《數學原理》最初不很受歡迎。大陸上的數理哲學分為兩派，形式主義者和直觀主義者。這兩派都完全否認數學是從邏輯出來的，並且利用矛盾來證明他們的否認是正當的。
以希爾伯特為首的形式主義者主張，算術上的符號隻是紙上的一些記號，全無意義，算術是由類乎下棋的規則的一些任意的規則而成，按照這些規則，可以把那些記號加以操作使用。這個學說有著避免一切哲學爭論的有利條件，但它也有不能解釋數字在計算中應用的不利條件。如果把○這個符號看做是指一百或一千或任何別的有限數，則形式主義者所提出的一切使用規則也就得到了證實。這個學說無法解釋象“這間屋子裏有三個人”或“有十二個使徒”這樣一些簡單的命題是什麽意思。對於從事計算，這鮁?? 是完全夠用的，但是在數的應用上則是不夠的。既然重要的是數的應用，形式主義者的這個學說不能不看做是一種不滿人意的逃避。
以伯勞威為首的直觀主義者的學說須更認真地討論一下。這個學說的核心是否定排中律。這個學說認為，如果有一個方法能確定一個命題是正確或錯誤，那個命題才能算是正確或錯誤。常見的例子之中有一個就是這樣一個命題：“在π的小數計算中有三個連續的七”。就已經求出來的π的值來說，並沒有三個連續的七，但是沒有理由假定在後來的一個地方這就不會出現。如果今後看來果真有一個地方有三個連續的七出現，問題就解決了，但是，如果這樣一個地方沒有達到，那並不能證明後來不會有這樣一個地方。所以，雖然我們也許完全能證明是有三個連續的七，我們卻永遠不能證明沒有。這個問題對於分析是很重要的。不盡的小數有時候是按一條定律來進行，這條定律使我們能夠隨意計算多少項。
但有時（我們必須這樣假定）它們不按任何定律來進行。根據一般承認的原則，第二種情形比第一種情形不知要普遍多少倍。而且，如果不承認“不法的”這樣的小數，則整個實數學說就塌台了，並且微積分以及幾乎整個高等數學也就隨之瓦解。伯勞威麵對這一災難，毫不畏縮，但是大多數數學家認為是受不了的。
這個問題的普遍性比上麵那個數學例子所表現的要大得多。問題是：“如果沒有方法來決定一個命題正確或錯誤，說這個命題正確或錯誤有沒有任何意義？”或者用另一個方式來說：“‘真’和‘能證實’應該是一回事嗎？”我認為我們不能說這是一回事，否則我們隻得作一些粗劣而無理的悖論。請以下邊這個命題為例：“公元一年的一月一日曼赫坦島上下了雪”。我們想不出有什麽法子能夠看出這個命題是正確或錯誤，但是主張這個命題不正確也不錯誤，看來是荒謬的。關於這個問題我現在不想再說下去，因為我在《對意義與真理的探討》的第二十和第二十一章中曾詳細討論過，關於《對意義與真理的探討》一書我在本書的後邊一章還要講到。同時，我想直觀主義者的學說是不能不加以拒斥的。
直觀主義者和形式主義者都是從外麵來攻擊《數學原理》的學說，而擊退他們的攻擊好象並不十分困難。維根斯坦及其學派的批評就另是一回事了。這些批評是來自裏麵，十分值得尊重。
維根斯坦對我有過深遠的影響。我漸漸覺得，在很多點上我和他的意見相合是過了分。可是我不能不先解釋一下爭論之點是什麽。
維根斯坦對於我的影響是分兩起來的：第一篇是在第一次大戰之前；第二篇是大戰一完他就把他的《邏輯哲學論》的原稿寄給我。他後來的學說，在他的《哲學研究》中所講的，絲毫沒有影響我。
