智者的共鳴——波蘭數學大師斯坦因豪斯與巴拿赫（上）

四十多年前在大三課堂上，筆者學到了泛函分析的基本定理之一“共鳴定理”。定理的內容是：對於一族從一個Banach空間 (即完備的賦範向量空間) X到另一個Banach空間Y的有界線性算子，如果算子族將X中的每一個點映照成Y中的有界集，則這族算子的範數是有界的。簡言之，從算子族的局部有界性可推出一致有界性，因此這一定理也稱為線性算子的“一致有界性定理”。按照數學慣例，共鳴定理還根據其提出和證明者命名為“Banach-Steinhaus定理”，因此“共鳴”在這裏具有雙重含義，既是線性算子之間的共鳴，也是兩位數學家之間的共鳴。

胡戈·斯坦因豪斯 (Hugo Steinhaus，1887-1972，左) 和斯特凡·巴拿赫 (Stefan Banach，1892-1945，右) 是20世紀上半葉兩位波蘭國寶級數學家，斯坦因豪斯在泛函分析、數理邏輯、幾何和三角學、概率論和博弈論等諸多數學領域做出了貢獻，巴拿赫是 20 世紀世界上最重要和最有影響力的數學家及現代泛函分析學科的創始人之一。斯坦因豪斯是巴拿赫的老師，雖然他隻比巴拿赫年長五歲。斯坦因豪斯將巴拿赫視為自己人生和數學的最大“發現”，兩人攜手創立了波蘭兩大數學陣營之一的利沃夫學派，他們保持終身的合作和友誼在數學史上留下一段不朽的佳話。

不期而遇

1900年隨著新世紀的開始，世界數學進入空前興旺發達的時期，公理化運動為數學研究大廈奠定了基石。隨著波蘭民族的獨立複國，波蘭數學也進入了蓬勃發展的時代，雅尼斯察夫斯基 (Zygmunt Janiszewski) 、謝爾賓斯基 (Waclaw Sierpinski)、斯坦因豪斯等人是這一時期的傑出代表。1918年，雅尼斯察夫斯基發表了綱領性文件《波蘭需要數學》，希望波蘭數學能夠獲得獨立的世界地位，並與謝爾賓斯基一起創立了華沙學派。他們的研究領域主要集中在數學基礎、集合論和點集拓撲等數學最核心的內容上，1920年國際性的數學雜誌《數學基礎》 (Fundamenta Mathematicae) 在華沙問世。

1887 年 1 月 14 日，斯坦因豪斯出生在波蘭東南部亞斯沃 (Jas?o) 的一個猶太家庭，當時屬於奧匈帝國，他的父親是當地的實業家和商人。1905 年斯坦因豪斯高中畢業後，家人希望他成為一名工程師。然而斯坦因豪斯卻被抽象數學吸引，開始自學當代著名數學家的著作，並進入倫貝格大學學習哲學和數學。1906 年，他轉學到當時的數學聖地德國哥廷根大學，師從多位大數學家，成為希爾伯特 (David Hilbert) 的及門弟子，五年之後以題為《Dirichlet 原理新的應用》獲得博士學位。第一次世界大戰開始後，斯坦因豪斯回到波蘭從軍擔任文員，之後前往克拉科夫工作。

1892 年 3 月 30 日，巴拿赫出生在波蘭舊都克拉科夫，是一個奧匈帝國軍隊士兵和一個年輕女傭的非婚生子，他繼承了父親的名字卻跟隨母姓，在寄養家庭中長大。盡管巴拿赫從小得到悉心照料，但他從未見過生母，與父親的關係也不親密。巴拿赫十歲進入克拉科夫一所中學讀書，表現出驚人的語言能力和數學天賦，他與中學時代的同窗好友威爾科斯 (Witold Wilkosz) 的課餘大部分時間都在研究數學問題。高中畢業後，巴拿赫和威爾科斯都認為數學已經如此先進，不值得繼續學習數學。多年之後，當巴拿赫已經是一位成熟的數學家時，他承認自己年輕時的想法是錯誤的。

