春後雨前的博客
蘭若生春夏，芊蔚何青青。秋漁蔭密樹，夜博然明燈。
愛因斯坦的廣義相對論徹底改變了人類對於宇宙時空的認知，但是很多人並不知道，他曾得到過一位希臘裔德國數學家的幫助。愛翁在1955年去世前的最後一次公開講話中說："你們要求我回答各種問題，卻沒有人想知道誰是我的老師，誰向我展示了通往更高深的數學科學、思想和研究之路！我隻想說我偉大的老師是無與倫比的希臘人康斯坦丁·卡拉西奧多裏，一切都歸功於他。" 康斯坦丁·卡拉西奧多裏 (英文：Constantin Carathéodory，希臘文：Κωνσταντ?νος Καραθεοδωρ?，1873-1950) 祖籍希臘、生於柏林、在布魯塞爾長大，在德國度過了大部分職業生涯。他跨越歐洲不同文化，是20世紀最有影響力的數學家之一。
希臘是西方哲學、文學、戲劇、雕塑、建築、史學、政治學、數學和科學的發源地，被稱為"歐洲文明的搖籃"。古希臘人在數學和科學方麵成就斐然，群賢畢至，從編造神話故事來解釋世事的神話史觀開始，直到信奉"萬物皆數"的畢達哥拉斯、"希臘三哲"之一柏拉圖、"幾何學之父"歐幾裏得、科學巨人阿基米德等。愛因斯坦認為，西方文明對人類社會的兩大貢獻之一是古代希臘哲學家發明的演繹係統，另一個則是文藝複興時期發展出來的實證傳統。希臘語是世界上最早擁有元音字母的語言，這種語言將古希臘的民主、科學、戲劇和哲學最終推向全世界。對於全世界數學家來說，一個個希臘字母所代表的特殊含義，總能讓人會心一笑，例如π表示圓周率、φ表示黃金分割率、ε表示無窮小量等等。
公元前二世紀古希臘滅亡後成為羅馬帝國的一部分，東羅馬帝國以拜占庭為中心，孕育出東方色彩的希臘文化。1453年，奧斯曼帝國攻陷君士坦丁堡 (現為伊斯坦布爾)，隨後希臘進入奧斯曼土耳其帝國統治時期，直到1832年才正式宣布獨立。1897年因克裏特島的歸屬問題，希臘王國和奧斯曼帝國之間爆發了第一次希土戰爭。1920-1922年間，又因小亞細亞事件爆發了第二次希土戰爭。法那爾人是傳統上居住於君士坦丁堡法那爾區的東正教希臘裔居民，起源於16世紀後期一些富有的希臘裔商人 (多為羅馬遺民)，受過良好的西方教育，對於其希臘人身份具有認同感。17世紀末開始，法那爾人逐漸獲得奧斯曼中央重用，許多人官居要職，成為帝國與歐洲各國交往的翻譯和中間人。在19世紀希臘的獨立運動和歐洲複雜的政治環境中，法那爾人也扮演了重要角色。
卡拉西奧多裏來自君士坦丁堡法那爾區一個博學的希臘貴族家庭，家族多位成員擔任過重要的帝國政府職務和駐外使節。卡拉西奧多裏的父親是一位律師，長期擔任奧斯曼帝國駐比利時、俄國、德國的外交官。他母親的祖上是希臘第五大島希俄斯一個富商家族，傳說希俄斯還是古希臘吟遊詩人荷馬和"醫學之父"希波克拉底的故鄉。1822年希臘獨立戰爭期間，奧斯曼帝國軍隊在希俄斯島進行了大屠殺，卡拉西奧多裏的母係家族先後移居意大利和法國馬賽，因此他具有東西方雙重文化背景。卡拉西奧多裏對於物理學、語言學、哲學、政治、工程和考古等領域均有涉獵，他一生經曆了兩次希土戰爭以及兩次世界大戰的艱難時世，與20世紀上半葉的世界風雲變幻緊密相連。