在一九一四年之初，維根斯坦給了我一篇用打字機打好的短文章，裏邊是一些論各種邏輯問題的筆記。這篇文章，和多次的談話，影響了我在戰時那幾年的思想。戰時他在奧國的軍隊裏，因此我完全和他中斷了聯係。我在這個時候對他的學說的了解完全是來自未經發表的材料。我不確實知道，那個時候或者後來我自己相信是由他而來的意見，事實上真是他的意見。他始終否認別人對他的學說的解釋，即使這些人是他的熱誠的門徒。我所知道的唯一例外是?E．Ｐ．萊穆塞，這一個人我不久就要討論。
一九一八年之初我在倫敦連續做了一些講演。這些講演後來登在《一元論者》學報裏（１９１８及１９１９）。我曾用下麵表示感謝維根斯坦的話來作這些講演的序言： “以下的文章是一九一八年頭幾個月在倫敦所做的連續八個講演的前兩個，主要是從事解釋我從我的朋友、從前的學生路得維希·維根斯坦所學來的一些想法。自一九一四年八月以後，我就沒有機會知道他的主張了。我甚至都不曉得他活著還是死了。因此，除了這些講演中的許多理論當初是他供給的之外，他對於這些講演中所說的話不負責任。另外那六個講演將在《一元論者》的以後三期裏登載”。
正是在這些講演裏，我首先采用了“邏輯原子主義”這個名字來形容我的哲學。但是多談這一方麵是不值得的，因為維根斯坦的一九一四年的學說尚處在一個不成熟的階段。
重要的是《邏輯哲學論》，停戰不久之後他就把打字稿本寄給了我，那時他還是在蒙特卡西諾的一個俘虜。我將討論《邏輯哲學論》的學說，先討論那時這些學說對我的影響，其次討論後來我對於這些學說的想法。
也許《邏輯哲學論》在哲學上的基本學說是，一個命題是這個命題所說的那些事實的一個圖形。一張地圖顯然是傳達一些正確或不正確的知識；如果這些知識是正確，那是因為這張地圖和其所關的地方二者之間在結構上有相似之處。
維根斯坦認為，用語言來斷定一件事實也是如此。例如他說，如果你用“ａＲｂ” 這個符號來代表ａ對ｂ有Ｒ關係這件事實，你的符號之所以能夠代表是因為這個符號在 “ａ”和“ｂ”之間建立起來一種關係，這種關係代表ａ和ｂ之間的關係。這個學說是強調結構的重要性。例如他說：“留聲機器、音樂思想、樂器、聲波，彼此都有那種圖畫似的內在關係。在語言和世界之間也有這種關係。邏輯結構和所有這些都有共通之點。”
“（正象故事裏的那兩個青年、他們的兩匹馬和他們的百合花。在某種意義上說，他們都是一回事。）”（《邏輯哲學論》，４．０１４。）。
強調結構的重要性，我仍然認為他是對的。可是，至於一個正確的命題必須重現所關的事實結構這樣一個學說我現在覺得很可懷疑，雖然當時我是承認這個學說的。無論如何，即使這個學說在某些意義上是正確的，我也不認為它有什麽很大的重要性。可是維根斯坦卻以為是根本的。他把它當做一種奇怪的邏輯神秘主義的基礎。他主張一個正確的命題和與它相應的事實所共有的·形·式隻能表示出來，而說不出來，因為它不是語言中的另一個字而是一些字或與這些字相當的一些東西的一種安排：“命題能夠表現整個的實在，但是它們不能為了能夠表現實在，來表現它們必與實在相共有的地方—— 邏輯的形式。
“為了表現邏輯的形式，我們應該能夠把我們自己和命題置於邏輯之外，那就是說世界之外”（《邏輯哲學論》，４．１２．）。
