright brothers）在幾乎沒有政府支持的情況下降落法國，展示他們的飛機並與法國方麵談判專利。10 月 10 日，潘勒韋登上威爾伯·萊特（Wilbur Wright）的飛機，成為第一位飛上天空的法國人。這架飛機攜帶了45 升汽油，在十米高的空中飛行了55公裏，曆時1小時9分鍾後成功著陸。這位狂熱的航空科學家親身體驗了自己的計算結果，順利完成征服天空的壯舉。
潘勒韋非常清楚飛機的重要性，他認為這是一種具有廣闊前景的新型交通工具，他遊說法國眾議院，建立成立一個涉及航空的軍事部門並獲得成功，為法國航空業奠定了政治基礎。1909年潘勒韋成為法國第一位航空動力學教授，致力於航空科學的理論研究，擔任多個空中航行委員會的主席，並率先在大學開設空氣動力學課程。1910年，潘勒韋與他的好友——法國著名數學家博雷爾（É. Borel）合作撰寫了《航空學》一書。博雷爾是20世紀初測度論的開拓者之一，拓撲學中的Borel集以他的名字命名。博雷爾也是一位政治家，於1925年擔任海洋部長。
1917年，作為戰爭部長的潘勒韋在一次講話中說：“科學為人類社會保證公平合理的法律和組織，它將通過增加工業力量和對自然的控製來解決社會問題，不斷創造新的財富，但不會從任何人手中奪走它們。科學將通過博愛的訓化和智慧的發展最終軟化人類行為，其本質上的集體努力已經使我們從心底和思想深刻地感受到高度團結所賦予生命的教誨。” 1924-1925年間潘勒韋當選為眾議院議長，他還兩次出任法國第三共和內閣總理，第一次是在一戰關鍵時期的1917 年 9 月 12 日至 11 月 13 日，第二次是在 1925 年4 月 17 日至 11 月 22 日的金融危機期間，因其改革計劃未得到眾議院批準而辭職，博雷爾就是潘勒韋第二任總理期間的內閣成員。圖為1908年10月28日，潘勒韋（右）乘坐法國飛行員Henri Farman駕駛的Voisin 雙翼飛機
為中法文化科學交流搭橋
由於從事科學研究的關係，潘勒韋對於古老神秘的中華文明十分好奇。早在1914年，他就結識了因二次革命失敗流亡巴黎的民國首任教育總長蔡元培。1919 年巴黎和會期間，北洋政府交通總長葉恭綽前往歐、美、日、朝鮮諸國考察。在葉恭綽、潘勒韋和韓汝甲等人的努力下，巴黎大學中國學院於1920年3月17日成立，潘勒韋為首任院長，後來赴巴黎大學勤工儉學的中國學生大多入讀該學院。潘勒韋曾向葉恭綽提出，法國政府願用退還的部分庚款印行四庫全書，為此他於1919年9月專程到上海商議此事，但由於資金缺口及時局動蕩未能成功。
1920年6月22日至9月11日，應北洋政府之邀，潘勒韋率領由法國文化界、知識界著名人士組成的代表團前往中國訪問，他的隨員中有法國文學家博納爾、巴黎大學經濟教授馬丹、鐵路工程師納達爾以及數學家博雷爾。潘勒韋特別強調此行是一次文化之旅，代表團與中國學術文化界進行了廣泛交流。7月1日，潘勒韋參觀北京大學，並在北大理科大講堂演講，蔡元培校長致歡迎詞。6月29日至7月1日，《北京大學日刊》連續三天進行宣傳。7月4日的《申報》以《北大歡迎班樂衛》為題作了報道，並刊登了蔡元培的歡迎詞和潘勒韋的演講。潘勒韋說：“三四千年之前，歐洲文明各國尚未形成，而中國之天文學、數學，竟能預測日、月蝕，實足欽佩。”
