春後雨前的博客

蘭若生春夏，芊蔚何青青。秋漁蔭密樹，夜博然明燈。

首頁文章列表博文目錄

個人資料

春後雨前SE

給我悄悄話

博客訪問：

維也納學派中的數學家們（下）

(2023-03-13 07:35:55) 下一個

【續前】維也納學派中的數學家們（上）
https://blog.wenxuecity.com/myblog/78059/202303/5383.html

哥德爾和不完備性定理

庫爾特·哥德爾（Kurt Gödel，1906-1978）是哈恩最著名的學生，與被低估的導師哈恩、師兄門格爾不同，哥德爾是維也納學派中最富盛名的數學家和哲學家。哥德爾出生於奧匈帝國的布爾諾（Brünn，今屬捷克），自幼體弱多病，他小時候因其永不滿足的好奇心獲昵稱“為什麽先生”（Der Herr Warum），高中時期就已經掌握了大學數學。1923 年哥德爾進入維也納大學，開始學習理論物理，但對於精確性的追求使他轉向數學。1926年左右，在哈恩的引導下，哥德爾參加了維也納學派的活動，但他與邏輯實證主義的見解並不相同。在石裏克主持的關於羅素《數學哲學導論》的討論會上，哥德爾對數理邏輯產生了極大興趣，之後跟隨哈恩攻讀博士學位。

1920年代，大衛·希爾伯特（David Hilbert）提出了一項影響深遠的數學研究計劃——“希爾伯特綱領”。他建議將所有現有理論建立在一組有限的、完整的公理之上，並提供這些公理是一致的證明，希望以此一勞永逸地解決所有數學基礎問題。哥德爾通過維也納學派的活動了解到希爾伯特綱領，參加了希爾伯特在博洛尼亞的一場講座，並將其作為自己博士研究的選題。他於1929年完成了博士論文《關於邏輯演算的完備性》，指出一階謂詞演算中所有邏輯上有效的公式都是可以證明的。1931年經哈恩推薦，哥德爾的劃時代論文《論數學原理及相關係統的形式上不可判定定理》正式發表。門格爾也是哥德爾的大學老師，論文中著名的不完備性定理最早就是在維也納研討會上宣布。

哥德爾在這篇論文中的主要結果是：1. 任何自洽的形式係統，隻要蘊涵皮亞諾算術公理，就可以構造在係統中不能被證明的真命題，因此通過推理演繹不能得到所有真命題（即係統是不完備的）。2. 任何邏輯自洽的形式係統，隻要蘊涵皮亞諾算術公理，就不能用於證明其本身的自洽性。他證明了在任何數學公理係統中自洽性和完備性都是不相容的，從而結束了人們一個世紀以來將整個數學大廈建立在公理化基礎上的嚐試。哥德爾不完備性定理是 20 世紀數學的一個裏程碑和轉折點，它表明數學並不是像人們想象的那樣完美，也意味著計算機永遠不可能用編程來回答所有數學問題，從而撼動了當時被希爾伯特認為完美的數學王國。

1932年，哥德爾獲得Habilitation “特許任教資格”，第二年開始成為維也納大學的無薪講師，講授過《算術基礎》《數理邏輯》《公理集合論》等課程。1933-1938年間，他曾三次訪問美國，在普林斯頓高等研究院（IAS）從事客座研究。1936年6月，石裏克被刺身亡，引發了哥德爾嚴重的精神疾病，因此不得不在療養院度過數月。1938年春季學期，門格爾曾安排哥德爾訪問聖母大學，但未能說服他接受那裏的職位。隨著1938年3月德國吞並奧地利，1939年9月二戰爆發，哥德爾麵臨失去工作、被征兵等種種困境。他偕同新婚不久的妻子，於1940年再次來到普林斯頓，在IAS獲得一個職位，1946 年成為IAS的永久成員，1953 年成為正教授。圖為哥德爾及其在維也納最後的住址。