這是提出來的唯一之點在我極接近同意維根斯坦的主張的時候，我仍然不能信服。在《邏輯哲學論》我的導言中我建議，雖然在任何一種語言中有一些語言所不能表示的東西，可是總有可能構成一種高一級的語言，能把那些東西說出來。在這種新的語言中還要有一些東西說不出來，但是能在下一種語言中說出來，如此等等以至於無窮。這種建議在那個時候是新奇的，現在已經變成一種公認的邏輯上的平凡的東西了。
這就消除了維根斯坦的神秘主義，並且，我想，也解決了哥德爾所提出的新的謎。
其次我講一講維根斯坦關於同一的說法。他這種說法的重要性也許不是一時就看得出來的。要解釋這個學說，我不能不先把《數學原理》裏關於同一的定義說一說。在一件事物的性質中，懷特海和我判別出一些來，我們稱之為“敘述的”。這是和總的性質無關的一些性質。例如，你可以說，“拿破侖是科西加島人”，或者“拿破侖胖”。這樣說的時候，你並不是指集合起來的性質。可是如果你說“拿破侖具有大將的眾長”，或者“伊麗沙白女王第一兼具她父親和祖父的諸種德性，而沒有他們的毛病”，你是指總的性質。我們把這樣涉及到總體的性質和敘述的作用加以區分，是為避免一些矛盾。我們把“ｘ和ｙ是等同的”的定義說成是指“ｙ具有ｘ的所有的敘述的性質”，並且，在我們的係統裏，必然的結果是，ｙ具有ｘ所具有的任何性質，不管是敘述的，還是不是敘述的。對於這一點維根斯坦所持的異議如下：“羅素對於“＝”所下的定義是不行的；因為按照這一個定義來講，我們不能說兩件事物所有的性質都為它們所共有。（即使這個命題一點也不正確，卻是含有意思的。）
“大體上說：說兩件東西等同，是沒有意義的，說一件東西和其本身等同，等於沒有說”（《邏輯哲學論》，５．５３０２和５．５３０３）。有一個時候，我接受了這個批評，可是我不久就得到了這樣一個結論：他的批評使數理邏輯無法成立，並且事實上維根斯坦的批評是無效的。如果我們考慮到計算，這就格外明顯了：如果ａ和ｂ的一切性質都為它們所共有，你就永遠不能提到ａ而不提到ｂ，或數到ａ而不同時數到ｂ，不是把ｂ當作單獨的一項來數，而是在同一數的動作中來數。所以你就決沒有可能發現ａ和ｂ是兩個。維根斯坦的主張是假定不同是一種難以明確的關係，雖然我並不認為他知道他是做此假定。可是如果他不做此假定，我就看不出有什麽理由能象他所說：說兩件事物的一切性質都為他們所共有，是有意義的。可是如果承認不同是有的，那麽，如果ａ和ｂ是兩個，ａ就有一種為ｂ所沒有的性質，那就是，與ｂ不同那麽一種性質。所以，我想維根斯坦關於同一的那種主張是錯誤的。
果真如此，那就使他的係統的大部分歸於無效。
請以２這個數的定義為例。我們說一個類有兩項，如果這個類有ｘ和ｙ兩項，並且ｘ和ｙ並不等同，並且，如果ｚ是這個類的一項，則ｚ和ｘ或ｙ等同。很難使這個定義和維根斯坦的主張相調適，他的主張是要求：我們決不應該用辭句來表示“ｘ＝ｙ”或 “ｘDｙ”這個式子，而是應該用不同的字母來代表不同的東西，並且決不應該用兩個不同的字母來代表同一個東西。除了這種專門技術上的困難之外，顯然，由於上麵所講的理由，如果兩件東西的一切性質都為二者所共有，則這兩件東西就不能算做兩個，因為算做兩個就不能不把它們區別開，因此也就給了它們以不同的性質。
還有一個結果，就是，我們不能製造一個為某一組列舉的物件所共有和特有的內包。舉例來說，假定我們有ａ、ｂ、ｃ三個物件，那麽，和ａ等同、和ｂ等同、和ｃ等同的那個性質就是一個為這三個物件所共有和特有的性質。但是，在維根斯坦的係統中，這個方法是不合用的。