1911-1913年間，巴拿赫進入利沃夫理工學院學習工科，威爾科斯則在克拉科夫的雅蓋隆大學 (Jagiellonian University) 攻讀語言學，兩年後改學數學並於1918年獲得博士學位，後來成為一位數學家、物理學家和哲學家。一戰期間，巴拿赫因左眼視力不佳而免服兵役，回到克拉科夫半工半讀。雖然他當時沒有參加任何正規學習，但巴拿赫對於數學依舊充滿激情，定期參加雅蓋隆大學組織的波蘭著名數學家講座。巴拿赫還經常與威爾科斯和尼科迪姆 (O. Nikodym) 一起讀書和討論。尼科迪姆於1925年獲得華沙大學數學博士學位，1930年代因測度論中的Radon-Nikodym定理聞名。

時間來到1916年夏天，斯坦因豪斯與巴拿赫在克拉科夫的普蘭蒂公園 (Planty Park) 不期而遇。根據斯坦因豪斯本人的回憶，一個夏夜他在公園散步時，偶然聽到“勒貝格積分”這個詞。這是20世紀初法國數學家勒貝格 (H. Lebesgue) 等人引入的一個現代數學概念，當時還是鮮為人知的 “內部” 術語。斯坦因豪斯好奇地走到一條長椅旁，發現正在交談的巴拿赫與尼科迪姆。他邀請兩位年輕人到自己家中，定期討論數學問題。不久巴拿赫與斯坦因豪斯完成了第一篇合作文章《關於傅裏葉級數的平均收斂性》，兩年後發表。在斯坦因豪斯的提議下創辦了一個非正式的克拉科夫數學協會，1919年演變為波蘭數學會，巴拿赫與尼科迪姆出席了成立會議，圖為克拉科夫普蘭蒂公園中尼科迪姆 (左) 與巴拿赫 (右) 的雕塑。

成功之路

利沃夫於1256年建城，曆史上曾經屬於波蘭-立陶宛聯邦、奧匈帝國、波蘭、蘇聯等不同國家，現在是烏克蘭的城市，奧匈帝國期間利沃夫改名為倫貝格 (Lemberg)。需要說明的是，由於利沃夫複雜的曆史，因此英文是Lviv、波蘭文是Lwów、烏克蘭文的拉丁化是Lvov。1661年，當時的波蘭國王和立陶宛大公揚·卡齊米日二世 (Jan II Kazimierz) 創立了利沃夫大學，1772-1918年間的名稱是倫貝格大學，1920-1939年波蘭第二共和國期間則改為揚·卡齊米日大學，以紀念的大學創始人。1908-1914年間，謝爾賓斯基曾在倫貝格大學教書，撰寫了三本著作及多篇論文，吸引了包括雅尼斯察夫斯基在內的多位波蘭青年數學家，然而這一新生的數學圈卻在第一次世界大戰的戰火中夭折了。

1917 年斯坦因豪斯應聘到倫貝格大學任教，同年與斯蒂芬妮婭·施茂斯 (Stefania Schmaus) 結婚。在哥廷根受過教育的斯坦因豪斯是新時代數學家的代表，他的論文《加法和連續泛函運算》發表在1919年德國《數學雜誌》 (Mathematische Zeitschrift) 上，被認為是波蘭第一篇關於泛函分析的論文。1920年斯坦因豪斯獲得Habilitation “特許教授任職資格” ，1923年成為正教授。他在大學開設了勒貝格積分課程，成為最早在法國境外開設這門課程的數學家之一，還多次前往巴黎、哥廷根和博洛尼亞進行學術訪問，在一戰的瓦礫上重建了利沃夫的數學社區。