鑒於潘勒韋對中法文化交流的熱心，以及在數學領域的貢獻，8月31日蔡元培在北京大學主持儀式，聘請潘勒韋擔任北大名譽教授。北大教務會議還決定授予潘勒韋，美國外交家、遠東事務權威苪恩施（Paul Samuel Reinsch），法國教育家和外交家、裏昂中法大學校長儒班（Paul Joubin），美國著名哲學家、教育家、心理學家杜威（John Dewey）“理學榮譽博士”稱號，首開國內大學授予外國學者榮譽博士稱號的先河。授予儀式那天隻有潘勒韋一人在京，蔡元培在致辭中說：
“北京大學第一次授予學位，而受者為班樂衛先生，可為特別紀念者有兩點：第一，大學宗旨，凡治哲學文學及應用科學者，都要從純粹科學入手。治純粹科學者，都要從數學入手。所以各係次序，列數學為第一係。班樂衛先生為世界數學大家，可以代表此義。第二，科學為公，各大學自然有共通研究之對象。但大學所在地，對於其地之社會、曆史，不得不有特別注重之任務，就是分工之理。北京大學既設在中國於世界學者共通研究之對象外，對於中國特有之對象，尤負特別責任。班樂衛先生最提倡中國學問的研究，又可以代表此義。所以我以為本校第一次授予學位屬於班樂衛先生，不但是北京大學至重要之紀念，實可為我國教育界之大紀念。”圖為1920年潘勒韋（左三）、博雷爾（左二）等在北大。
1920年底蔡元培抵達法國考察，遍訪當地名流。蔡元培兩次拜訪老友潘勒韋，請他推薦幾位法國學者訪華。潘勒韋推薦的第一位科學家就是享譽世界的瑪麗·居裏，另外三位是物理學家佩林（J. B. Perrin）、朗之萬（P. Langevin），及數學家阿達馬。為此蔡元培專門程前往瑪麗·居裏的實驗室，邀請她到中國訪問，遺憾的是一直未能成行。1931年朗之萬參加國聯組織的中國教育與科學發展考察團來華訪問，與中國物理學家進行了廣泛接觸和交流，做了多次學術演講。1936年阿達馬前往上海交大、浙江大學演講，後應清華大學之邀赴京講學3個多月。四位大師分別培養了施士元、李書華、汪德昭、熊慶來、吳新謀等中國弟子，對中國近代數學和物理學的發展產生了重要影響。
政治生涯裏的“廣義相對論”插曲
1921-1922年間，潘勒韋的注意力轉向廣義相對論。1925年11月，愛因斯坦提出了廣義相對論的核心——場方程，不久後德國物理學家K. Schwarzschild證明了被稱為“史瓦西度規”的球對稱真空解，其重要特征是史瓦西半徑和奇點。潘勒韋和與古爾斯特蘭德（A. Gullstrand）先後獨立推導出在史瓦西半徑處沒有奇點的愛因斯坦方程解，這個解後來命名為 Gullstrand- Painlevé 坐標。古爾斯特蘭德是瑞典烏普薩拉大學眼科與光學教授、1910年諾貝爾生理或醫學獎得主、諾貝爾物理學獎評委，曾極力反對愛因斯坦因相對論獲獎。1921 年 10 月和11月，潘勒韋在法國科學院發表了兩篇筆記，其中考慮廣義相對論的數學形式，直接從問題的對稱性推導出上述愛因斯坦場方程解。
1921年底潘勒韋寫信給愛因斯坦，介紹自己的解決方案，並邀請愛因斯坦前往巴黎探討。1922 年3月底愛因斯坦接受法國物理學會之邀訪問巴黎，成為一戰後首位在法國露麵的德國人，因此引起轟動。愛因斯坦在法蘭西公學院作了公開演講，並與潘勒韋、貝克勒爾（H. Becquerel）、布裏淵（L. Brillouin）、嘉當（É. Cartan）、阿達馬、朗之萬等人進行了激烈辯論。愛因斯坦對於潘勒韋方案中線性元素的非二次交叉項感到困惑，因此否定了他的想法。在這場辯論後，潘勒韋發表了第三篇筆記，將他在牛頓理論中使用的幾何形式擴展到廣義相對論。
