數學方麵
大家隻從哲學的觀點來看《數學原理》，懷特海和我對此都表失望。對於關於矛盾的討論和是否普通數學是從純乎邏輯的前提正確地演繹出來的問題，大家很有興趣，但是對於這部書裏所發現的數學技巧，大家是不感興趣的。我從前知道隻有六個人讀了這部書的後麵幾部分。其中三個是波蘭人，後來（我相信）被希特勒給清算掉了。另外三個是得克薩斯州人，後來被同化得很滿意。甚至有些人，他們所研究的問題和我們的問題完全一樣，認為不值得查一查《數學原理》關於這些問題是怎麽說的。我舉兩個例子：大約在《數學原理》出版十年之後，《數學紀事》發表了一篇長文，其中一些結果我們在我們的書裏的第四部分不約而同早已經弄出來了。這篇文章裏有些錯誤，我們卻避免了，可是沒有一個正確的地方不是我們已經發表過的。這篇文章的作者顯然完全不知道他的這種工作早已經有人先他而為之了。第二個例子是在我在加利福尼亞大學和萊申巴赫同事的時候出現的。他告訴我，他有一項發明，他把數學歸納法引伸了。他名之為 “超限歸納法”。我對他說，這個問題是在《數學原理》的第三卷裏充分討論過的。過了一個星期，他對我說，他已經證實了這一點。我想在本章裏盡可能不過於專門，從數學的觀點，不從哲學的觀點，把《數學原理》我認為重要的幾方麵解釋一下。
我先從一個問題著手，這是一個哲學上的問題，也同樣是一個數學上的問題，就是，關係的重要性。在我的論萊布尼茨的書裏，我曾著重討論過有關係的事實和命題的重要性，和這些相對立的是由本體——和——屬性而成的事實和由主辭——和——賓辭而成的命題。我發現對關係所持的偏見在哲學和數學裏是發生了不良影響的。正象萊布尼茨未獲成功的努力一樣，布爾的數理邏輯是討論類的包含的，而且隻是三段論法的一種發展。皮爾斯曾弄出一種關係邏輯，但他是把關係當作一種由雙而成的類。這在技術上是可能的，但是並不自然而然地把注意力引向重要的東西。在關係邏輯裏重要的東西是與類邏輯不同的東西。關於關係，我在哲學方麵的意見有助於使我著重一種東西，這種東西結果變得極為有用。
在那個時候，我幾乎是隻把關係認做是內包。我想到了這樣一些句子：“ｘ在ｙ之前”、“ｘ大於ｙ”、“ｘ在ｙ之北”。那時我覺得（我現在確是仍然覺得），雖然從一種形式算法的觀點來看我們可以把關係當做一套有序的偶，可是使這一套成為一個統一體的隻是內包。當然，類也是如此。使一個類成為一個統一體的隻有那個為類中的各項所共具、又為各項所特有的內包。凡是我們對付一個類，其中的項我們無法列舉的時候，上麵所講的道理是顯而易見的。就無限的類來說，無法列舉是很明顯的，可是大多數有限的類也正是如此。舉例來說，誰能列舉蠼螋這個類其中的各項呢？雖然如此，我們還是可以說出一些關於一切蠼螋的命題來（或真或偽），我們之所以能夠如此，乃是由於使這個類所以能夠成立的內包。以上所說各點也一樣可以用於關係。關於時間上的次序，我們有很多事情可說，因為我們懂得“在先”這個字的意思，雖然ｘ在ｙ之先這樣的ｘ，ｙ一切的偶我們是無法列舉的。但是對於關係是偶的類這種見解還有一個反對的議論：這些偶必須是有序的偶，那就是說，我們必須能夠分別ｘ，ｙ這個偶和ｙ，ｘ這個偶。若是不藉內包上的某種關係，這是做不到的。隻要我們隻限於類和賓辭，就不可能解釋次序，或把一個有序的偶和無序的一個兩項的類加以區分。
