春後雨前的博客
蘭若生春夏，芊蔚何青青。秋漁蔭密樹，夜博然明燈。
第一次聽說母校複旦大學的民間校訓"自由而無用的靈魂"，是在2015年校慶110周年的時候，據說此語最早出自一個畢業生在校園BBS上的留言："如果你看見有人在路上走著走著，忽然就自己唱起歌來，那人八成是複旦的，因為隻有複旦才能培養出這麽自由而無用的靈魂。" 那時已在坊間流傳了十多年，其知名度遠超官方校訓。所謂"自由"，乃思想與學術以至生活觀念能在無邊的時空中恣意遊走；所謂"無用"，則是對身邊現實功利的有意疏離。其實最能詮釋"自由而無用"精神的學科，非純數學莫屬。意大利著名女性數學家和哲學家Maria Gaetana Agnesi (1718－1799) 在其經典巨著《分析講義》的前言中寫道：數學"賦予了世界一種特有的簡單和純粹 (clarity and simplicity) ……，按照自然秩序運行，提供了可能是最好的工具，和最偉大的智慧之光。"
現代數學精神越來越遠離塵世，使得人類的自我完善成為可能，當今不少人正是因為這一點才從事數學研究。三、四十年前在複旦數學係/所讀書的時候，曾度過幾年"自由而無用"的日子、讀過幾本"自由而無用"的書、做過一些"自由而無用"的事，現在想來也算是與複旦靈魂的某種契合。六年多前筆者在《我的複旦七年》一文中，回憶了在母校度過的那段難忘的歲月。在複旦念數學的七年時間，可以說是一步步顛覆認知、重塑三觀的過程，不僅是對數學，更是對人生。明年初大學畢業整整40年了，借機再碼些"自由而無用"的文字權當回憶，免得再過幾年會統統忘光。
17世紀牛頓和萊布尼茨同時創立了微積分理論，被稱為"微積分之母"的Agnesi在《分析講義》(左圖) 中第一次將這兩個大冤家的數學方法總結到一起，該書在歐洲流行了60多年。微積分引入無窮小量而產生的問題引發了史上第二次數學危機，微積分的嚴格數學基礎直到十九世紀才被"現代分析之父"、大器晚成的德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯 (Karl Weierstrass，1815-1897) 最後建立，從而使得數學分析的敘述終於達到了真正的精確化。順便說一下，老魏在成為數學家之前據說是體育老師。如今人們在諷刺某人數學不好時，常常愛說那人的數學"是體育老師教的"，看來這話還真不能隨便說。
與老魏同時期還有一位同樣名為卡爾的德國老鄉，在其生命後期也曾致力於"研究"微積分的數學基礎，並在1881年前後寫下了《數學手稿》。情願相信他的治學態度是認真的，可惜研究方法不對，仍然停留在牛頓、萊布尼茨和拉格朗日的時代，又被後人捧上神壇。如果當年兩位卡爾有緣相見，不知會是啥光景，遺憾的是二人失之交臂。晩清的中國數學家李善蘭 (1811-1882) 與英國漢學家、倫敦傳道會傳教士偉烈亞力 (Alexander Wylie) 合譯美國數學家羅密士 (E .Loomis) 所著《代微積拾級》(右圖) 一書，將Calculus譯成"微積分"，這個"微積分"譯得很傳神。
筆者少年時代覺得微積分很神秘，總會聯想到達芬奇、貝多芬，當然此"分"非彼"芬"。文革後期高中畢業、失學下鄉，百無聊賴中找了一套大學課本來讀，習題做了幾大本。其實並沒有真正搞懂，主要是用來打發時日的一貼自我安慰劑，最大收獲則是為77年高考的數學附加題貢獻了十幾分。當年也曾讀過《數學手稿》，但越讀越糊塗，尤其那個零分之零，為此考大學第一誌願報了複旦數學，希望弄個明白。大一數學分析課上學了老魏等建立的極限ε-δ定義以及一套完整的極限理論，似乎才漸漸明白起來，業餘民科與專業大神畢竟不同。老魏於1872年構造了一個"處處連續但處處不可導"的虐心函數——可看作是分形曲線的雛形，圖為德國2012年為這個函數及曲線140歲生日發行的郵票。
大三第一學期開始讀實變函數論，老魏那個處處連續但處處不可導的東東都算是小菜一碟的好函數了。這次輪到法國人閃亮登場，Marie Jodan、Emile Borel、Henri Lebesgue定義並推廣了測度與積分的概念。他們還構造出各種各樣稀奇古怪的點集合與函數，比如測度為零的稠密點集、可測但處處不連續的函數等。Lebesgue的工作是20世紀科學領域中的一個重大貢獻，但在他的研究中扮演了重要角色的那些不連續和不可導的函數曾被人們認為違反了所謂的完美性法則，是數學中的變態和不健康部分，從而一度受到某些數學家的冷遇。
