我認為大學中有院係之分是必要的，但其結果是很不幸的。邏輯被人看做是哲學的一個分枝，而且曾為亞裏士多德所論述過，因此大家就認為這一個科目隻有熟悉希臘文的人才能討論。結果，數學隻被不懂邏輯的人所討論。自亞裏士多德和歐幾裏德時代到本世紀，這種分裂是有很大的損害的。
在一九○○年巴黎開國際哲學會的時候，我意識到邏輯改革對於數理哲學的重要性。我是因為聽了來自突林的皮亞諾和到會的一些別的哲學家的討論才認識到了這一點。在此以前，我不曉得他曾做過一些什麽。但是我深深感到，在每項討論的時候，他比別人更精確，在邏輯上更嚴密。我去見他，並對他說：“我想把你所有的著作都讀一下，你身邊有嗎？”他有。我立刻把他的著作都讀了。正是這些著作促進了我對於數學原理有我自己的主張。
數理邏輯並不是一個新的學科。萊布尼茨曾經嚐試了一下，但是由於敬重亞裏士多德，而受到了阻礙。布爾在一八五四年發表了他的《思想律》，弄出來一整套計算法，主要是講類的包含。皮爾斯曾經開創了一種關係邏輯。施勒德曾發表過一部著作，分三大卷，概述了以前的成果。懷特海在他的《普遍代數學》的第一部分裏專論布爾的計算法。上麵所說的這些著作大多數我那時是熟悉的。但是我不覺得這些著作對於弄明白算術的基本原理有什麽幫助。正在我去巴黎之前我關於這一個題目所寫的文章的原稿，我現在還有，我現在又把它讀了一遍，我發現，關於算術對於邏輯所提出來的問題，這篇文章連初步的解決都沒有做到。
皮亞諾所給我的啟發主要是來自兩個純乎是技術上的進步。如果一個人沒有象我那樣花過若幹年的時間想法了解算術，他很不容易知道這兩種進步的重要性。這兩種進步都是弗雷格在更早一個時期取得的。我疑心皮亞諾未必知道這一點，而且我也是到後來才知道的。雖然有困難，可是我一定盡我的能力來解釋這兩種進步是什麽，以及為什麽很重要。我先講這兩種進步是什麽。
第一種進步是把“蘇格拉底是不免於死的”這種形式的命題和“一切希臘人是不免於死的”這種形式的命題分開。亞裏士多德和人所共認的關於三段論式的學說（康德以為這種學說永遠不能再有改進）認為這兩種形式的命題是沒有區別的，要不然，總也沒有什麽大的不同。但是，事實上，若看不出這兩種形式是完全不同，不論是邏輯還是算術，都不會有長足的進展。“蘇格拉底是不免於死的”把一個賓辭加於一個是人名的主辭上。“一切希臘人是不免於死的”表示兩個賓辭之間的關係，也就是，“希臘人”和 “不免於死”，把“一切希臘人是不免於死的”全部說出來是，“就ｘ的一切可能有的值來說，如果ｘ是希臘人，ｘ是不免於死的”。這裏不是一個主辭—賓辭的命題，而是把兩個命題函項連結起來。如果給ｘ這個變項指定一個值，則兩個命題函項的每一個就變成一個主辭—賓辭的命題。“一切希臘人是不免於死的”這個命題並不是單講希臘人怎麽樣，而是一個講宇宙中一切事物的命題。若ｘ是希臘人，“如果ｘ是希臘人，ｘ就是不免於死的”這個命題固然能夠成立，若是ｘ不是希臘人，這個命題也一樣能夠成立。實在說來，即使希臘人完全不存在，這個命題也能成立。“一切小人國的人是不免於死的”是能成立的，雖則小人國的人是不存在的。“一切希臘人是不免於死的”之所以不同於“蘇格拉底是不免於死的”這個命題，是它並沒有指明哪一個人，而僅僅是表示賓辭與賓辭的連結。它之能夠成立不能用枚舉來證明，因為（再說一遍）所說的這個ｘ並不限於是希臘人的那些ｘ，而是及於全宇宙。但是，雖然這個命題不能用枚舉來證明，卻能為人所理解。我不知道是否有長翅膀的馬，這樣的馬我確是從來沒有見過，但是我卻可以知道一切長翅膀的馬都是馬。總而言之，凡含有“一切”這兩個字的命題都是包含命題函項的命題，但是並不包含這些函項的任何特殊的值。
我從皮亞諾聽到的第二個重要的進步是，由一個項所成的一個類和那個項並不相等。例如，“地球的衛星”是一個類，它隻有一個項，就是，月亮。但是把一個類和它僅有的項等同起來，就在集合的邏輯裏引起完全無法解決的問題來，因此在數的邏輯裏也引起完全無法解決的問題來，因為數所適用的是集合。一經指出，就很容易明白把“地球的衛星”和月亮等同是不適當的。如果發現地球有第二個衛星，“地球的衛星”這個短語不會改變它的意義；對於一個懂天文學卻不知道地球有一個衛星的人，這個短語也不會缺乏意義。從另一方麵說，如果我們可以把“月亮”當做一個名稱，關於月亮的命題，除了對於那些曉得月亮的人以外是沒有意義的。對於不曉得月亮的人如果不解釋“月亮” 就等於“地球唯一的衛星”這個短語，“月亮”不過是一個沒有意義的聲音罷了；