所有這些都是我們在《數學原理》裏所發展出來的關係算法的哲學背景。我們不得不把各種概念用符號來表示，這些概念在以前是數理邏輯學家們沒有弄得顯著的。這些概念中最重要的是：（１）由一些項而成的類，這些項對於一個既定的ｙ項有Ｒ關係；（２）由一些項而成的類，對於這些項一個既定的ｘ項有Ｒ關係；（３）關係的“範圍”，這個範圍是由一個類而成，這個類中所有的項對於某種什麽東西有Ｒ關係；（４）Ｒ的 “相反範圍”，這個範圍是由一個類而成，某種什麽東西對於這個類中所有的項有Ｒ關係；（５）Ｒ的“領域”，這個領域是由上麵所說的那種“範圍”和“相反範圍”而成；（６）一種Ｒ關係的“反麵”，這是ｘ和ｙ之間有Ｒ關係的時候，ｙ和ｘ之間所具的一種關係；（７）Ｒ和Ｓ兩種關係的“關係產物”，這是有一個ｙ中項的時候，ｘ和ｚ之間的一種關係，ｘ對於ｙ有Ｒ關係，ｙ對於ｚ有Ｓ關係；（８）複數，界說如下：有既定的某ａ類，我們形成一個由若幹項而成的類，所有這些項對於ａ的某項有Ｒ關係。我們可以看一看人與人的關係來作以上各種概念的例子。舉例來說，假定Ｒ是父母與子女的關係。那麽，（１）就是ｙ的父母；（２）是ｘ的子女；
（３）是所有那些有子女的人的類；（４）是所有那些有父母的人的類，那就是說，除了亞當和夏娃以外，每人都包括在內；
（５）“父母”關係的領域包括每個人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（６）“的父母”這種關係的反麵是“的子女”那麽一種關係；（７）“祖父母”是父母與父母的關係產物，“弟兄或ae?妹”是“子女”與“父母”的關係產物，“堂兄弟或弟兄或ae?妹”是孫和祖父母的關係產物，餘可以類推；
（８）“伊通學院學生的父母”是按這一個意義來說的複數。
不同種類的關係有不同種類的用處。我們可韻冉慘恢止叵擔?庵止叵擋??恢侄? 西，我名之曰“敘述函項”。這是最多隻有一項對於既定的一項所能有的一種關係。這種關係產生用單數的“ｔｈｅ”這個字的短語，如“ｔｈｅ?fａｔｈｅｒofｘ”（ｘ的父親），“ｔｈｅｄｏｕ－ｂｌｅofｘ”（ｘ的兩倍），“ｔｈｅｓｉｎｅofｘ”（ｘ的正弦），以及數學中所有的普通函數。這種函項隻能由我名之曰“一對多”的那種關係產生出來，也就是最多一項對於任何別的一項所能有的那種關係。舉例來說，如果你正在談一個信基督教的國家，你可以說“ｘ的妻”，但是如果用於一個一夫多妻製的國家，這一個短語的意思就不明確了。在數學裏你可以說“ｘ的平方”，但是不能說“ｘ的平方根”，因為ｘ有兩個平方根。前麵所列的表裏的“範圍”、“相反範圍”和“領域”都產生敘述函項。
第二種極其重要的關係是在兩個類之間建立一種相互關係的那種關係。這種關係我名之曰“一對一”的關係。這是這樣一種關係，在這種關係中，不僅最多隻有一個對於一個既定的ｙ有Ｒ關係的ｘ，而且最多也隻有一個ｙ，對於這個ｙ一個既定的ｘ有Ｒ關係。舉一個例子：禁止一夫多妻的婚姻。
凡是在兩個類之間有這樣一種相互關係存在，這兩個類的項的數目就是一樣的。舉例來說：不用計算我們就知道妻的數目和夫的數目是一樣的，人的鼻子的數目和人的數目是一樣的。有一種特殊形式的相互關係，這種關係也是極其重要的。
這種相互關係的起因是：有兩個類是Ｐ和Ｑ兩個關係的領域，並且在它們之間有一種相互關係，凡是兩個項有Ｐ這種關係的時候，它們的相關者就有Ｑ這種關係，反之亦然。結過婚的官吏的位次和他們的妻的位次就是一個例子。如果這些妻不和貴族有關係，或者如果這些官吏不是主教，這些妻的位次就和丈夫的位次是一樣的。這種產生相互關係的東西名曰“次序的相互關係產生者”，因為不管在Ｐ領域中的各項有怎麽一種次序，這種次序總保存在Ｑ領域中的它們的相關者中。