這兩門課程我們使用的教材是複旦老師自己編寫、高等教育出版社出版的《數學分析》和《實變函數論與泛函分析》，這兩套書是複旦為中國數學事業貢獻的最重要的教材，從1978年第一版開始即為國內最早、最經典、最標準的專業教科書，受益的學生不可計數。盡管這些艱深的理論、刁鑽的難題，日後未必有什麽實際用處。記得有位名人說過："數學是訓練思想的體操"，這些思維訓練以及數學的精神傳承和文化沉澱，對於一個人的影響可以是一生的。故莊子曰："無用之用，是為大用。"
那時的參考書主要是前蘇聯數學家的著作中譯本，如菲赫金哥爾茲著八冊《微積分學教程》(上圖)、吉米多維奇著《數學分析習題集》(左下圖)、那湯鬆著《實變函數論》(右下圖)，每套書都材料豐富、論述詳盡、文字優美，堪稱經典。菲赫金哥爾茲 (Григо?рий Миха?йлович Фихтенго?льц，1888-1959) 是著名的分析數學列寧格勒學派奠基人之一，在列寧格勒大學 (現聖彼得堡大學) 工作40多年，主講了30多年數學分析課。他和學生們一起創立了數學分析教研室，培養了許多世界著名的蘇聯數學家，人們讚揚"他的每一堂課都是一篇教學傑作，甚至他的板書也像是一幅藝術作品"。《微積分學教程》是菲赫金哥爾茲幾十年教學經驗和教學藝術的結晶，堪稱數學分析的百科全書。
那湯鬆 (Исидор Павлович Натансон，1906-1964) 出生於瑞士蘇黎世，是菲赫金哥爾茲的學生及列寧格勒學派的代表人物。。《實變函數論》是一本難得的語言流暢的精品譯作，徐瑞雲先生翻譯、陳建功先生校訂，隻是書中很多習題難到使人懷疑人生。白俄羅斯籍數學家吉米多維奇 (Борис Павлович Демидович，1906-1977) 是柯爾莫哥洛夫 (Андре?й Никола?евич Колмого?ров，1903-1987) 的學生，柯爾莫哥洛夫是20世紀最有影響的數學家之一、俄羅斯另一個著名的數學學派——莫斯科學派的領軍人物。《數學分析習題集》共有4622題，涵蓋數學分析的大部分基礎知識，是每個數學人的入門功夫秘籍，那時沒有現在那麽多習題解答，全靠自己一題一題做出來。
現代數學是建立在德國數學家康托爾 (George Cantor，1845-1918) 的集合論基礎之上的，為數學的統一提供了一線希望，但康托爾自己發現的悖論及羅素悖論卻在19世紀末引發了第三次數學危機。當年還摘抄過蕭文燦先生1930年的著作《集合論之初步》文白相間的敘述，現在讀來依然十分有趣，特摘錄一段如下："據氏自述，彼發表之集合論，曾弗十年之躊躇，蓋其中所含之思想與常識相反者頗多，而為常識意想不到者亦複不少，實為富於革命色彩而又有巨大建設之理論科學。"
在實變課上學到了用以比較無窮集間大小的基數的概念以及連續統假設，連續統假設如同平麵幾何中的第五平行公理一樣，既不可被證明、又不可被證偽。最引人入勝的則是關於公理係統的"哥德爾不完備性定理"，筆者讀研時的教學實習講座就是以公理係統的不完備性為題目。出生於奧匈帝國的美國數學家哥德爾 (Kurt Friedrich Gödel，1906-1978) 於1931年證明了"無矛盾"和"完備性"不能同時滿足，"真"與"可證"是兩個概念，在某種意義上悖論的陰影將永遠伴隨我們。
後來又讀了匈牙利裔美國數學家哈爾莫斯 (Paul Halmos，1916-2006) 所著《測度論》中譯本，與蘇俄數學家的風格有所不同。筆者最欣賞哈爾莫斯的一句話："To learn mathematics is to do mathematics"。據說使用墓碑符號 ?來表示證明完畢是他開始使用的，因此這個符號有時叫作"哈爾莫斯"。那時筆者涉獵了幾乎所有能找到的分析數學參考書，但除了仔細研讀了那湯鬆的《實變函數論》和哈爾莫斯的《測度論》之外，大部分隻是淺嚐輒止。有些重要的參考書很難買到，上述二書都是從圖書館借來，手抄了主要內容，因此練出來一流抄功，圖為筆者大學期間的讀書筆記。