還有一點，是非常重要的，就是，維根斯坦對關於世界上一切物的任何陳述都不認可。在《數學原理》裏，萬物總體的定義是所有那些ｘ們的類，它們是ｘ＝ｘ那樣的ｘ們，並且我們可以給這個類指定一個數，（正如可以給任何別的類指定一個數），雖然我們當然不知道用來指定的那個正確的數是什麽。維根斯坦對此不予承認。他說象“世界上有三件以上的東西”這樣的一個命題是沒有意義的。一九一九年我在海牙和他正在討論《邏輯哲學論》的時候，我麵前有一張白紙。
我在上麵用墨水弄了三個點。我請他承認：既然有這三個點，世界上一定至少有三件東西；但是他堅決拒絕。他倒承認在那張紙上有三個點，因為那是一個有限的斷定，但他不承認關於世界總體能有任何陳說。這和他的神秘主義有關係，但是由於他拒絕承認等同，這是不足怪的。
另有一方麵和這同一類問題有關，我稱之為“無限公理”。在一個隻包含有限數目的東西的世界中，那個數目就是一批東西最大可能有的數目。在這樣的一個世界中，所有高級數學就要垮台。世界上究竟有多少東西，在我看來，這純粹是一個經驗上的問題。我不認為一個單純的邏輯學家關於這個問題應該發表什麽意見。因此，所有需要一個無限數目東西的那些數學部分我都當成是假設的。所有這一切在維根斯坦看來都是極其荒謬的。在他看來，你可以問“倫敦有多少人？”或“太陽裏有多少分子？”但是推論世界上至少有那個數目那麽多的東西，在他看是沒有意義的。據我想，他的學說的這一部分肯定是錯誤的。
維根斯坦發表了兩個原理。這兩個原理如其為真，是非常重要的。即，外延性原理和原子性原理。
外延性原理是說，關於一個ｐ命題的任何陳述的真或偽，完全有賴於ｐ的真或偽；包含一個命題函項的任何陳述的真或偽，完全有賴於這個函項的外延，那就是說，有賴於使這個命題函項之為真的價值範圍。從表麵來看，對這個論點顯然可以有爭議。請以 “Ａ相信ｐ”為例。顯而易見，一個人可以相信一些真命題，而不相信別的命題，所以 “Ａ相信ｐ”之真偽並不完全有賴於ｐ的真或偽。關於這一個題目，維根斯坦有一段話，很神秘。他說，“在一般的命題形式中，一些命題隻以真偽運算的基礎出現在一個命題中。”
“乍一看來，一個命題出現在另一命題中似乎還有一個不同的方法”。
“特別是在心理學的一些命題形式中如‘Ａ認為，ｐ正是如此’，或‘Ａ認ｐ為真’，等等。”
“在這裏，從表麵上看，好象ｐ這個命題對Ａ這個對象具有一種關係。”
“〔現代認識論裏（羅素、穆爾等）的那些命題就被認為是如此的〕。”
“但是很清楚，‘Ａ相信ｐ’、‘Ａ認ｐ為真’、‘Ａ說ｐ’是屬於‘ｐ說ｐ’的形式；這裏我們並沒有事實和對象的對等關係，但是有事實之間由於他們的對象的對等關係而有的一種對等關係。”
“這表明，並沒有象當代淺薄的心理學裏那種想法的那種東西，如靈魂——主體等” （《邏輯哲學論》，５．５４以下）。
維根斯坦的論點是“Ａ相信ｐ”並不是ｐ的一個函項，而是Ａ用以表示ｐ命題或身體狀況的那些字的函項，這種身體狀況（不管是什麽）構成其相信。他這個人和往常一樣，是獨斷的，他吐露他的意見象沙皇下諭旨一樣。但是草野小民對這種辦法是難以滿意的。我在《對意義與真理的探討》中（第２６７頁以下）對這個問題曾詳加檢查，但是對得到的結論是有些拿不定的。