卡拉西奧多裏六歲時母親因病去世，他和妹妹由外祖母撫養。卡拉西奧多裏從小接觸來自東西方不同國家的外交、科學、法學和音樂界傑出人士，中學時代展露出對幾何的興趣，兩次獲得全德高中數學競賽一等獎。他高中畢業後，遵循19世紀上半葉以來的家族傳統，在比利時皇家軍事學院接受土木工程師培訓，並接受數學教育。1895年，卡拉西奧多裏在克裏特島結識了希臘近代最著名的政治家之一韋尼澤洛斯 (Eleftherios Venizelos)，二人成為終身好友。1897年第一次希土戰爭爆發，卡拉西奧多裏表明了自己的政治立場。他後來前往埃及參加大壩修建工程和測量金字塔，業餘時間自學數學，他還撰寫了一本關於埃及曆史地理的書，作為對這個迷人國家的告別禮物。圖片攝於1898年，從左至右：卡拉西奧多裏、他的父親、妹夫和妹妹。
1900年是舊世紀的結束，也是新世紀的開始。希爾伯特 (David Hilbert) 在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的著名演講，提出了23個重要的數學問題，成為20世紀數學發展的最高綱領。正是在這一年 ，27歲的卡拉西奧多裏進入柏林大學，開始數學專業的學習，兩年之後他又來到當時的世界數學中心哥廷根大學讀博。希爾伯特領導的哥廷根學派締造了20世紀前30年的數學輝煌，那時國際數學界富有盛名的數學家近一半都出自哥廷根學派，在全世界學數學的學生中，最響亮的口號就是："打起你的背包，到哥廷根去。"
卡拉西奧多裏來到哥廷根後，受教於希爾伯特、克萊因 (Felix Klein) 等大數學家，哈恩 (Hans Hahn) 關於變分法的學術講座開拓了他的視野。在另一位數學大師、希爾伯特的好友閔可夫斯基 (Hermann Minkowski) 指導下，卡拉西奧多裏於1904年以《關於變分法中的不連續解》的論文獲得博士學位，同年他參加了在海德堡舉行的第三屆國際數學家大會。在希爾伯特的建議下，1905年卡拉西奧多裏取得Habilitation特許任教資格 ——德國的最高學銜，先後在波恩、漢諾威、布雷斯勞、哥廷根、柏林等地的高專或大學擔任教授。左圖為卡拉西奧多裏 (左) 與匈牙利數學家費耶 (Lipót Fejér)，1911年二人合作證明了關於調和函數的Carathéodory-Fejer定理；右圖為卡拉西奧多裏 (右) 與希爾伯特。
1919年秋天，卡拉西奧多裏的生活發生了戲劇性的變化。他接受了已成為希臘首相的韋尼澤洛斯的邀請，辭去了在柏林大學的教職，前往小亞細亞地區的士麥那籌建一所大學，以支持老友重建作為希臘化信標的愛奧尼亞海海岸的夢想。卡拉西奧多裏試圖以盎格魯-撒克遜的大學為模型，創建一所東方最完美的大學，以及整個東方獨一無二的收藏豐富的圖書館。因此他遍遊歐洲，為新大學購買書籍和設備。1922年8月第二次希土戰爭結束前，士麥那被土耳其人占領和焚毀，他的設想因此沒有成為現實。卡拉西奧多裏是在士麥那堅守到最後的希臘人之一，在他的安排下，大學所有圖書儀器移至雅典，希臘文明也和他一起離開了這片土地。1922和1923年，卡拉西奧多裏分別被聘為雅典大學數學教授和雅典國立工業大學力學教授。
1924年卡拉西奧多裏回到德國，應聘擔任慕尼黑大學教授及係主任，恢複了自己輝煌的職業生涯，並將餘生留在那裏。卡拉西奧多裏的數學興趣深深植根於幾何學和力學，他更是一位才華橫溢的分析學家，對於數學的簡單、自然和優雅具有極高的品味。卡拉西奧多裏憑借其飛揚的精神和不懈的追求，在諸多數學領域做出了卓越貢獻。他一生發表了60多篇學術論文，撰寫了7部著作，解決了曾困擾高斯和歐拉等數學大師幾百年的數學問題。至少有17條數學定義或定理以卡拉西奧多裏命名，在美國數學會的《數學評論》雜誌中有700多篇文章題目中帶有他的名字，他還是迄今為止唯一獲得德國科學院院士稱號的希臘人。