就在這樣的曆史節點，斯坦因豪斯將巴拿赫引入數學界。 1919年巴拿赫被聘為利沃夫理工學院數學教授隆尼基 (A. Lomnicki) 的助理，開始接受正規的數學訓練，利沃夫也成為日後斯坦因豪斯與巴拿赫合作的主場。巴拿赫最早的研究課題是關於三角級數和函數方程，他在《關於函數方程》一文中推廣了柯西 (A.-L. Cauchy) 關於可加函數的一個結果，發表在1920年的《數學基礎》第一卷上，英年早逝的雅尼斯察夫斯基的訃告也刊登在同一卷。這些早期工作為巴拿赫的進一步研究鋪平了道路，他力圖尋找一種方式，將各種具體的函數空間統一起來，迅速展示了出色的才華。

巴拿赫喜歡在酒吧裏與同好談論數學，卻並不十分熱衷於寫下來發表。在斯坦因豪斯的催促下，一群學者決定協助巴拿赫完成博士論文。一位助理每天在咖啡館、酒吧甚至火車站的啤酒廳陪伴巴拿赫，隨手記錄下他的陳述。巴拿赫從未獲得大學文憑，對於博士學位也不感興趣，但從不拒絕與人討論數學。他以這種非傳統的方式通過了論文答辯，1920年成為斯坦因豪斯的第一位博士。1920年9 月 19 日，巴拿赫與露西亞·布勞斯 (?ucja Braus) 結婚。新娘曾是斯坦因豪斯擔任律師和議員的堂兄的秘書，兩人就是在斯坦因豪斯家中相識的。

巴拿赫的博士論文《抽象集合中的運算及其在積分方程中的應用》是在自己參與整理的筆記基礎上完成的，兩年後發表在《數學基礎》第三卷上。這篇論文中給出了完備賦範線性空間的公理化定義，成為泛函分析學科形成的標誌之一。在博士論文中，巴拿赫還證明了許多重要定理，其中之一是度量空間上的Banach不動點定理——又稱為壓縮映射原理。完備賦範線性空間最初被斯坦因豪斯命名為 (B) 型空間，在巴拿赫的博士論文及後來的著作中都使用這個名字，第一次將其稱為Banach空間的是1929年法國數學家弗雷歇 (M. Fréchet) 。

1922年巴拿赫獲得Habilitation資格，並於當年7月22日成為利沃夫理工學院教授，迄今已逾百年，為此穀歌於2022年7月22日發布了塗鴉紀念。巴拿赫於1924年當選為波蘭藝術和科學院院士，1927成為揚·卡齊米日大學正式教授。在當時波蘭傳統保守的學術圈內，巴拿赫是一個另類。例如他很少按照對教授的要求著正裝 (大概除拍照以外)，而是穿短袖襯衫上街，喜歡美國西部牛仔電影，經常參加平民足球比賽。也許這與他的出身有關，但可能隻是個巧合。對於巴拿赫來說，數學是世界上最重要的東西，是他唯一的真愛。巴拿赫是一位真正的藝術家，數學是他的藝術作品。他通過談話、演講和討論創造了這些作品，他認為撰寫論文隻不過是對於創造性行為的無聊補充。

咖啡時光

1927年9月，第一屆波蘭數學大會在利沃夫成功舉辦。在斯坦因豪斯和巴拿赫的帶領下，一個新的數學中心——利沃夫學派應運而生。受到華沙學派《數學基礎》 的啟發，1929 年斯坦因豪斯和巴拿赫一起創辦了《數學研究》 (Studia Mathematica) 。這份新期刊側重於泛函分析、概率論及其相關領域，以別於《數學基礎》。1931年，兩人又參與創辦了係列叢書《數學專著》 (Monografie Matematyczne)。作為泛函分析的領軍人物，巴拿赫身邊聚集了多位年輕的傑出人才。1929-1940年間，《數學研究》上近70%的文章的均出自利沃夫數學家之手。