大三第二學期泛函分析課程的主要內容是Banach空間和Hilbert空間以及這些空間上的線性算子，我們學到的Banach空間上第一個也是最重要的定理之一是"共鳴定理"，即關於有界線性算子的一致有界性原理。這個定理的一般形式是波蘭數學家巴拿赫 (Stefan Banach，1892-1945) 與他的導師Hugo Steinhaus (1887-1972) 一起於1927年率先證明並以二人的名字命名，該定理與Hahn-Banach定理及開映像原理一起被認為是泛函分析的三大基石。提到德國數學家希爾伯特 (David Hilbert，1862-1943)，自然要聯想到1900年他在巴黎的國際數學家大會提出的著名的23個問題，這位"數學界最後的一位全才"、哥廷根學派的代表人物為20世紀的許多數學研究指明方向。
說來有趣，Steinhaus的導師是希爾伯特、學生是巴拿赫，Steinhaus雖然沒有他的老師和學生著名、也沒有以自己的名字命名的空間，但他在這兩類空間中架起了一座橋梁。巴拿赫與Steinhaus都是波蘭的國寶級大神，幾年前本人曾到後者工作多年的波蘭Wroclaw大學觀光，在大學博物館拍攝了圖片，圖中左半部是二戰期間著名的波蘭Lvov學派成員的合影、右上者為巴拿赫、右下者為Steinhaus。作為數學家的大本營，巴拿赫帶領一群數學天才在Lvov大學旁的蘇格蘭咖啡館裏通宵達旦地神侃數學，他們在那裏討論的193個問題被整理成了《來自蘇格蘭咖啡館的數學問題集》。匈牙利數學家Alfréd Rényi有一句名言："數學家是把咖啡變成定理的機器"，而正宗的蘇格蘭咖啡是用聞名世界的蘇格蘭威斯忌與咖啡調和而成。這樣說來，泛函分析就是美酒加咖啡的傑作。
泛函分析課教科書中還收錄了一些新近的研究成果，例如瑞典數學家Lennart Carleson證明的Lusin猜想，即平方可積函數的傅立葉級數幾乎處處收斂；以及蘇聯數學家羅蒙諾索夫 （Victor Lomonosov) 1973年證明的Banach空間上的全連續線性算子具有非平凡超不變子空間的定理。高年級之後有些課程開始使用影印的英文原著，大四討論班及作畢業論文時讀了哈爾莫斯的第二本書《A Hilbert space problem book》，其中包括200多個問題。希爾伯特和他的學生們在20世紀前三十年提出並發展的Hilbert 空間與算子譜理論，與Banach空間理論一起，標誌著泛函分析作為獨立的、也是最年輕的分析數學的分支學科誕生，被稱為"代數和分析在方法上的統一"。
我們在研究生課程中學習了蘇聯數學家蓋爾範德 (Израиль Моисеевич Гельфанд，1913-2009) 在1938年的博士論文中創立的"賦範環論"，即交換的Banach代數。他在Banach空間的分析和幾何結構之外，賦予了這些空間合適的代數結構，從而奠定了一般Banach代數的基礎。蓋爾範德是出生於烏克蘭敖德薩的猶太後裔，柯爾莫哥洛夫的另一位學生，首屆數學沃爾夫獎得主，20世紀最偉大的數學家之一。在本科和研究生階段為我們講授泛函分析課程的夏道行先生曾於1957-58年間留學莫斯科大學，師從蓋爾範德，成為他的得意門生。
2017年秋為紀念恢複高考四十周年，複旦舉辦了盛大的77、78級同學返校活動，各類回憶文章、各種聚會花絮，令人目不暇接，再現了當年豐富多彩的校園生活。但是作為數學係的學生，留下深刻記憶的還是那些"書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟"的日子，因此筆者和同學玩笑說："我們大概進的是在平行空間中的另一個複旦"。1980年代初期的中國，生活還很艱苦，物質還很匱乏，書本的印刷質量也很粗糙，然而名師的指導、知識的沁潤、精神的傳承卻是無價的。
盡管當年讀過的書中內容已經記不太清了，但閱讀時的愉悅之感、解題中的冥思苦想、頓悟後的豁然開朗，柳暗花明、漸入佳境，依舊恍同昨日。對於數學人來說，那些符號和公式就是最動聽的樂譜，曲線和曲麵就是最優美的畫作，而數學語言則是我們之間的密電碼，"自由而無用的靈魂"將伴隨我們終生。德國大數學家外爾 (Hermann Klaus Hugo Weyl) 在談及哥德爾不完備性定理時曾發出這樣的感歎："上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。" 其實人生又何嚐不是如此。
【注】本文被《和樂數學》《返樸》公眾號推送
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上帝是存在的，因為我們是相容的，魔鬼也是存在的，因為我對數學興趣相當不穩定，你則相當穩定，：）
願新的一年裏好