第三種重要的關係類型是產生係列的一種關係。“係列”是一個舊的，人人都熟悉的名辭，但我認為我是給這個辭以一個確切意義的第一個人。一個係列就是一個組，包含若幹項，這些項有一個次序，這個次序來源於一種關係，這種關係具有三種性質：（ａ）這種關係一定是不對稱的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關係，ｙ對ｘ就沒有這種關係；（ｂ）它一定是及物的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關係，並且ｙ對ｚ有這種關係，ｘ對ｚ就有這種關係；（ｃ）它一定是連接的，那就是說，如果ｘ和ｙ是這種關係領域中的任何不同的兩項，那麽，不是ｘ對於ｙ有這種關係，就是ｙ對於ｘ有這種關係。如果一種關係具備了這三種性質，它就把它領域中的各項排列在一個係列中。
所有這些性質都很容易用人與人關係的例子來說明。·丈·夫這種關係是不對稱的，因為如果Ａ是Ｂ的丈夫，Ｂ就不是Ａ的丈夫。相反，配偶就是對稱的。祖先是及物的，因為Ａ的一個祖先的一個祖先是Ａ的一個祖先；但是·父·親是不及物的。在一個係列關係所必具的三個性質之中，祖先具備兩個，不具備第三個，“連接”，那個性質，因為，並不是任何兩個人之中，一個一定是另一個的祖先。另外一方麵，舉例來說，如果我們看一看一個皇室的王位繼承，兒子總是繼承父親，僅限於這個王係的祖先關係是連接的，所以這些國王形成一個係列。
上麵這三種關係是邏輯和普通數學之間過渡的極為重要的關係。
現在我想進而把幾種發展的大意說一說，以上所講的邏輯上的那一套對於這些發展是很有用的。但是在講之前，我先說幾句概括的話。
在我年輕的時候，人家告訴我說，數學是關於數目和量的科學，另一種說法是，數學是關於數目和度量的科學。這一個定義失之過於狹隘。第一：在傳統的數學裏所講的那些很多不同種類的數目隻占數學方法所應用到的那個範圍的一小部分，並且，為建立算術的基礎我們所不能不有的推理是和數目沒有很密切的關係的。第二：在講算術和算術的緒論的時候，我們不可忘記，有些定理對於有限的和無限的類或數來說都一樣是真的。隻要可能，我們不應該隻為前者對於這些定理加以證明。說得更普通一些，如果在比較普遍的範圍內我們可以證明一些定理，我們認為，在特殊某類的實例中對於這些定理加以證明是一件耗費時間的事。第三：算術中的一些傳統的形式定律，即，結合定律，
（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
交互定律，
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
以及乘法上的一些類似的定律
和分配定律
ａ×（ｂ＋ｃ）＝（ａ×ｂ）＋（ａ×ｃ）
我們認為證實這些定律是我們的目的的一部分。初學數學的人隻學了這些定律而無證明，要不然，如果有證明，他們是用數學歸納法，因此隻對於有限數是有效的。加法和乘法上的普遍定義假定因數的數目是有限的。我們竭力想去掉包括以上所說那一種在內的一些限製。
用所謂“選擇”的方法，我們可以把乘法擴展到無限多的因數。用選舉議會的議員這個例子最容易使我們明白選擇這個概念是什麽。假定在該國家裏每一個選舉出來的議員必須是選民中的一員，整個議會就是自選民而來的一個所謂“選擇”。大意是這樣：如果有一個由若幹類而成的類，那若幹類中沒有一個是零，選擇就是一種關係，從每類中挑出一個項來做那類的“代表”。這樣做法的數目（假定沒有一項為兩類所共有）就是這些類的數目的積數。舉例來說，假定我們有三個類，第一個是由ｘ１，ｘ２，ｘ３而成，第二個由ｙ１，ｙ２，ｙ３而成，第三個由ｚ１，ｚ２，ｚ３而成，凡是包含一個ｘ，一個ｙ和一個ｚ的類就是自三類的類而來的一個選擇。無論哪一個讀者都不難弄明白有二十七種辦法來做這種選擇。
