春後雨前的博客
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【續前】馮·諾伊曼最重要的數學遺產——算子代數及其現代發展（上）
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算子代數的開創性工作
對算子理論的探索貫穿了馮·諾伊曼的整個科學生涯，是他作為純數學家最深刻的工作。他在研究Hilbert空間算子譜理論、群表示、遍曆理論和量子力學的數學基礎時，認識並預見到，研究物理世界中無窮自由度的係統需要新的數學工具。1929年馮·諾伊曼在論文《函數運算代數和正規算子理論》中首次提出了 “算子環”的概念，將有限維矩陣代數推廣到無窮維空間，指出任何遵守量子力學規則的物理係統都可由一個算子環來描述。後來他在博士後弗朗西斯·默裏（Francis Murray，1911–1996）協助下，對算子環進行了係統深入的研究，他們的係列論文至今仍是這一領域的核心部分。馮·諾伊曼去世後，布爾巴基學派的創始人之一、法國數學家讓·迪厄多內（Jean Dieudonné）建議將算子環重新命名為 “馮·諾伊曼代數”，以表示對他的紀念。圖為1948年馮·諾伊曼（後排左五）參加在加州帕薩迪納舉行的Hixon研討會。
馮·諾伊曼代數是由複 Hilbert 空間上有界線性算子構成的自伴代數，對於弱算子拓撲封閉並且包含恒等算子。這裏弱算子拓撲可被強、超強或超弱算子拓撲取代，馮·諾伊曼代數的自伴和弱閉性質使得它包含其任意自伴元的譜族。交換馮·諾伊曼代數等價於勒貝格測度空間上所有本質有界函數構成的代數，因此馮·諾伊曼代數是測度論的非交換推廣，另一個已知例子是Hilbert空間H上全體有界線性算子 B(H)。假設M是一個馮·諾伊曼代數，其交換子（commutant）M’ 是由所有可與M中算子交換的算子構成的馮·諾伊曼代數；M的中心（center）是子代數M∩M’；因子（factor）是具有平凡中心的馮·諾伊曼代數，即其中心僅由標量算子組成。
馮·諾伊曼證明的第一個重要結果是二次交換子定理：馮·諾伊曼代數的解析定義等價於作為二次交換子的純代數定義。他還證明了可分Hilbert空間上的每個馮·諾伊曼代數都可唯一表示為因子的直和，因此研究馮·諾伊曼代數的性質可約化為研究因子的性質。馮·諾伊曼引入因子概念的目的是為了探索量子力學中在Hilbert空間的非平凡分解，默裏和馮·諾伊曼根據算子的值域，在投影（自伴冪等算子）之間建立了偏序關係，從而定義了進行因子分類的維數函數。一個投影是無限的，是指它可與其某個真子投影等價，否則是有限的；極小投影沒有真子投影；有限/無限馮·諾伊曼代數是指其單位元（恒等算子）是有限/無限的。
默裏和馮·諾伊曼將因子分為三種類型：一個因子如果有極小投影，則稱其為 I 型；如果沒有極小投影卻有非零有限投影，則稱其為 II型；如果沒有任何非零有限投影，則稱其為 III型，即純無限的。他們證明了I 型因子同構於B(H)，依空間H的維數分為In或I∞型。如果II型因子是有限的，則稱其為II1 型，否則為 II∞ 型。II1 因子具有唯一的有限正規跡態（trace），II∞ 型因子具有唯一的半有限正規跡態。默裏和馮·諾伊曼利用群測度方法和可數離散群的左正則表示給出了II1、II∞、III型因子的實例。超有限的馮·諾伊曼代數是一個遞增的In型因子序列的強閉包，他們證明了所有超有限的II1 型因子在同構意義下是唯一的，並且構造出非超有限的II1 型因子。
在1954年九月舉行的阿姆斯特丹國際數學家大會ICM的開幕式上，馮·諾伊曼作了《數學中未解決的問題》主題演講。在大會召開前近兩年，組委會就向他發出了邀請函，希望馮·諾伊曼能夠在大會上為20世紀後半葉的數學發展指明方向，再現1900年希爾伯特在巴黎ICM上提出23個世紀數學問題的盛況。馮·諾伊曼在經過慎重考慮後接受了邀請，並以其一貫精準和謙遜的態度強調，整個數學學科對於任何一位數學家來說都是太過廣泛了。他在演講的開場白中說：“如果我試圖效仿（希爾伯特）這個非常奇特的壯舉，那將是絕對愚蠢的。此外，我不知道未來，而未來無論如何隻能以事後的可靠性進行預測。” 如同其一貫的風格，馮·諾伊曼沒有正式的演講稿，他精心準備的一份手寫提綱和一份打印稿件現存美國國會圖書館。