卡拉西奧多裏的主要研究領域是變分法，即處理極值泛函的數學領域。變分法起源於一些具體的物理學問題，最早可追溯到1687年牛頓的最小阻力問題和1696年約翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 的最速落徑問題。18世紀歐拉 (Leonhard Euler) 開始對這一類問題進行係統研究，並在其著作《變分原理》中確定了相應學科的名稱。1750年代歐拉和拉格朗日 (Joseph Lagrange) 提出了後來以二人名字命名的"歐拉-拉格朗日方程"，綜合了歐拉的幾何方法和拉格朗日的解析方法，成為求解泛函臨界值函數的關鍵定理，但缺點是不能分辨最大值、最小值或二者皆非。19世紀後期，魏爾斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 先後得出弱變分極小值和強變分極大值的充分條件，被認為具有劃時代意義。
在其博士論文及後續工作中，卡拉西奧多裏把變分法中關於光滑曲線的理論推廣到有角曲線，他基於漢密爾頓-雅各比方程構造極值場，證明了極值泛函的充分條件，並導出了歐拉-拉格朗日方程和魏爾斯特拉斯條件。卡拉西奧多裏重新研究了變分法與偏微分方程的關係，近年來他的方法被應用於最優控製和動態規劃理論。二戰期間卡拉西奧多裏編輯了歐拉的兩卷關於變分法的著作，於1946年出版。卡拉西奧多裏在幾何光學方麵的工作與他的變分法研究密切相關，他證明了除平麵鏡外，沒有其他鏡片可以避免像差，他還提出了施密特望遠鏡的理論。在1937年的著作《幾何光學》中，卡拉西奧多裏從柯西的特征理論出發，論證了惠更斯原理和費馬原理的等價性。
複分析是研究複函數、特別是亞純函數和複解析函數的數學理論，黎曼 (Bernhard Riemann) 1851年的博士論文《單複變函數一般理論基礎》包含了現代複變函數論主要部分的萌芽，並為他後來的黎曼幾何研究鋪平了道路。黎曼在這篇論文中陳述了複分析最深刻的結果之一 —— 黎曼映射定理，但其證明並不完整。奧斯古德 (William Fogg Osgood) 於1900年給出了該定理的第一個嚴格證明，1913年卡拉西奧多裏給出了另一個嚴格及完整的證明並推廣了定理，這也是第一個純粹依賴於函數理論而非位勢理論的證明，因此成為教科書中的標準證明方法。圖為卡拉西奧多裏兩本著作封麵，左圖的《共形表示論》英文版於1932年出版，右圖的《變分法和一階偏微分方程》德文版於1935年出版、兩卷英文版分別於1965和1967年出版。
19世紀以來，數學分析進入嚴格化階段，開始構建公理體係。隨著魏爾斯特拉斯關於實分析和複分析的基礎研究，以及康托爾 (Georg Cantor) 的集合論工作的問世，經典的黎曼積分理論暴露出較大的局限性，勒貝格 (Henri Lebesgue) 在1902年的博士論文中創立了後來以他的名字命名的測度和積分理論，對20世紀數學領域做出了重大貢獻。卡拉西奧多裏對測度論進行了公理化研究，提出了勒貝格可測集判定準則及測度的延拓定理，並將其推廣到布爾代數，成為抽象測度論的有力工具和現代測度論的基礎。卡拉西奧多裏對於常微分方程、多複變函數、凸幾何、辛幾何等也均有研究。