在我們采用了這種乘法的定義之後，我們遇到了一種沒有想到的困難。如果類的數目是無限的，好象我們就無法確知選擇是可能的。如果這些類的數目是有限的，我們可以從每一類裏任意挑出一個代表來，在大選裏就是這樣；但是，如果這些類的數目是無限的，我們就無法有無限數目的任意的挑選，並且我們不能確知可以做出一個選擇來，除非有一個內包來得到所希望的結果。我舉一個例子：從前有一個百萬富翁，他買了無數雙鞋，並且，隻要他買一雙鞋，他也買一雙襪子。我們可以作一個選擇，從每雙鞋裏挑一隻，因為我們總是可以挑右鞋或者挑左鞋。所以，就鞋來說，選擇是存在的。但是，論到襪子，因為沒有左右之分，我們就不能用這個選擇的規則。如果我們想從襪子之中能夠加以選擇，我們就不能不采取一種精密得多的方法。例如，我們可以找出一個特點來，在每雙襪子中有一隻比另一隻更近於這個特點。
這樣，我們從每一雙裏挑選那一隻比較近於這個特點的襪子，我們就選擇出來了一套。我曾有一次把這一個謎說給在三一學院教職員餐桌偶爾坐在我一邊的一位德國數學家聽，可是他唯一的評語是：“為什麽說百萬富翁？”
有些人以為，不言而喻，如果這些類之中沒有一個是零，從每類中選擇出一個來就一定是可能的。另有一些人則認為不然。關於這一點，皮亞諾說得最好：“這一個原則正確不正確呢？我們的意見是沒有價值的。”我們對於我們所謂“乘法公理”所下的界說是：這是假定永遠可能從一組若幹類中的每一個（這些類沒有一個是零）選出一個代表來。我們找不到讚成或反對這個公理的論證，因此我們把這一個公理明白地包括在應用這個公理的任何定理的假定中。在我們遇到這一個問題的同時，載爾美樂提出了他所說的“選擇原理”，這是一個略為不同但在邏輯上相等的假定。他和一些別的人把它看做是一個自明的真理。因為我們並不采取這一個意見，我們盡力尋求一些方法來對付乘法而不假定這個公理是真的。
選擇的邏輯學說無論在哪一點上都不依賴“數目”這個概念，在《數學原理》裏我們是在給“數目”下界說之前提出來選擇學說的。這種意思也可以用於另一個極其重要的概念，也就是，在普通語言裏用“等等”這些字所表示C的那個概念。
假定你想用“父母”這個概念來說明“祖先”這個概念。
你可以說，Ａ是Ｚ的祖先，如果Ａ是Ｂ的父（或母）親，Ｂ是Ｃ的父（或母）親，等等，並且這樣在有限的多少步之後，你達到Ｙ這個人，他是Ｚ的父（或母）親。這都沒有問題，隻是有一件，這裏邊包含“有限的”這幾個字，這幾個字不能不加以界說。隻有用一個完全一般的概念的特殊應用，給“有限的”下定義才是可能的，就是，從任何既定的關係而來的祖先關係那個概念。這個祖先關係概念最初是弗雷格遠在一八七九年發展出來的，但是直到懷特海和我發展出這個概念來的時候，弗雷格的工作一直沒有為世人所注意。我們想加以界說的這個概念可以初步解釋如下：如果ｘ對於ｙ具有Ｒ關係，我們姑且把ｘ到ｙ這一步稱為“Ｒ步”。你可以從ｙ到ｚ再走一Ｒ步。凡是通過從ｘ開始的那些Ｒ步你所能達到的東西，我們都說成為關於Ｒ的ｘ的“後代”。我們不能說凡是通過一個“有限數目的Ｒ步”你所能達到的東西，因為我們還沒有對於“有限” 這個辭加以界說。我們隻有借“後代”這個概念才能給它下一個界說。關於Ｒ的ｘ的後代可以界說如下：我們先給關於Ｒ的一個“世傳的”類下一個界說。