如果這個解釋被代替了，關於月亮的命題就沒有我們說：“今天晚上月亮亮”的時候在你和我看來所具的意義。一個人不用描寫，他是把概念連結到一起，不是和感覺世界直接相接觸。一個人說：“月亮亮”，他卻是和感覺世界直接相接觸。關於這一點，我們現在所討論的這個區別，和前麵我們所說“蘇格拉底是不免於死的”跟“一切希臘人是不免於死的”之間的分別，有些相似。
讀者說不定會以為，上邊的那些區別不過是學究的裝腔做勢，賣弄學問。我現在不能不想法說明並非如此。
弗雷格以前的作者都把算術的哲理想錯了。他們這些人所犯的錯誤是一個很自然的錯誤。他們以為數目是由數數兒得來的。他們陷入了無法解決的困境，是因為可以算做一個的東西，也一樣可以算做多。請以這樣一個問題為例：“英國有多少足球俱樂部？” 在回答這一個問題的時候，你把每一個俱樂部當做一，但是你也一樣可以問：“某某足球俱樂部有多少會員？”那樣，你就把這個俱樂部當做多了。而且，如果甲先生是這些俱樂部之一的一個會員，雖然他原先算做一，你這樣問也一樣正當：“甲先生是由多少分子而成的？”那麽，甲先生就算是多。所以，顯而易見，從計算的觀點來說，使什麽東西之為一，不是這件東西的物質構造，而是“這是什麽的一個具體例子？”這個問題。你從計算所得來的數目是某種集體的數目。在你數這個集體以前，它無論什麽數目都有。隻是按某種東西的許多實例來說，這個集體才是多。這個集體又是另一種東西的一個實例，在數數目的時候是按實例來說算做一。這樣我們就不得不麵向這一個問題：“一個集體是什麽？”和“一個實例是什麽？”若是不用命題函項，二者都無法理解。一個命題函項就是一個式子，其中包含一個變項，一旦給這個變項定一個值，這個式子就成了一個命題。舉例來說，“ｘ是一個人”是一個命題函項。如果我們用蘇格拉底或柏拉圖或任何別的人來代替ｘ，我們就得到一個命題。我們也可以用一個什麽不是人的東西來代替ｘ，我們仍然得到一個命題，雖然按這一個例子來說這個命題是不能成立的。一個命題函項僅是一個式子而已。它本身並不能表示任何東西。它可以作一句話的一部分，這句話確有所斷定，能成立或不能成立：“ｘ是一個使徒”是沒有意義的。但是“ｘ有十二個值，因此‘ｘ是一個使徒’是能成立的”是一個完整的句子。類似的話也可以用於實例這個概念。我們把某種東西當做一個實例的時候，我們是把它當做一個命題函項裏一個變項的一個可能有的值。如果我說：“蘇格拉底是人的一個實例”，我的意思是說，蘇格拉底是ｘ的一個值，因此“ｘ是一個人”是能成立的。經院哲學家有一句格言，意思是說，一和存在是同義語。這句格言隻要大家信以為真，就沒有法子把１的意義弄明確。事實的真相是，存在是一個沒有用處的字。而且，誤用這個字的人應用這個字所應用到的那種事物既可以是一，也往往可以是多。·一不是事物的一個特征，而是某些命題函項的一個特征，就是說，有以下這種特性的那些命題函項：有一個ｘ使這個函項為真，而且這個ｘ是這樣，如果ｙ使這個函項為真，ｙ就和ｘ是同一的。這是一元函數的定義。１這個數目是一元的特性，這種特性是為某些函數所具有的。同樣，零函數是一個對於ｘ的所有的值來說都是錯誤的函數，成為一個零函數，其特性是０。
關於數的那些舊的學說，到０和１以上，總是遇到困難。
最初使我得到很深的印象的是皮亞諾對付這些困難的本領。
但是須待很多年之後我才得到這個新觀點的全部結論。在數學中想出“類”來是方便的。有一個長的時期，我以為把類和命題函項加以區別是必須的。可是，我最後得到的結論是，除非是一種技術上的手段，這種區別是不必要的。“命題函項”這種話聽起來也許可怕，卻無怕的必要。有很多時候我們可以用“特性”這個字來代替。所以我們可以說，每個數是某些特性的一種特性。但是，除了做最後的分析，繼續用“類”這個字也許更容易一些。
以上所說的理由使我得出來的關於數的定義，弗雷格已先於我十六年就得出來了。但是關於這一點，我是在我重新發現這個定義大約一年以後才知道的。我對於２所下的定義是一切雙的類，３是一切三個一組的類，等等。一雙的定義是一個類，這個類有ｘ項和ｙ項，ｘ和ｙ不等同，並且，如果ｚ是這一個類的一項，ｚ就和ｘ或ｙ相等。一般說來，一個數就是一組的類，這一組類有一種特性，這種特性叫做“相似”。