原子性原理維根斯坦是用下麵的措辭來陳述的：“關於複合的每個陳述可以分析成關於它們的組成部分的一個陳述，並且可以分析成完全描述那些複合的一些命題”（《邏輯哲學論》，２．０２０１）。這個原理可以說是相信分析的具體表現。維根斯坦寫《邏輯哲學論》的時候，他相信（據我的了解，他後來終歸不相信）世界是由許多具有各種性質和關係的簡單東西構成的。簡單東西的簡單性質和簡單關係是“原子事實”，關於它們的斷定是“原子命題”。這個原理的要點是，如果你知道所有的原子事實，並且也知道它們是所有的原子事實，再也沒有別的，你就能隻用邏輯來推論所有別的真命題，這個原理引起的重要難點也是和“Ａ相信ｐ”這樣一些命題有關，因為，這裏ｐ是複雜的，算·是一個複合。這種命題的特點是，它們包含兩個動詞，一個是主要的，另一個是附屬的。
讓我們舉一個很簡單的例子，比如說：“Ａ相信Ｂ是熱的。”這裏“相信”是主要動詞，“是”是附屬動詞。原子原理需要我們設法把這事實表示出來，而不提出“Ｂ是熱的”這個附屬的複合來。這個原理我也在《對意義與真理的探討》中（第２６２頁以下）詳細討論過。
關於這兩個原理，我所得到的結論是：“（１）如果嚴格地加以解釋，分析象‘Ａ相信ｐ’這樣的一些句子，外延原理不能證明是偽的；（２）同是這個分析不能證明原子原理是偽的，但是證明其為真，是不夠的”《對意義與真理的探討》（第２７３頁）。
對於維根斯坦這兩個原理更通常的批評是，沒有理由相信簡單東西和原子事實。據我的了解，他後來也終歸這樣想。
但是討論這個問題就使我們離開《邏輯哲學論》太遠了。在後邊的一章裏，我還要講這個問題。
維根斯坦主張，邏輯完全是由重言式所構成。關於這一點，我想他是對的，雖然在我讀到他關於這一問題所說的話之前我並不認為如此。還有和這個有關係的一點是非常重要的，就是，所有原子命題是各自獨立的。從前以為，一個事實在邏輯上講可以有賴於另一個事實。隻有如果其中的一個事實其實是兩個事實放到一起的時候，才是如此。在邏輯上講，從“Ａ和Ｂ是人”推出的結果是，Ａ是一個人。但是那是因為“Ａ和Ｂ是人”其實是兩個命題放到一起的。我們所討論的這個原理的結果是，在實際世界中為真的那些選擇出來的原子事實可以是邏輯所能證明的原子事實的全體，但是，顯而易見，關於這一點，原子性原理是必不可少的，而且，如其不為真，我們就不能確信最簡單、可能得到的事實有時在邏輯上也許是不相關的。
在《數學原理》的第二版中（１９２５），我考慮了維根斯坦的一些學說。我在一篇新的《導言》裏采用了外延性原理，並且在《附錄》裏考慮了對這個原理顯然可非議之處，就全體來說，我斷定這些非議是無效的。在這個新版中，我的主要目的是減少《可化歸性公理》的使用。如果我們一方麵要避免矛盾，另一方麵保存平常認為無可爭議的所有數學，這個公理（等一會兒我就要加以說明）好象是必需的。但是它是一個可議的公理，因為其為真是可以懷疑的，並且更重要的是因為，如其為真，其為真是屬於經驗的，不是屬於邏輯的。
懷特海和我認識到，這個公理是我們的係統的一個弱點，但是我至少認為它有類乎平行公理，這個平行公理一向被認為是歐幾理德幾何學的一個弱點。我認為遲早會找出一種方法把這個公理廢除掉，同時把難點集中在一點上是一件好事。在第二版的《數學原理》裏，在許多情形中（這個公理原先看來好象是少不了的），特別是在所有數學歸納法的使用中，我成功地把這個公理廢除了。