這是有這樣性質的一個類：凡是從這個類的一項通過一Ｒ步所達到的東西就又是這個類的一項。舉例來說，“斯密”這個名稱的性質是在父子關係中世傳的，人性這種性質是在父母對子女的關係中世傳的。“如果ｙ屬於ｘ所屬於的每個關於Ｒ的世傳的類，ｙ就屬於關於Ｒ的ｘ的後代”，我現在說明這是什麽意思。現在讓我們把這個應用於普通的整數，用一個數目對於它下麵緊接著的那個數目的關係來代替Ｒ。如果我們現在看一看關於這一個數目的０的後代，顯然１是屬於這個後代，因為１＝０＋１；而且，因為１屬於０的後代，２也是如此；而且，因為２是如此，３也就是如此。這樣下去，我們就得到一整套都屬於０的後代的數目。我們可以把用所謂“數學歸納法”的證明應用於所有這些數目。數學歸納法是這樣一個原理：如果一個性質屬於０，並且屬於有這個性質的任何數目下麵緊接著的那個數目，那麽，這個性質就屬於所有的有限數。把“有限”數說明為０的後代，這是這個定義的直接結果。從前大家以為數學歸納法是一個原理，因為從前以為一切數目一定是有限的。這是一個錯誤。數學歸納法不是一個原理，而是一個定義。對於有些數目來說它是正確的，對於另一些數目來說它是不正確的。凡它能適用的數目就是有限數。舉例來說，把１加到一個有限數上，這個有限數就增加了；一個無限數就不是這樣。
整個這個祖先關係學說不但對於數目說來是十分重要的。因為這個理由，我們在提出數的定義來以前就創立了這個學說。
現在我來講一個東西，我名之為“關係算術”，這占了《數學原理》第二卷的後半本的篇幅。從數學的觀點來看，這是我對於這部書最重要的貢獻。我所說的“關係數” 是一種完全新的數，普通數是這種數的一種極其特殊化的例子。我發現，一切能用於普通序數的那些形式定律都能用於這一種一般得多的數。我也發現，關係數對於了解結構是很要緊的。
有些辭（“結構”就是其中的一個），正如“等等”或者“係列”，雖然為人用得慣熟，卻無確切的意義。借關係算術，“結構”這個概念就可以精確地加以界說。
這一個問題裏的基本定義是前麵已經提到過的“次序的類似”或“相似”的定義。凡和關係有關的地方，這種東西所起的作用正和類似在類與類之間所起的作用是一樣的。類與類之間的類似就是一個一對一的關係的存在，把一類的每一項和另一類中的相關者連結到一起。Ｐ和Ｑ兩種關係之間的次序的類似就是指，有Ｐ領域對Ｑ領域的那麽一個相互關係產生者，凡是兩項有Ｐ關係，它們的相關者就有Ｑ關係，反之亦然。讓我們舉一個例證：假定Ｐ是已婚的政府官員的位次關係，Ｑ是他們的妻子的位次關係，妻和丈夫的關係就使Ｐ領域和Ｑ領域有這樣的相互關係：隻要是這些妻們有Ｑ關係，他們的丈夫就有Ｐ關係，反之亦然。當Ｐ和Ｑ兩種關係在次序上是類似的時候，如果Ｓ是產生相互關係作用的那個關係，Ｑ就是Ｓ和Ｐ的關係產物，而且是Ｓ的倒轉。例如，在上麵所舉的那個例證中，如果ｘ和ｙ是兩個妻，並且ｘ對ｙ有Ｑ關係，而且，如果Ｓ是妻對丈夫的關係，那麽，ｘ就是對ｙ的丈夫有Ｐ關係那樣一個男人的妻，那就是說，Ｑ和Ｓ與Ｐ的關係產物是同一關係，並且是Ｓ的倒轉；Ｓ的倒轉就是丈夫對妻的關係。凡Ｐ和Ｑ是係列關係的時候，它們的相似在於它們的各項可以發生相互關係而不變換次序。但是相似這個概念可以用於一切有領域的關係，也就是，可以用於一切關係，在這種關係中，範圍和倒轉範圍是一種類型。