利沃夫的數學家還包括卡茨馬茲 (S. Kaczmarz) 、庫拉托夫斯基 (K. Krakowski，後排左一)、薩克斯 (S. Saks)、肖德爾 (J. Schauder)、奧爾巴赫 (H. Auerbach)、奧裏奇 (W. Orlicz)、馬祖爾 (S. Mazur)、烏拉姆 (S. Ulam)、卡茨 (M. Kac) 等人，最多的時候同時達二十多位，這些名字和他們的成果在現代數學雜誌和教科書中會常常讀到。利沃夫的數學家們在波蘭國內及國際數學圈均十分活躍，與其他數學中心特別是以謝爾賓斯基為首的華沙學派建立了密切合作和聯係。曾經來訪的國外著名數學家包括策梅洛 (E. Zermelo，前排中)、勒貝格、博雷爾 (É. Borel)、馮·諾依曼 (J. von Neumann) 等，圖中前排左一是斯坦因豪斯、後排左三是巴拿赫。

利沃夫數學家最重要的文化和社交生活是在大學附近蘇格蘭咖啡館的聚會，這一直是巴拿赫的最愛，現場的音樂和喧囂似乎能極大地激發他的靈感。每位數學家都是具有特定天賦以及個人興趣和觀點的人，他們常常連續數小時靜坐思考，然後進行熱烈討論，咖啡館成為爆發數學思想火花的地方。數學家們將靈光閃現的想法隨手寫在咖啡館的大理石桌麵上，巴拿赫、馬祖爾和烏拉姆的桌子是最重要的那一張。對於經常光顧蘇格蘭咖啡館的數學家來說，他們所從事的似乎不是工作，而是樂趣。烏拉姆回憶，對於外人來說，他們可能看起來很瘋狂，但這就是許多數學定理的產生方式。

蘇格蘭咖啡館的獨特氛圍也深深吸引了各國來訪者，馮·諾依曼曾兩次造訪利沃夫，他與巴拿赫一樣，以酒量好著稱。有一次數學家們用烈性伏特加將他灌得酩酊大醉，但絲毫沒有影響他的推理能力。勒貝格的測度和積分對利沃夫學派產生了重要影響，同時也在利沃夫獲得最引人注目和富有成果的應用。1938年他被揚·卡齊米日大學授予名譽博士學位，儀式之後數學家們在蘇格蘭咖啡館舉辦了一個小型宴會。匈牙利數學家瑞伊 (A. Rényi) 有一句名言： “數學家是把咖啡轉換成定理的機器” ，而正宗的蘇格蘭咖啡是用蘇格蘭威斯忌與咖啡調和而成。這樣說來，泛函分析就是美酒加咖啡的傑作，蘇格蘭咖啡館也因此成為數學史上最具傳奇性的咖啡館。

由於咖啡館的清潔工每天都要擦洗桌麵，丟失了不知多少原創的數學想法。一次為了證明Banach空間的一個重要定理，數學家們連續討論了17個小時，卻沒有留下任何記錄。後來巴拿赫的妻子露西亞買來一個大筆記本，供數學家們寫下問題和答案，著名的《蘇格蘭書》 (Scottish Book) 就這樣誕生了。書中共有198個問題，主要用波蘭語撰寫，也有德語、俄語、法語和英語的問題。其中140多個問題屬於利沃夫數學家，許多來訪的波蘭和國外著名數學家也為該書做出了貢獻。《蘇格蘭書》的第一個問題是巴拿赫在1935 年 7 月 17 日寫下的，1941年5 月 31 日斯坦因豪斯寫下了最後一個問題。

利沃夫學派將來自完全不同社會階層的人們聚集在一起，以其中最知名的四位為例：斯坦因豪斯來自一個富有的猶太家庭，巴拿赫是一個出身貧苦的非婚生子，烏拉姆多半會成為一個繁榮的家庭律師事務所的繼承人，而馬祖爾注定要經營家庭糕點店。 如果不是因為數學，他們不會相遇，也不會創建一個被世界各地百科全書所記載的學派。利沃夫學派在全球範圍內的綜合成就是這些天才數學家獨自在“象牙塔”中工作的結果，他們的個人貢獻是無價的，巴拿赫的工作方式、特有的科學直覺、率真和寬容的性格無疑是這個象牙塔的靈魂。數學家們真正在一起工作，也許就是使奇跡成為可能的原因。左：1935年左右的馬祖爾和烏拉姆，右：利沃夫的蘇格蘭咖啡館。（未完待續）

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