我現在必須說明這個公理是說什麽，以及為什麽它好象是不可缺的。我在前麵已經說明過屬於一些性質總體的性質和不屬於性質總體的性質之間的差異。屬於性質總體的性質往往引起麻煩。舉例來說，假定你提出來這樣的一個定義：
“一個典型的英國人就是一個具有多數英國人所具有的性質的人”。你就會很容易認識到，多數英國人並不具有多數英國人所具有的·一·切性質。所以，按照你的定義來說，一個典型的英國人就是不典型。麻煩之發生是因為，“典型”這個字的界說是指一切性質。然後其本身被當做是一種性質。因此似乎是，如果正當來說“一切性質”，你的意思不能是真指“一切性質”，而隻是指“不屬於性質總體的一切性質”。正象我在前麵說明的那樣，我們把這樣的性質說成是“斷言的”。可化歸性公理是說，一個不是斷言的性質永遠在形式上等於某個斷言的性質。（如果兩個性質屬於同一組東西，或者說得更確切一些，如果它們的真偽價值對每個主目來說都是一樣，這兩個性質在形式上就是相等的。）
在第一版的《數學原理》中我們把接受這個公理的理由說明如下：“可化歸性原理是自明的，這是一個難以讓人支持的命題。但是，事實上，自明不過是接受一個公理的理由的一部分，絕不是必不可少的。接受一個公理的理由，正和接受任何別的命題一樣，永遠大部分是歸納性的，也就是說，許多幾乎無可懷疑的命題可以從這個公理推演出來，沒有同樣講得通的辦法使這些命題可以為真，如果這個公理為偽，而且無任何可能是偽的東西能從它推演出來。如果這個公理表麵看來是自明的，實際上那就是說，它幾乎是無可懷疑的；因為有些東西原被認為是自明的，可是後來知道是偽的。如果這個公理本身幾乎是無可懷疑的，那隻增加了歸納證據，這種證據是從其結果幾乎是無可懷疑這個事實來的，它並不能提供迥然不同的新證據。絕對正確是永遠達不到的，所以每個公理和其所有結果總要有若幹可疑成分。在形式邏輯裏比多數科學裏可疑成分為少，但是並不是沒有。這從這件事就可以看出來：悖論是來自一些原來不知道需要加以限定的前提。就可化歸性公理來說，對它有利的歸納證據是很強的，因為它所容許的推理和從它引出來的結果都顯然是有效的。但是，雖然這個公理竟然為偽象是很不可能，但是絕不是不可能居然發現它是從另外某一個更基本、更明顯的公理推演出來的。很可能，使用循環論法原理（這種原理體現在前麵講過的層型中）是使用得過猛了，若是使用得不那麽猛，這個公理的必要性也許就可以避免了。可是，這類變動並不使根據前麵說明過的原理所斷定的任何東西為偽，這類變動隻不過為這些同一定理提供更容易得到的證據。因此，好象沒有什麽根據害怕使用可化歸性公理會使我們有錯誤”（《導言》，第Ⅱ章，第Ⅶ 節）。
在第二版裏我們說：“顯然應該改進的一點是可化歸性公理。這個公理隻有一個純乎是實用的理由作為根據：它導致所想望的結果，而無其他結果。但是它不是我們能滿意的那類公理。但是，關於這一個問題，還不能說可以得到一個滿意的解決。雷昂·崔斯泰克毅然把這個公理廢除，而不采取任何代替的東西。從他的研究來看，很清楚，他的這種辦法使我們不得不犧牲大量的普通數學。還有一個辦法（由於哲學上的理由為維根斯坦所推薦），就是假定命題的函項永遠是真偽函項，並且一個函項隻能通過它的值出現在一個命題中。
象這種看法是有難點的，但是這些難點也許不是不能克服的。