我們現在說，一個Ｐ關係的關係數就是那些在次序上和Ｐ相類似的關係的類。這正有類於用次序的類似代替類的類似，用關係代替類的基數算術。加法、乘法和指數的定義有點兒類乎基數算術裏的定義。加法和乘法都遵循結合定律。分配定律在一種形式中是適用的，但是，普通說來，在另一種形式中是不適用的。除了有關的關係的領域是有限的，交互定律是不適用的。舉例來說，今有象自然數的係列的一個係列，在這個係列上加上兩項。如果你把這兩項加在開頭的地方，這個新的係列就象是那個舊的係列；可是，如果你把這兩項加在末尾，這個新的係列就不同了。無論什麽時候，如果ｘ對ｙ有Ｐ關係，或ｘ對ｙ有Ｑ關係，或ｘ屬於Ｐ的領域，ｙ屬於Ｑ的領域，那麽，Ｐ和Ｑ兩種關係之和就可以說是能適用於ｘ與ｙ之間的一種關係。根據這一個定義，一般說來，Ｐ與Ｑ之和跟Ｑ與Ｐ之和不同。不僅一般的關係數是如此，而且序數也是如此，如果其中之一或二者是無限的。
序數是關係數的次一級的類，也就是能適用於“次序整然的”係列，“次序整然的” 係列其性質是：其中任何有若幹項的次一級的類有一個第一項。坎特曾研究過超限序數，但是，據我所知，一般的關係數是在《數學原理》中第一次加以界說和研究的。
一兩個例證也許對於我們有幫助。假定你有若幹對成一其個係列，你想按照上麵解釋選擇公理的意思從這些對裏形成一係列的選擇。這個程序和基數算術裏的程序十分近似，隻是有一點不同，就是，我們現在是想把這些選擇排成一個次序，而以前我們隻是把它們算做一個類。此外又假定，正如我們討論類的選擇的時候那樣，我們有三個組，（ｘ１，ｘ２，ｘ３）、（ｙ１，ｙ２，ｙ３）和（ｚ１，ｚ２，ｚ３），我們想從這些裏邊弄出一個選擇的係列來。這有種種辦法。也許最簡單的辦法是這樣：任何包含ｘ１的選擇出現在任何不包含的選擇之先。在二者都包含ｘ１或都不包含ｘ１的那些選擇之中，那些包含ｙ１的選擇出現在不包含ｙ１的選擇之先。在二者都包含或都不包含ｘ１和ｙ１的那些選擇之中，那些包含ｚ１的選擇出現在那些不包含ｚ１的選擇之先。我們為尾數２和尾數３立下類似的規則。這樣我們就得到所有可能有的選擇，排成一個係列，這個係列的開頭是（ｘ１，ｙ１，ｚ１），最後是（ｘ３，ｙ３，ｚ３）。顯然這個係列是有二十七項，但是這裏二十七這些數目已經不是象我們從前那個例子裏的那樣一個基數，而是一個序數了，也就是說，是特別一種關係數。由於在那些選擇之中建立了一個次序，它和一個基數是有區別的，一個基數並不建立一個次序。隻要我們隻限於有限數，在序數與基數之間是沒有重要的形式上的分別的；但是，有了無限數的時候，由於交互定律不起作用，其間的分別就變得重要了。
在證明關係算術的形式定律的時候，我們常常有機會討論係列的係列的係列。用下麵這個實例，你在心中就可以得到一個具體形像：假定你要把一些磚堆積起來，而且，為的是把這件事說得更有趣，假定這是些金磚，你是在諾克司堡工作。我現在假定你先弄成一行磚，把每一塊磚放在前一塊的正東；你然後再弄一行，和第一行接觸，但是是在第一行的正北；這樣下去，你弄了許多行，到適當的程度而止。然後你在第一層的上麵弄第二層，在第二層的上麵弄第三層，這樣下去，直到所有的磚都堆完為止。那麽每一行就是一個係列，每一層是一個係列的係列，這一整堆是一個係列的係列的係列。我們可以用符號把這個過程代表如下：假定Ｐ是上層對下層的關係；Ｐ的領域是由各層而成；每一層是一係列的行。假定Ｑ１是最高一層各行南對北的關係，Ｑ２是第二層各行的這種關係，其餘類推。Ｑ的領域是一係列的行。在最高一層最南邊的一行中，東對西的關係，我們稱之為Ｒ１１；在最高一層的第二行中，東對西的關係，我們稱之為Ｒ１２；其餘類推，最後是Ｒｍｍ，假定ｍ是層的數目，ｎ是每一層中行的數目。在這一個實例中，我是假定層數和行數是有限的，但是這是一個完全不必要的限製，有這一個限製隻是為把這個實例弄得簡單一點。在普通的語言裏，所有這些都頗為複雜而冗長，但是用其符號來就變得簡易了。假定?E是ｘ對Ｐ的關係（這個關係就是ｘ是Ｐ的領域的一項）。那麽，F３就是F和F和F的關係產物。舉例來說，單個的磚是對Ｐ有F３關係的一些項，那就是說，每個磚是Ｐ的領域的一項的領域的一項的領域的一項。在證明加法和乘法的結合定律的時候，我們需要這樣的係列的係列的係列。