這可以有如下的界說：如果有一種方法把兩個類的項一對一地配合起來，這兩個類就是相似。舉例來說，在一個一夫一妻製的國家裏，你可以知道結了婚的男人的數目是和結了婚的女子的數目相同，用不著知道二者究竟有多少（我是把寡婦和鰥夫除外）。還有，如果一個人沒有殘缺一條腿，你大概可以確實知道他右腳鞋的數目和他左腳鞋的數目是一樣的。
在一次聚會中，如果每人都有一把椅子坐，並且沒有空著的椅子，那麽椅子的數目就必是和坐椅子的人的數目是一樣的。
在這些例子中，一類裏的那些項和另一類裏的那些項之間有所謂一對一的關係。相似正是這種一對一關係的存在的定義。
任何類的數可以說就是所有與它相似的那些類。
這個定義有多方麵的長處。它能應付所有從前關於０和１所發生的問題。０就是沒有項的那些類的類，也就是說，它是一個類，其唯一的項是一個沒有項的類。１是一些類的類，那些類的特性是，它們是由與一個ｘ項相等的任何東西而成的。這個定義的第二個長處是，它克服了關於一和多的困難。
因為所計算的項是按一個命題函項的實例來計算的，所含的一隻是命題函項的一。這個命題函項的一決不和實例的多相抵觸。但是比這兩個長處更重要的是，我們就不把數當做形而上學上的實體了。事實上，數就隻成了語言上的便利，不比“等等”或“即” 更有內容。克羅耐克研究數學的哲理，說：
“上帝造了整數，數學家們造了其餘的數學裝置”。他這話的意思是說，每個整數必須有一個獨立的存在，但是別類的數就不必這樣。有了前麵的關於數的定義，整數的這個特權就消失了。數學家的根本的器具就化為·或、不、一切、一些等這樣一些純粹是邏輯上的名辭了。在知識的一個部門裏所需要的那些意義不明確的術語和未經證明的命題，我把它們的數目消減了，這是我第一次感到奧卡姆剃刀的用處。
上麵關於數的那個定義還有一個長處，是極其重要的。那就是，這個定義掃除了關於無限數的困難。隻要數是由把項數一數得來的，那就不容易想象一次不能數完的一些集團的數目。舉例來說，你不能把有限數數完。無論你數多麽久，後麵總還有更大的數。所以，隻要數是從數數兒得來的，似乎談有限數的數目就是不可能的。可是似乎數數目隻是知道一個集體裏有多少項的一種方法而已，並且隻能用於那些有限的集體。應合這個新學說的數數目的邏輯是這樣：例如，假定你是數金鎊鈔票。你心裏努一把力量，使這幾張鈔票和１，２，３等數目之間有一對一的關係，直到數完鈔票為止。按照我們的定義，你就知道，鈔票的數目是和你念過的數目一樣。
而且，如果你是從１開始的，並且這樣下去沒有遺漏，你念過的那些數目的那一個數目是你念過的最後的那個數目。這個辦法你不能用於無限的集體，因為人生是不夠長的。但是，因為數數目再也不重要了，你也就用不著關心了。
既已把整數象以上作了界說，就沒有困難引伸其義以應數學的需要。有理分數是來自乘法的整數之間的比數。實數是一組一組的有理數，這些有理數是由零以上一直到某點所有的東西而成。舉例來說，二的平方根是所有平方少於二的那些有理數。我相信我是這個定義的發明者。它解決了一個謎，對於這個謎，自從畢達哥拉斯那個時代以來所有的數學家都沒有辦法。複素數可以看成是成雙的實數，所取“雙”的意義是，其中有一個第一項和一個第二項，也就是說，其中項的次序是很重要的。
除了我所提到的事項以外，在皮亞諾和他的門徒的工作中還有一些東西使我喜歡。我喜歡他們不用圖形發展幾何學的方法，這樣就表示康德的直觀是用不著的。我也喜歡皮亞諾的曲線，這個曲線普及於一整個範圍。在我遇到皮亞諾以前，我已經充分知道關係的重要性。所以我立刻就著手用符號處置關係邏輯，以補充皮亞諾所做的工作。我是在七月之末遇見他的。在九月裏我寫了一篇文章討論關係的邏輯，發表在他的學報裏。我把同一年的十月、十一月和十二月用於撰寫《數學的原理》。現在那本書的第三、第四、第五和第六部分和我在那幾個月所寫的幾乎完全是一樣的。可是，第一、第二和第七部分我後來又重新寫過。我在十九世紀的最後一天，也就是一九○○年的十二月三十一日，寫完《數學的原理》的初稿。那年六月以後的幾個月是我智力活動的蜜月，無論在此以前或在此以後，我都不曾嚐到過。每天我都發現我懂得了一些前一天不曾懂得的東西。我以為一切困難都解決了，一切問題都結束了。但是這個蜜月沒有能持久。第二年的年初，智力活動上的悲哀充分地降到了我的頭上。 |
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