盡管存在健康問題，哥德爾在1930年代後期的研究工作仍然進展順利。1938年秋天，他在普林斯頓完成了另一篇經典之作《選擇公理和廣義連續統假設與集合論公理的一致性》。在1900年巴黎國際數學家大會上，希爾伯特提出了20世紀有待解決的23個重要數學問題，其中第一個問題是 “連續統假設是否成立”。哥德爾用內模型法證明了連續統假設與ZFC的相對協調性，即連續統假設不能在ZFC係統中被證偽。1963年，美國數學家保羅·科恩（Paul Cohen）用力迫法證明了連續統假設不能在ZFC係統中被證明，即連續統假設獨立於ZFC係統。順便說一下， “希爾伯特的23個問題”與 “希爾伯特綱領”是兩個不同的概念，後人常有混淆。

在普林斯頓，哥德爾找到了安心做學問的避難所，獲得了廣泛追求學術興趣的充分自由。哥德爾第一次訪問普林斯頓時就結識了愛因斯坦，相見恨晚，成為忘年之交。愛因斯坦晚年時曾說過：“我來上班就是為了能有同哥德爾一起散步回家的榮幸” ，兩人的午後散步是普林斯頓的一道風景。從1943年開始，哥德爾的主要精力從數理邏輯轉向哲學研究。1949年他還客串了一把相對論，發現了愛因斯坦場方程的一個精確解，被稱為 “哥德爾度量”或 “哥德爾宇宙”。這是一個宇宙學常數為負數的旋轉宇宙模型，其中存在封閉的類時曲線，在理論上讓時光倒流成為可能。哥德爾認為時間和變化不是客觀實在的， “有許多聯係，今天的科學和正統的智慧對之一無所知”。

哥德爾信奉柏拉圖主義，將數學視為他所鍾愛的哲學的最後堡壘。1952年哈佛大學授予哥德爾名譽博士學位，稱他是“本世紀最有意義的數學真理的發現者”。1970年代初期，著名美籍華裔數理邏輯學家王浩曾與哥德爾大量討論哲學，王浩這樣描述哥德爾：“在他的手裏，數學和哲學意蘊豐富，優美異常，且無半點門戶怨氣。在意見相左的思想圈子中，他享受如此的尊重，為當世所少見。世人相爭相鬥，樂此不疲，他卻超然於競爭之外。他的著作，對當代邏輯的所有分支來說，都是基礎和生命力。在哲學中，情形卻相反，他大量的著述還未發表，對他的觀點也是眾說紛紜，莫衷一是。……人們耳熟能詳的，隻是他對自己的數學哲學簡略的勾畫。”圖為哥德爾和愛因斯坦在普林斯頓。

其他幾位數學家

理查德·馮·米塞斯（Richard von Mises，1883-1953）出生於奧匈帝國倫貝格（今為烏克蘭的利沃夫）的一個猶太家庭，本科在維也納科技大學學習數學、物理和工程學。1907年馮·米塞斯獲得維也納大學力學博士學位。馮·米塞斯先後擔任斯特拉斯堡大學、德累斯頓科技大學、柏林大學教授，1944 年起任哈佛大學空氣動力學和應用數學講席教授。馮·米塞斯的主要研究領域包括力學、航空學、統計學和概率論，他發展了應力的畸變能量理論，獨立製定了塑性理論的馮·米塞斯屈服準則，最早提出概率論中的“生日問題”，還定義了賭博係統的不可能性。

在數學力學工作之外，馮·米塞斯也追隨馬赫的腳步，對科學哲學做出了重要貢獻。他於1939年出版了哲學著作《實證主義：人類理解的研究》，副標題為 “科學的目標和態度如何應用於人類的所有智力活動——無論是科學、藝術或是倫理學。” 他認為實證主義並不聲稱所有的問題都可以得到合理的回答，正如醫學並不以所有疾病都可以治愈為前提，或者物理學並不以所有現象都是可以解釋的假設為出發點一樣，然而僅僅由於某些問題可能沒有答案並不足以成為不尋找答案或不使用可獲得的答案的充分理由。馮·米塞斯的著述現在已經基本被遺忘，但他的總體觀點仍然存在。