這種看法會有這樣的結果，就是，函項的所有函項都是外延性的。它需要我們主張 “Ａ相信ｐ”不是ｐ的一個函項。在《邏輯哲學論》裏（同上所引處，及第１９至２１頁）證明這如何是可能的。我們不準備斷定這個學說確是正確的，但是在以下的篇幅中把它的結果弄出來，看來是值得的。看來第一卷中的一切仍然是正確的（雖然常常需要新的證明）；歸納基數和序數的學說繼續存在；但是無限戴地欽德和良序級數的學說大部分是垮台了，所以無理數和一般的實數再也不能得到適當的解決。而且坎特的２ｎ＞ｎ這個證明也瓦解了，除非ｎ是有限的。也許還有一個什麽別的不象可化歸性公理那麽不滿人意的公理會產生這些結果，但是我們還找不出這樣的一個公理來（《導言》，第ＸＩＶ頁）。
《數學原理》第二版出版不久之後，?F．Ｐ．萊穆塞在兩篇很重要的文章裏撿起化歸性公理這個問題來，一是《數學的基礎》，發表於一九二五年，還有《數理邏輯》，發表於一九二六年。不幸，萊穆塞的早亡使他的意見不能充分發展。但是他已有的成績是很重要的，值得認真考慮。他的主要論點是，必須使數學成為純然是外延性的，《數學原理》的麻煩是起自非法侵入了內包的觀點。懷特海和我主張，一個類隻能用一個命題函項來規定，這甚至可以用於好象為枚舉所規定的那些類。舉例來說，由ａ、ｂ和ｃ三個個體而成的這個類是被“ｘ＝ａ或ｘ＝ｂ或ｘ＝ｃ”這個命題函項所規定。維根斯坦拒絕等同（萊穆塞對此加以承認）使這個方法成為不可能，但是，從另一方麵來說，萊穆塞認為，對於用枚舉來給一個無限的類下定義，並沒有邏輯上的異議。我們不能這樣來給一個無限的類下定義，因為我們總是要死的，但是我們不免於死是一件經驗上的事，這件經驗上的事邏輯學家們是應該置之不顧的。他認為，根據這一點，乘法公理是一個重言式。例如，再回頭講那個有無限雙襪子的百萬富翁。萊穆塞主張，沒有必要定一個規則從每雙襪子裏挑一隻。他認為，就邏輯來說，一個無限數目的任意選擇是和一個有限數目的選擇一樣可以容許的。
他把一個類似的觀點應用於改變命題函項這個概念。懷特海和我認為一個命題函項是含有一個未定變項的一個表達法，一旦給這個變項指定一個值，就變成一個普通的句子。例如“ｘ是有人性的”，一旦我們用一個專名來代替“ｘ”，就變成一個普通的句子。這樣來看命題函項們，它們是由內包而成（關於變項或變項們除外）。“是有人性的”這些字形成許多普通句子的一部分，命題函項是造若幹這類句子的一個方法。函項的值因變項的不同的值而確定，變項由於語句內在的特性而有不同的值，萊穆塞關於命題函項的想法頗為不同。
他把命題函項隻看做是使命題和變項的值有相互關係的一種方法。除了以前下過定義的那個斷言函項的概念（為了某些目的，我們仍將需要這種斷言函項），我們用外延來給命題函項的新概念下定義（倒不如說是說明，因為在我們的係統中，必須認為它是不能下定義的）。一個個體的這樣一個函項是由命題和個體之間外延上任何一——多關係引起的；也可以說是一種相互關係（不管能實用不能實用），這種相互關係把一個獨特的命題聯合到每一個個體上，個體是函項的主目，命題是它的值。
如，A（蘇格拉底）或許安女王已經死了，A（柏拉圖）或許愛因斯坦是一個偉人；
AｘE隻是Aｘ命題們和ｘF個體們的一個任意的聯合（《數學的基礎》，第５２頁）。