法國科學院是一個相當保守的學術機構，包括其中最活躍的一些成員，直到1921年都對廣義相對論持敵對態度，認為它破壞了牛頓經典力學。在經過某些科學院成員對於廣義相對論的一場惡毒攻擊之後，潘勒韋的工作旨在“緩和”這場辯論，引導那些對愛因斯坦新理論感到困惑的同事們對兩種理論進行比較性研究。根據潘勒韋的科學背景，當時很難做到完全客觀，他還沒有準備好放棄整個經典力學的大廈。然而他的嚐試具有高度建設性，為隨後在科學院進行的富有啟發性的辯論做出了貢獻，使得愛因斯坦的巴黎之行富有成效。
潘勒韋最早構造出在史瓦西半徑處沒有奇點的愛因斯坦方程解，雖然後來他對其有效性也表示懷疑，但是作為數學家，潘勒韋確信這一有爭議的方案的形式推導是正確的。潘勒韋對於廣義相對論的興趣持續了六個月後即重返政壇，而他的一些超前思想卻被遺忘了幾十年。盡管當時包括愛因斯坦在內的許多著名物理學家都認為在史瓦西半徑上的物理奇點是實際存在的，而1933年G. Lemaitre發現了潘勒韋的解實際上是史瓦西度規的一個坐標變換，人們才得知坐標係的變換揭示史瓦西半徑僅僅是一個坐標奇點，更深遠的意義是它代表了黑洞的事件視界。直到 1960年代，一些如微分幾何等更高級的數學工具進入廣義相對論的研究，物理學家們才普遍認可這一點。上圖：愛因斯坦在法蘭西公學院演講，潘勒韋坐在黑板左前方；下圖：前排左起朗之萬、愛因斯坦、諾埃勒伯爵夫人、潘勒韋，後排右二博雷爾。
富有理性和活力的一生
潘勒韋天生淳樸、精力充沛、充滿活力，身上散發著一種即使在其對手中也很少有人能夠抗拒的人格魅力。他一生在出世的數學家和入世的政治家不同角色之間切換，撰寫出版了144部學術著作、教科書及論文，最後一部著作是1930年出版的《無粘性流體阻力教程》。1925年潘勒韋辭去法國總理職位後，繼續在政府中擔任高官。1932 年他被推舉為法國總統候選人，卻在大選前退出。潘勒韋畢生享受理性思維和科學精神帶來的愉悅，成為“數學治國”的典範。潘勒韋是沿法國東部邊界的軍事防禦工事——馬其諾防線的主要設計者之一，他還提議製定一項禁止製造轟炸機的國際公約，並建立一支國際空軍以維護全球和平，但由於1933年1月法國政府倒台而付之東流。
一些曆史學家認為，盡管潘勒韋在他的政治生涯中取得了最高職位，但他作為數學家的貢獻更為顯著。潘勒韋在生命的黃昏又回到自己最喜愛的研究領域，他曾說：“如果我必須離去，我會盡量優雅地做到這一點！”1933 年 10月29日，潘勒韋因心力衰竭在巴黎家中去世，預言成為了現實。11月4日舉行國葬，潘勒韋長眠於先賢祠，法國失去了她最優秀的一個兒子。巴黎拉丁區的一個廣場及裏爾大學的一個數學實驗室以潘勒韋冠名，太陽係小行星953被命名為Painleva。有一艘法國航母也被命名為“潘勒韋號”，但僅存在於圖紙上。就像他的許多願景一樣，未必都能付諸現實或者被人長時間遺忘，然而潘勒韋終生為之奮鬥，樂此不疲。法國四大日報之一《小日報》1925年的兩期頭版，左圖：潘勒維（右）與內閣成員，右圖：潘勒維（飛機上站立者）訪問摩洛哥。
【注】本文被《返樸》公眾號推送
先謝再問夏安