羅素的形式語言及其解釋

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為了詳細說明這種形式語言，我們首先需要介紹其基本詞匯表（basic vocabulary），然後再展示如果從這些基本詞匯來構造出句子。沿著這種方法，我們可以介紹出作為語法範疇（grammatical category）的公式的概念，在語法範疇兩邊分別是詞匯表和句子。正是這樣的句子（以其自身）表達出完整的思想或者命題。

102形式語言
Ⅰ. 詞匯表
1．謂詞（Predicates）
＝，A，B，C，……（謂詞可以分成一元（1-place）、二元（2-place）……n元謂詞（n-place predicate）。像“是紅色的”這樣表達個體屬性的謂詞就是一元謂詞；像“…比…更重”這樣表達在一對個體之間的關係的謂詞就是二元謂詞；依此類推。一個n元謂詞就是在語法上可以結合n個項以形成一個公式的謂詞。）
2．項（這類表達式指示或者指稱的是單個個體。）
a. 變元（Variables）
x, y, z, x’, y’, z’, ……
b. 名字（Names）
x, y, z, x’, y’, z’, ……（簡單說來，一個帶有下劃線的變元就可以將其視為一個名字。）
Ⅱ. 公式（Formulas）
1．原子公式（Atomic Formulas）
一個帶有n個項的n元謂詞就是一個公式（在‘＝’的情形中，我們是讓項位於謂詞的兩側）。
2．其他
如果Φ和Ψ都是公式，那麽~Φ，（Φ∨Ψ），（Φ & Ψ），（Φ→Ψ）和（Φ Ψ）都是公式。如果v是一個變元並且Φ(v)是一個有v出現的公式，那麽 v Φ(v)與 v Φ(v) 也都是公式。（有的時候，隻要不會造成含混，括號也可以被省略。）

~Φ是Φ的否定式，可以讀作或稱為並非Φ；（Φ∨Ψ）是Φ與Ψ的析取式，可以讀作或稱為或者Φ，或者Ψ；（Φ&Ψ）是Φ與Ψ的合取式，可以讀作或稱為Φ並且Ψ；（Φ→Ψ）是一個條件句（conditional），其前件（the antecedent）為Φ,後件（the consequent）為Ψ，可以讀作或稱為如果Φ，那麽Ψ；（Φ Ψ）是一個連結了Φ與Ψ的一個雙向條件句（biconditional），可以讀作或稱為Φ當且僅當Ψ； v Φ(v)是對Φ(v)的一個普遍概括（a universal generalization），可以讀作或稱為對所有v的都有Φ(v)； v Φ(v)是對Φ(v)的一個存在概括（a existential generalization），可以讀作或稱為至少有這樣的一個v滿足Φ(v)。 v和 v都被稱為量詞（quantifier）。
103Ⅲ. 句子
1． 一個句子就是沒有任何一個變元是自由出現的公式。
2． 一個變元的自由出現（Free occurrences of a variable）
一個變元的出現是自由的，當且僅當，它不是被約束的。
3． 變元的約束出現（Binding occurrences of variables）
一個變元在一個公式當中是約束出現的，當且僅當，該變元是在一個量詞的轄域當中來使用的。
4． 出現量詞 v或者 v的轄域（The scope of an occurrence of a quantifier v or v）
在一個公式當中出現的一個量詞的轄域就是與直接跟隨在該量詞之後的那個（最小的完整的）公式。
Ⅳ. 例子
x (Fx→Gx)與 x (Fx & Gx)與每個都是句子，因為在這兩個公式當中出現的帶有量詞的‘x’都處於量詞的轄域當中。請注意，這兩個句子：（ⅰ）Fx由於括號‘（’的分隔，所以它並非直接跟隨在量詞之後，而且（ⅱ）（Fx由於隻有前括號‘（’而沒有後括號‘）’，所以它不是一個完全的公式。與此相對照的是，( xFx→Gx)和( x(Fx & Hx)→Gx)都不是句子，因為在這兩個情形中出現於‘G’之後的‘x’都是自由的。