庫爾特·雷德邁斯特（Kurt Reidemeister，1893–1971）從 1912 年起先後在弗萊堡、慕尼黑、馬爾堡和哥廷根大學學習，1920年獲數學、哲學、物理、化學、地質學的中學教師任教資格，1921 年以代數數論的論文獲得漢堡大學博士學位。經哈恩推薦，1923年雷德邁斯特被維也納大學聘用，並加入維也納學派。在他的帶領下，維也納數學家團隊用了一年時間研究維特根斯坦的《邏輯哲學論》中關於邏輯和數學的深刻思想。雷德邁斯特先後在柯尼斯堡、馬爾堡、哥廷根大學擔任教授，他的主要研究興趣是組合群論、組合拓撲、幾何群論和幾何基礎，撰寫了關於紐結理論的重要著作《紐結和群》、《紐結理論》，以及哲學著作《希臘人的確切想法》。

亞伯拉罕·沃爾德（Abraham Wald，1902-1950）出生在匈牙利的一個猶太知識分子家庭，畢業於費迪南一世國王大學。他於1927年進入維也納大學研究生院，在門格爾的指導下撰寫了題為《關於希爾伯特公理係統》的博士論文，1931年獲得博士學位。1930年代，沃爾德擔任奧地利著名經濟學家卡爾·施萊辛格（Karl Schlesinger）的數學老師，是門格爾研討會的積極參與者。他發表了多篇幾何學及經濟學的論文，還為研討會撰寫了一部關於時間序列中季節性變化的專著。1938年，沃爾德應邀前往美國進行計量經濟學研究，是統計序列分析領域的開創者。二戰期間，沃爾德為美國海軍服務，提出了 “幸存者偏差”的概念，1950年與妻子在飛機失事中雙雙遇難。

奧爾加·陶斯基-托德（Olga Taussky-Todd，1906-1995）出生於奧匈帝國時期捷克奧洛莫茨的一個猶太家庭，1925 年進入維也納大學學習數學，哈恩和門格爾是她的老師，哥德爾是她的同學。陶斯基專攻代數數域理論，於1930年獲得博士學位。她在讀書期間參加了維也納學派的活動，與哈恩-紐拉特、羅斯·蘭德（Rose Rand）一樣，是最早加入維也納學派的女性之一。從維也納大學畢業後，陶斯基受聘哥廷根大學，參與編輯希爾伯特數論全集第一卷，還擔任過埃米·諾特（Emmy Noether）和理查德·庫朗（Richard Courant）的助理。她後來移居英國，又與丈夫——愛爾蘭數學家傑克·托德（Jack Todd）一起移民美國，先後在國家標準局和加州理工學院工作。

古斯塔夫·伯格曼（Gustav Bergmann，1906-1987）在維也納大學攻讀數學、輔修哲學，從事多維微分幾何的研究，1928年獲得博士學位。伯格曼在讀博期間，與他的高中同學哥德爾一起，成為維也納學派最年輕的成員。1938 年秋天，伯格曼移居美國，定居愛荷華。在乘船穿越大西洋的時候，伯格曼應紐拉特的要求撰寫了一本專著《維也納學派的回憶：致奧圖·紐拉特的信（1938 年）》。1940年後期，伯格曼開始了後來成為他最重要的工作——形而上學、邏輯哲學和心靈哲學的研究，他堅持認為邏輯實證主義本身也包括一種隱含的形而上學。伯格曼在心理學和物理學哲學，以及邏輯和概率論方麵發表了大量論文及著作，後來成為愛荷華大學哲學和心理學教授。

在非理性主義蔓延的時代，維也納學派的創造是獻給世界的禮物，也是對所處艱難時世的反應。雖然早期邏輯實證主義不再是活躍的研究領域，但他們的思想已融入現代科學哲學，成為我們今天享有的社會繁榮和進步的基礎。對於文中提到的幾位數學家來說，哲學隻是其科學成果的一部分，他們在各自的數學領域均做出了傑出貢獻。筆者讀大學時初次接觸哥德爾不完備性定理以及哈恩參與證明的泛函分析基本定理，在很大程度上顛覆了以往的認知。去年初夏筆者來到維也納，專門走訪了文藝複興風格的大學主樓和當年維也納學派成員舉辦研討會的玻爾茲曼街5號。40多年之後來到這些不朽思想的發源地，敬仰之情油然而生，特撰寫這篇小文向先哲致敬！