如果兩個關係數在次序上類似，我們可以說，它們產生相同的“結構”，但結構是略比這個更為廣泛的概念，因為它不限於二的關係，那就是說，二項之間的關係。在幾何學裏，三項或四項之間的關係是很重要的，懷特海原要在《數學原理》的第四卷裏討論這些關係。但是他做了不少預備工作之後，他的興趣鬆懈下來，他放棄了這計劃，而走向哲學去了。
可是不難看出結構這個概念如何可以一般化。假定Ｐ和Ｑ已經不是二的關係，而是三的關係，這樣的關係有許多通俗的例子，如，“在……之間”和“嫉妒”。關於Ｐ和Ｑ，我們可以說它們有相同的結構，如果能使它們有相互關係，凡在那個次序裏ｘｙｚ有Ｐ關係的時候，它們的相關者在相同的次序裏就有Ｑ關係，反之亦然。結構之為重要是有經驗上的原因的，但是它的重要性也有純粹是邏輯上的原因。如果兩個關係有相同的結構，它們的邏輯上的性質是同一的，隻是有一件：有賴於它們的領域的項的那些性質要除外。我所謂“邏輯的性質”是指能用邏輯術語表示的那些性質，不隻是指能用邏輯證明的那些性質。對於係列關係加以界說的那三個特征就是一個例子，就是說，它們是不對稱的、及物的、連接的。這些特征可以用邏輯術語表示出來；如果一個關係有其中之一的任何特征，每個在次序上和它類似的關係就也有這一個特征。每個關係數，不管是有限的或是無限的，是有這個數的任何關係的一個邏輯的性質。大體說來，凡關於一個關係你所能講的話，不提有這個關係的各項，也不談任何不能用邏輯術語表示的性質，都完全能適用於任何與你著手的關係相類似的關係。邏輯的和別的性質之間的區別是很重要的。舉例來說，如果Ｐ是顏色之間的一種關係（例如虹裏顏色的次序），是顏色之間的一種關係這麽一個性質不屬於在次序上與Ｐ類似的一切關係；但是是係列的那樣的一個性質卻是如此。再舉一個較為複雜的例子：留聲機器和灌片時原來的音樂在它們的邏輯的性質方麵是分辯不出來的，雖然這兩種東西所由成的實際材料是很不同的。
另一個實例也許能幫助我們把結構這個概念解釋明白。
假定你知道某種語言的文句構造上的規則，但是，除了用於邏輯的一些字以外，你一個字也不認識，並且假定有人給了你用這種文字寫出來的一個句子：這句話可以有的不同的意義是什麽呢？這些意義的相同之點是什麽呢？隻要能使這整個句子具有意義（也就是說，在邏輯上講得通），你對於每個單個的字可以賦予任何意義。那麽，這句話就有很多可能的意義，也說不定是無限多，但是它們都有相同的邏輯結構。如果你的語言具備某些邏輯上的必要條件，使你的一些句子為真的那些事實也就有相同的結構。
我認為關係算術是重要的，這不隻是因為它是一個有趣的通則，也是因為它給人以對付結構所必需的一種符號技術。
我一直認為，不熟悉數理邏輯的人很不容易了解“結構”的意義，而且，因為有這一種困難，在試圖了解經驗的世界的時候，他們很容易走錯了路。僅是因為這個道理，關係算術這一個學說至今不大為世人所注意，我對此覺得十分惋惜。
我之知道這個學說沒有完全被人所忽略，是因為我在一九五六年出乎意料之外接到了柏林漢布特大學俞爾根·斯密教授的一封信。他告訴我，這個學說的一些部分在所謂 “辭典編輯問題”中曾經用過，這個問題是在於規定一種語言中字的字母排列，這種語言的字母是無限的。 |
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