馮·諾伊曼將演講內容限製在自己熟知的數學領域，他回顧了提出算子環的動機和背景，重點討論了II1型算子環。這類特殊的算子環最誘人的特點是具有連續的有限維數，馮·諾伊曼認為II1型比I 型更適合描述量子模型。遺憾的是，他生前沒有來得及完成關於II1型算子環的係統著述，因此他在1954年ICM的演講及手稿是這一領域的主要信息來源。馮·諾伊曼選擇算子環作為大會演講的主題，是為了更好地理解算子理論、量子力學、量子邏輯和非交換概率論之間的關係，以及更深層次的哲學意義，他將量子邏輯也列為未解決的數學問題之一。想必當時很少有人能預見到，以馮·諾伊曼命名的算子代數，若幹年後對於現代數學和理論物理學將產生何等深遠的影響。
模理論和III型因子的分類
在對馮·諾伊曼代數的研究中，默裏和馮·諾伊曼發現了一片新大陸，也留下了許多尚未解決的問題，特別是對於III型因子知之甚少。由於量子場論數學化的需要，馮·諾伊曼代數在沉寂了二、三十年之後重新引起關注，迅速成為熱門領域。數學家們陸續證明了存在無窮多個非同構的II1 或II∞型因子，一些關於因子的新的代數不變量不斷被定義。羅伯特·鮑爾斯（Robert Powers）利用無窮多個I2型因子的張量積及C*-代數的Gelfand–Naimark–Segal（GNS）構造，對於 (0 ,1) 區間中的不同實數 λ，發現了互不同構的III型超有限Powers因子Rλ，而在這之前隻有三個III型因子是已知的。另外，沃爾夫岡·克裏格（Wolfgang Krieger）還給出了遍曆理論中與離散等價關係相關的Krieger因子。
1930年代，默裏和馮·諾伊曼發現一個因子M與其交換子M’ 同為I、II或III型，但其 “大小” 可能完全不同。他們用跡態證明了，每個具有循環分離向量的I型或II型因子反自同構（anti-automorphism）於它的交換子，這類馮·諾伊曼代數被稱為具有標準形式。然而在純無限的馮·諾伊曼代數上無法定義跡態，因此III型因子始終難以駕馭，直到兩位日本數學家富田稔（Minoru Tomita，1924–2015）和竹崎正道（Masamichi Takesaki，1933-）做出了十分重要的工作。1967年，富田稔第一個證明了馮·諾伊曼代數張量積的交換子定理這一長期未決的猜想，提出了馮·諾伊曼代數的模自同構理論。由於原始手稿很難理解，證明缺失，隻發表了部分內容。1970年，竹崎正道完成並發展了他的工作，創立了Tomita-Takesaki模理論。
富田稔和竹崎正道用馮·諾伊曼代數M上一個弱連續的忠實正規態生成模算子，構造出M的單參數模自同構群，並用量子統計力學中的KMS （Kubo-Martin-Schwinger）熱平衡條件加以刻劃，這種聯係被稱為 “物理學與數學之間 ‘穩定的和諧’的美麗例?”。他們將默裏和馮·諾伊曼關於I型或II型因子的結果推廣到一般的馮·諾伊曼代數，證明了具有標準形式的馮·諾伊曼代數與它的交換子反自同構。Tomita-Takesaki模理論為諸如III型因子等以前難以處理的問題給出了良好的結構理論，而III 型馮·諾伊曼代數在代數量子場論中具有十分重要的意義，因此使得算子代數產生了革命性的變化。
1972年，法國數學家阿蘭·孔涅（Alain Connes，1947-）在博士論文中仔細研究了Tomita-Takesaki模理論的結構，證明了非交換的Radon-Nikodym定理，對於III型因子做了進一步分類。給定因子M，Connes 譜 S(M) 定義為由M的全體忠實正規態生成的模算子的譜的交集，這裏S(M) 是一個同構不變量。科納證明了M是III型的充分必要條件是0∈S(M)，對於0 ≤ λ ≤1，M還可細分為IIIλ型。當0 < λ <1 時，S(M) 由0和 λ的所有整數冪構成； λ = 0時，S(M) = {0, 1}；λ = 1時，S(M) = [0, ∞)。對於0 ≤ λ <1，孔涅將M表示為一個II∞型因子N與整數集在作用θ下的交叉積（crossed product）。這裏θ是N上的自同構並且由M唯一確定，因此M的分類可轉化為 (N, θ) 的分類，竹崎正道將這一結果推廣到λ = 1 的情形。
隨後，孔涅又進一步證明了II∞ 型超有限因子的唯一性並對其自同構群進行分類。在此基礎上，他對於0 ≤ λ <1得到了IIIλ型超有限因子的完全分類，這一結果被認為是20世紀數學的一個巨大成就。孔涅於1976年證明了：對於0 < λ< 1，在同構意義下存在唯一的IIIλ型因子，恰好是Powers因子Rλ。另外， III0型超有限因子就是Krieger因子，存在不可數無窮多個互不同構的這類因子，對應於遍曆理論中的權重流（flows of weights）。孔涅把算子代數與數學的各個主流分支聯係起來，他發展和使用的方法成為量子統計力學等領域中的重要工具，並且開創了非交換幾何這一新的數學分支。由於其傑出貢獻，孔涅在1982年（推遲至1983年舉辦）華沙IMC上獲得菲爾茲獎。