希爾伯特的23個數學問題中的第六問題是"公理化物理"，他在1899年出版的《幾何基礎》教材中，確立了幾何學嚴格的公理化基礎，用以避免傳統的歐幾裏得公理的一些弱點。1909年，卡拉西奧多裏在《數學年鑒》上發表了開創性論文《熱力學的基礎研究》，他給出了平衡、態與熱力學坐標等熱力學基本概念的數學化定義，提出了熱力學中不可逆的公理原理，指出狀態的不可及性與熵的存在有關。他將熱力學第二定律通過以下公理表達："在一個係統任意平衡態的相鄰態中，都存在經由可逆絕熱過程不能達到的狀態。" 卡拉西奧多裏關於測度論的工作為連續體物理和熱力學公式的改進提供了基礎，為伯克霍夫 (George Birkhoff) 將遍曆性確定為度量傳遞性，還為考普曼 (Bernard Koopman) 和馮·諾伊曼 (John von Neumann) 引入希爾伯特空間上動力學係統的譜分析鋪平了道路。
卡拉西奧多的博士導師閔可夫斯基也是愛因斯坦在瑞士蘇黎世聯邦理工大學讀書時的老師，而閔可夫斯基的四維時空為愛因斯坦的狹義相對論提供了數學表述結構。1916年，愛因斯坦在擔任普魯士科學院院士期間期望對於他自己提出的廣義相對論的數學基礎有更深刻的了解，特別是關於靜態宇宙中光和自由粒子的封閉軌跡相對應的測地線問題。因此他與卡拉西奧多裏取得聯係，請教漢密爾頓-雅各比方程和正則變換等"經典數學問題"，並很快得到卡拉西奧多裏的回複及詳盡的解釋，兩人1916-1930年間的通信全部收藏在瑞士首都伯爾尼的愛因斯坦博物館。1928年卡拉西奧多裏作為美國數學會的第一位訪問學者，擔任哈佛大學客座教授。1936-37年度他再次訪美，應邀在美國數學會年會上發表演講。圖為雅典街頭的一幅壁畫，左為卡拉西奧多裏、右為愛因斯坦。
卡拉西奧多裏非常熱愛古希臘文化傳統和遺產，1920年代選定士麥那建立一所新希臘大學，就是他的提議，而這一設想隨著1925年在希臘第二大城市塞薩洛尼基建立的亞裏斯多德大學才得以實現。1930年卡拉西奧多裏再次應韋尼澤洛斯之邀回到希臘，用兩年時間重組雅典大學和亞裏斯多德大學。卡拉西奧多裏訪美期間雖然通常是作為一位德國教授被介紹，但他經常提到自己的希臘血統，並為能夠提高希臘在美國的聲譽出力而自豪。卡拉西奧多裏是一位傑出的語言大師，除了母語希臘語和法語外，他還精通德語、英語、意大利語、土耳其語和古代語言。卡拉西奧多裏也是一位才華橫溢的演說家，1936年在挪威奧斯陸的國際數學家大會上，他被任命為菲爾茲獎評委會五位成員之一，在大會上發表演說並頒發了第一枚菲爾茲獎章。
卡拉西奧多裏一項有趣的研究是關於帕特農神廟北麵的柱座曲線和石柱間距，1937年他參加了希臘考古學會百年紀念活動並發表了自己的論文。興建於公元前五世紀的帕特農神廟是為雅典城邦守護神雅典娜女神 (Athena) 而建的祭殿，得名於雅典娜的別號Parthenon，矗立在雅典衛城最高處。帕特農神廟是古希臘與雅典民主製度的象征，代表了古希臘建築和雕刻藝術的最高水準。19世紀以來，多位英國建築師測量和研究了帕特農神廟的柱座曲線，大都認為是一條拋物線。卡拉西奧多裏則利用當時最新的測量結果，從數學角度進行研究。他的結論是：帕特農神廟的柱座曲線是一條半徑為5560米的圓弧，因為在神廟建成百年之後圓錐曲線才被古希臘數學家梅納希莫斯發現。
1924年當卡拉西奧多裏來到慕尼黑時，那裏已經為民族主義和反猶太主義提供了肥沃的土壤，但無人能預見到近十年後納粹掌控德國的巨大災難。二戰期間卡拉西奧多裏因其希臘血統受到一定程度的歧視，並且與德國中產階級一樣，對於納粹在希臘的大屠殺以及驅趕科研機構的猶太人等罪行保持沉默。然而並不是每個人都可以成為"英雄"，作為站在兩個民族之間的人，卡拉西奧多裏總是在他人需要時伸出援手。他利用自己在國際學術界的關係和聲譽，幫助"非雅利安"的同行找到教職或逃離德國，包括一些著名數學家和科學家。卡拉西奧多裏的兒女在家裏隻允許說希臘語，他的女兒Despina清楚記得，由於她曾在家裏對納粹給予正麵評價，挨了一生中父親唯一的一記耳光。