把這個新解釋用於“命題函項”這個概念，他就能廢除了可化歸性公理，也能用在符號上同《數學原理》裏的定義沒有區別的東西來為“ｘ＝ｙ”下定義，雖然那個定義現在有了一個新解釋。這樣他就成功地保留了《數學原理》的符號部分，幾乎沒有變動。關於這個符號部分，他說，“形式上，它幾乎沒有變更；但是它的意義已經大大改變了。這樣保留形式，而改變解釋，我是追隨那一大派數理邏輯學家的，他們借著一係列驚人的定義，從懷疑論者的手中拯救了數學，並且為命題提供了一個嚴格的論證。隻有這樣我們才能使數學免遭柏勞爾和魏勒的布爾什維克式的威脅”《數學基礎》，第５６頁）。
關於萊穆塞對“命題函項”這個概念的新解釋的有效性，我是很不容易拿定主意的。我覺得，實體對命題的一個完全任意的相關是不能讓人滿意的。請以自“對ｘ所有的值來說，?fｘ為真”到“?fａ”這個推理為例。按萊穆塞對“?fｘ”這個概念的解釋，我們不知道“?eａ”可以是什麽。相反，在我們能夠知道“?fｘ”的意思是什麽之前，我們必須知道“?fａ”和“?fｂ”和“?fｃ”等等，貫穿全宇宙。一般命題就失掉了它們存在的理由，因為它們之所斷定隻能借枚舉所有單獨的實例來說明。不管你對於這個非難的意見如何，萊穆塞的建議的確是很巧的，而且，即使不能完全解決所有的難點，很可能路子是對的。萊穆塞自己是有懷疑的。他說，“雖然我對於懷特海和羅素的主張試加改造我認為克服了很多難點，卻不能認為這種改造是完全滿意的”（《數理邏輯》，第８１頁）。
在另一件事上，我認為萊穆塞的研究大家必須承認確是對的。我已經列舉了各種矛盾，其中一類的例子就是那個人，他說“我說謊呢”，而另一類的例子是，是否有一個最大基數的問題。萊穆塞證明，前一類是和一個字或語句之於其意義的關係有關，是把二者弄混的結果。如果避免了這種混亂，這類的矛盾就沒有了。萊穆塞主張，另一類矛盾隻能用類型學說來解決。在《數學原理》裏，有兩種不同的層型。有外延階層：個體，個體的類，個體的類的類，等等。萊穆塞保留這個階層。但是還有另外一個階層，正是這另外的那個階層使可化歸性公理成為必需的。這就是某一對象的某一主目或性質的函項階層。先是斷言階層，這個階層不指任何函項總體；其次是指斷言函項總體的函項，如，“拿破侖具有大將的一切特長”。我們可以稱這些為“第一級函項”。然後是指第一級函項總體的函項，這樣下去，以至於無窮。萊穆塞用他對於“命題函項”這個概念的新解釋，取消了這個階層，這樣就隻留有外包階層。我希望他的學說是有效的。
雖然他是以維根斯坦的一個門人來寫書，並且除了維根斯坦的神秘主義之外，一切都跟著他走，他探索這個問題的途徑卻是非常不同的。維根斯坦發表一些格言，讓讀者測量其高深。他的一些格言從字麵上看是和符號邏輯的存在很難相合的。正相反，即使萊穆塞追隨維根斯坦追隨得很緊，他卻極其小心地說明，（不管所講的是什麽學說，）如何能把這個學說配合到數理邏輯的主體裏去。
有大量的、深奧的文獻論述數理邏輯的基礎。除了在《對意義與真理的探討》中討論外延性和原子性原理和排中律以外，自一九二五年出版第二版《數學原理》以後，我沒有做純是邏輯的研究。所以，後來關於這個科目的研究沒有影響我在哲學上的發展，因而也就不屬於本書的範圍。 |
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