對該語言的一種羅素式的解釋
Ⅰ. 命題與命題函項（Propositional Functions）
句子表達命題。那些不是句子的公式（即“開公式”）表達命題函項。一個命題函項就是一種函項，它根據對自變元給定的對象，來給命題指派真值。例如，如果我們用謂詞‘C’意指‘是一頭奶牛’，那麽公式‘Cx’就將表達一個函項：如果一個對象o作為主目（argument）的時候，該函項就會對表達o是一頭奶牛的命題指派其真值。這個命題為真，當且僅當，o是一頭奶牛，並且‘Cx’以‘x’命名o的方式表達出該命題。
Ⅱ. 真值（Truth）
1a.通過句子 v Φ(v)所表達出來的命題為真，當且僅當，通過Φ(v)所表達出來的命題函項對所有v可取的值而言都是真的——即，當且僅當，對每一個被使用在主目的對象o而言，函項都會指派一個含有o的真命題作為它的值。這種情況會出現，104當且僅當，對每一個對象o而言，如果用每一個自由出現的v去命名o的話，那麽得到的Φ(v)就會表達一個真命題。
b.通過句子 v Φ(v)所表達出來的命題為真，當且僅當，通過Φ(v)所表達出來的命題函項至少對v可取的一個值而言是真的——即，當且僅當，至少有一個對象o可以滿足如下的條件：當o被使用在主目的時候，該函項就會指派一個關於o的真命題作為它的值。這種情況會出現，當且僅當，至少有一個對象o，如果所有自由出現的v都去命名o的話，那麽得到的Φ(v)就會表達一個真命題。
2a.通過句子~Φ表達出來的命題是真的，當且僅當，通過Φ表達出來的命題不是真的。
b.通過句子（Φ∨Ψ）表達出來的命題是真的，當且僅當，要麽通過Φ表達出來的命題是真的，要麽通過Ψ表達出來的命題是真的。
c.通過句子（Φ & Ψ）表達出來的命題是真的，當且僅當，不但通過Φ表達出來的命題是真的，而且通過Ψ表達出來的命題也是真的。
d.通過句子（Φ→Ψ）表達出來的命題是真的，當且僅當，並不存在如下的這種情況：（通過Φ表達出來的命題是真的，而且通過Ψ表達出來的命題卻是假的）。
e.通過句子（Φ Ψ）表達出來的命題是真的，當且僅當，通過Φ表達出來的命題與通過Ψ表達出來的命題要麽二者同時為真，要麽二者同時為假。
3．謂詞代表屬性（或者關係）。名字代表對象。一個原子句就是由名字加單獨一個謂詞構成的。通過這種句子表達出來的命題是真的，當且僅當，被命名的這個對象（或者，這些對象）擁有謂詞所指出的那種性質（或者承擔謂詞所指出的那種關係）。例如，如果‘C’代表那種是一頭奶牛的屬性，那麽通過原子句‘Cx’所表達出來的命題是真的，當且僅當，由‘x’命名的對象是一頭奶牛。每一個命題都是非真即假的。

命題的結構
最後，我們還要勾勒一下羅素的關於命題結構的理論。在羅素看來，命題是由那些被句子編碼了的（encoded）信息構成的。他認為，（在邏輯上完美的語言中）被一個句子所編碼的信息是一種複雜的實體（entity），其結構反映了句子的結構。在他的形式語言當中，通過該句子所表達出來的命題可以通過如下的方式得到確定：

Ⅰ.對一個由帶有n個名字的單一謂詞所構成的原子句Pt1... tn而言，其所表達出的命題是一個複合體，該複合體由通過謂詞所表達出的屬性（或者關係）與名字的指稱物一同構成。
一個由一個或者更多自由出現的變元的原子公式Pt1... tn就其自身而言並不表達任何命題。但是，相對於指派對象作為公式中自由變元的（臨時）指稱物而言，這樣一個公式也可以表達一個命題。這樣一來，相對於自由變元的一個對象指派A而言，通過Pt1... tn表達出的命題也是一個複合體，該複合體由通過謂詞所表達出的屬性（或者關係）與相關於A的項的指稱物一同構成（隻有在公式當中有自由出現的變元的情況下，A才是相關的）。這樣的命題是真的，當且僅當，這個（或者這些）對象擁有屬性P*（或者處於關係P*當中）。
Ⅱ.通過一個（相關於指派A的）公式~Φ表達出來的命題是這樣一個複合體：，其中Prop Φ是通過（相關於指派A的）Φ表達出的命題，而Neg則是表達是一個不為真的命題的屬性。是真的，當且僅當，Prop Φ不是真的。
Ⅲ.通過一個（相關於指派A的）公式（Φ & Ψ）表達出來的命題是這樣一個複合體：，其中Prop Φ和Prop Ψ是通過（相關於指派A的）Φ和Ψ表達出的命題，而Conj則是表達在兩個命題之間的二者同時為真的關係。所以是真的，當且僅當，Prop Φ和Prop Ψ都是真的。類似的法則可以適用於通過（Φ∨Ψ）、（Φ→Ψ）和（Φ Ψ）表達出來的命題。
Ⅳ.通過一個（相關於指派A的）公式 v Φ(v)表達出來的命題是這樣一個複合體：，其中g是一個命題函項，它將由一個相應於指派A’的Φ(v)所表達出來的命題指派到每一個對象o上，而指派A’則是將o指派為v的指稱物（否則，A’就會同一於A）。而SOME則代表這樣一種屬性——106作為“有的時候為真”的命題函項（即，它可以將一個真命題至少指派到一個對象上）。因此，是真的，當且僅當，至少由一個對象“是Φ”。
通過一個（相關於指派A的）公式 v Φ(v)表達出來的命題是這樣一個複合體：，其中g是一個命題函項，它將由一個相應於指派A’的Φ(v)所表達出來的命題指派到每一個對象o上，而指派A’則是將o指派為v的指稱物（否則，A’就會同一於A）。而ALL則代表這樣一種屬性——作為“總是為真”的命題函項（即，它可以將一個真命題指派到每一個對象上）。因此，是真的，當且僅當，所有的對象都“是Φ”。