卡拉西奧多裏一生中一直保持與希臘學術界的密切聯係，他在雅典大學任教時的本科學生Evangelos Stamatis，後來研究古希臘經典數學並取得很大成就。在二戰最艱難的時候，卡拉西奧多裏幫助希臘拓撲學家Christos Papakyriakopoulos在雅典大學獲得博士學位。戰後卡拉西奧多裏又竭盡全力，為德國重新融入文明世界做出貢獻。卡拉西奧多裏是一個具有良好教養並受人尊敬的人，他完全擺脫了在學術界屢見不鮮的虛榮和嫉妒，為別人的成就感到純粹的喜悅。直到77歲去世前幾天，卡拉西奧多裏仍然坐在書桌前研究數學。左圖是1994年發行的兩枚希臘郵票，上為卡拉西奧多裏、下為泰勒斯；1950年卡拉西奧多裏卒於慕尼黑，右圖是位於慕尼黑南部森林公墓的他和夫人Euprhrosyne及兒子Stephanos的墓地，墓碑頂端設計成希臘愛奧尼式柱頭。
卡拉西奧多裏一生指導了20餘位博士學生，多人日後成為卓有成就的數學家，最早也是最著名的兩位是畢業於波恩大學的Hans Rademacher和Paul Finsler。前者因其在解析數論、數學遺傳學、實分析和量子理論方麵的研究而知名；後者則定義了微分幾何中的Finsler流形，證明了Hadwiger-Finsler不等式。卡拉西奧多裏在慕尼黑大學與蒂采 (Heinrich Tietze) 和佩龍 (Oskar Perron) 組成了和諧的金三角，慕尼黑大學數學學院最大的演講廳就以他的名字命名。在慕尼黑卡拉西奧多裏作為第一導師指導了十篇博士論文、作為第二導師指導了七篇，他的最後一位學生是1947年畢業的Karl Weigand。在卡拉西奧多裏的學生名單中還有兩位中國人的身影，即1933年畢業的李達 (Ta Li，1905-1997) 和1940年畢業的徐瑞雲 (Süe-yung Kiang，1915-1969)，徐瑞雲因已婚而冠夫姓"江"。
李達，字仲珩，湖南平江人，1924年考入東南大學。1933年，他在佩龍和卡拉西奧多裏指導下，以《關於微分方程的穩定性問題》的論文獲得慕尼黑大學博士學位。1932年9月4-12日，正在攻讀博士學位的李達，與熊慶來、許國保一起，出席了在瑞士蘇黎世召開的第九屆ICM國際數學家大會，成為最早參加ICM的中國數學家之一，彼時中國數學會尚未成立。李達在會後第三天即寫出長達五千字的《世界數學家會議記錄》，11月1日同時在南京的《科學世界》和長沙的《世界旬刊》刊出 (左圖)。該文是20世紀上半葉中國數學家對國際性數學學術活動最早、最詳細的報道，特別是記錄了設置菲爾茲獎的由來：12日"宣告本會接收Fields獎章基金，成立委員會，以Caratheodory，Cartan Severi， Takagi (高木貞治) 為委員，討論獎章應給何人，及給予方式。"