馮·諾伊曼代數的發展和應用
馮·諾伊曼代數在數學和理論物理學中得到廣泛認可和應用，吸引了許多當時年輕的一流數學家加盟。1979年，新西蘭裔美國數學家沃恩·瓊斯（Vaughan Jones，1952–2020）在博士論文中利用交叉積對於II1型因子上有限群作用進行分類。後來他將這一想法用到II1型因子M的子因子N上，創建了馮·諾伊曼代數的伽羅瓦理論。假設M作用在Hilbert空間H上，dimM H是默裏和馮·諾伊曼意義下H的M-維數，瓊斯定義N在M中的Jones指標 [N : M ] 為 dimN H / dimM H。他證明了著名的“瓊斯指標定理”，即 [N : M ] 的值可取謎一般的數字 4cos2 (π /p)，p = 3, 4, 5, …… 或者任何不小於4的實數。在證明這一定理的過程中，他構造了被稱為“Jones塔”的子因子嵌套序列。
不久後瓊斯發現他的指標定理為紐結理論中的辮群（Braid group）提供了意想不到的表示，由此引出一個新的紐結拓撲不變量——“Jones多項式”。這類多項式被用於區分不同類型的紐結和鏈接，解決了紐結理論中一係列多年的難題。瓊斯指標定理以令人眼花繚亂的方式將數學和物理學聯係在一起，在統計力學、量子群和李代數表示、共形量子場論、代數量子場論等不同領域均產生了重大影響。美國數學物理學家愛德華·威滕（Edward Witten，1951-）將Jones多項式用Chern-Simons三維拓撲量子場論的Feynman積分來解釋，並從這個三維拓撲量子場論進一步得到了三維流形的量子不變量，形成了一個連接量子力學和低維拓撲的新的數學分支——“量子拓撲”。在1990年京都IMC上，瓊斯和威滕同時獲得菲爾茲獎。圖為孔涅（左）和瓊斯，1983年攝於京都。
羅馬尼亞裔美國數學家丹-維吉爾·沃庫列斯庫（Dan-Virgil Voiculescu，1949-）和索林·波帕（Sorin Popa，1953-）是一對師徒，在幾十年的研究生涯中先後解決了馮·諾伊曼代數中的一些重大問題。沃庫列斯庫將研究非交換隨機變量的數學理論——自由概率論引入算子代數領域，目的之一是構建馮·諾伊曼代數新的不變量。波帕證明了瓊斯理論中關於具有有限Jones指標的子因子的幾個深刻而基本的結果，他還利用變形和剛性研究馮·諾伊曼代數上的群作用，徹底改變了馮·諾伊曼代數中與遍曆理論密切相關的部分。庫列斯庫和波帕分別在1994年蘇黎世ICM和2006年馬德裏ICM上作了一小時大會報告。
1970年代初，丹麥數學家烏菲·哈格魯普（Uffe Haagerup，1949–2015）在他的碩士論文中推廣了Tomita-Takesaki模理論。1980-90年代，哈格魯普解決了兩位菲爾茲獎得主提出的公開問題。一個是孔涅遺留的III1 型超有限因子的分類問題，哈格魯普證明了這類因子的唯一性，從而完成了III型超有限因子的分類。另一個是瓊斯提出的關於II1型超有限因子的不可約子因子Jones指標的估計，哈格魯普給出了十分優美的答複，證明了 (5 +√13) /2是大於4的Jones指標的最小值。他對於沃庫列斯庫研究的自由概率論和隨機矩陣也做出了重要貢獻，將其用於與馮·諾伊曼代數有關的不變子空間存在性等問題，哈格魯普在2002年北京ICM上作了一小時大會報告。
馮·諾伊曼將一生中最有創造力的歲月全部奉獻給純數學研究，他在1947年撰寫的一篇文章《數學家》中，指出數學的發展是人類心靈的自由創造，而數學最重要的特征是與自然科學的特殊關係。馮·諾伊曼在文中寫道：“當一門數學學科遠離其經驗來源，或者更甚，如果是第二代或第三代，隻是間接地受到來自‘現實’的啟發，就會麵臨非常嚴重的危險。它變得越來越純粹審美化、為藝術而藝術……無論如何，每當達到這個階段時，在我看來，唯一的補救措施就是回歸本源，恢複活力，重新注入或多或少直接的經驗想法。我相信這是保持學科新鮮度和活力的必要條件，在未來同樣如此。”半個多世紀以來算子代數理論激動人心的發展，完美詮釋了馮·諾伊曼的這一真知灼見。圖為馮·諾伊曼在普林斯頓的墓地。
【注】本文刊登於《數學文化》期刊。日前公布的2023年諾貝爾物理學獎得主之一、匈牙利裔科學家克勞斯·費倫茨（Krausz Ferenc）是馮·諾伊曼的校友，他曾在羅蘭大學學習理論物理，在布達佩斯科技經濟大學學習電氣工程。