1935年回國後，李達先後在清華、山東、同濟、藍田師院及重慶大學任教，1942年出任重慶北碚的複旦大學理學院院長及數理學係的創係係主任，成為最高級別的教授。根據《複旦數理通訊》1948年第1期，該係"創立於民國三十二年秋。李先生以理學院長兼本係係主任……萬分困難，但經其苦心計劃，本係基礎，因此奠定。"抗戰勝利學校遷回上海，"各位先生皆具誨人不倦精神，因此師生間之感情融洽，研究氣氛頗為濃厚。" 1948年李達署名"李仲珩"，在《科學》雜誌發表《三十年來中國的算學》一文，是第一篇對1918年以來中國數學各分支研究成績較全麵的回顧文章。1947年李達前往美國做訪問研究並定居美國，他以數學物理方法見長，曾獨立主持一個宇航科研部門及多個重要項目，並當選美國航空與航天研究院通訊院士。
徐瑞雲祖籍浙江慈溪，出生於上海。她於1927年進入上海第一個由國人開辦的女子學校 —— 務本女中讀書，1932年考入浙江大學數學係，師從著名數學家陳建功和蘇步青，畢業後留校。1937年，徐瑞雲和新婚丈夫江希明同時獲得洪堡獎學金，來到慕尼黑大學攻讀博士學位。在卡拉西奧多裏指導下，她於1940年完成了博士論文《關於勒貝格分解中奇異函數的傅裏葉展開》，成為繼劉叔庭之後中國第二位女性數學博士。徐瑞雲畢業回國後在浙江大學任教，後創辦杭州大學數學係，為培養函數論方麵的專業人才殫精竭力。1955年，高等教育出版社出版了蘇聯數學家那湯鬆的著作《實變函數論》上下兩冊 (右圖)，由徐瑞雲譯、陳建功校。徐瑞雲還指導趙彥達翻譯了卡拉西奧多裏傾注了最後心血的著作《複變函數論》(第一卷)，可惜1985年該書問世時，徐瑞雲已經含冤而逝16年了。
筆者第一次聽到Carathéodory的名字，是40多年前在複旦大學讀本科的時候。在實變函數論的課堂上，學到判別勒貝格可測集的卡拉西奧多裏準則時，留下了深刻印象。在這個定理中，外測度就像一把精巧的手術刀，對點集E進行任意切割，而E可測的充要條件就是切割後兩部分的外測度之和等於E自身的外測度。一方麵，這一準則及其證明實在漂亮，是筆者大學時代最喜歡的定理之一；另一方麵，卡拉西奧多裏的名字極富音樂感，讀起來朗朗上口，那時的課本上譯為"卡拉泰屋獨利"。然而對於卡拉西奧多裏的生平，筆者竟一無所知，更沒有聽說過他的中國學生李達和徐瑞雲——這兩位距離我們不遠的前輩數學家。雖然筆者幾乎做完了那湯鬆所著《實變函數論》書上的全部習題，卻從未注意過譯者的名字，真是十分慚愧。
與卡拉西奧多裏齊名的另一位20世紀的希臘人，是1963年諾貝爾文學獎得主喬治·塞菲裏斯 (英文：Giorgos Seferis，希臘文：Γι?ργος Σεφ?ρης，1900-1971)，因其"對古希臘文化遺產充滿深摯感情的卓越抒情詩作"，成為第一位獲獎的希臘人。塞菲裏斯出生於小亞細亞的斯彌爾納城，在第二次希土戰爭中，詩人的故鄉與士麥那一起並入土耳其，使他大受震動。數學研究與詩歌創作有異曲同工之妙，都需要豐富的直覺和想象力，共同的追求是簡潔與和諧。不知道卡拉西奧多裏與塞菲裏斯是否有過交往，然而他們對於祖國的愛卻是一樣的，故鄉希臘是他們精神激流的源泉和歸宿。他們在數學中、在詩歌中尋找故園，那是在"異國天空下育成的種種情思和想念"。
雅典和柏林，是與卡拉西奧多裏的一生有著不解之緣的兩個城市。現以筆者拍攝的雅典帕特農神廟和柏林勃蘭登堡門結束本文，後者是德國第一座新希臘建築，其門頂的中央雕塑是希臘神話中的勝利女神尼刻。兩座建築均采用粗大雄壯的多立克柱式，特農神廟享有"史上最完美的多立克式神廟"的美譽，文中其餘圖片均來自網絡。
【注】本文被《返樸》和《中國數學會》公眾號推送
相關博文鏈接：從希臘神廟到愛神之島
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