春後雨前的博客
蘭若生春夏，芊蔚何青青。秋漁蔭密樹，夜博然明燈。
概率論的主要研究對象是隨機現象或不確定性及其數量規律，其起源可追溯到歐洲文藝複興時期，幾百年來概率論已經從最初研究賭博中的問題發展成為現代數學的主流分支之一。在其蓬勃發展的 20 世紀二、三十年代，瑞典著名數學家哈拉爾德·克拉梅爾（Harald Cramér, 1893-1985）在概率論、數理統計、保險精算數學等領域均作出了卓越貢獻，被譽為現代概率統計學的開拓者和奠基人之一。從 1912 至 1982 年，克拉梅爾的學術生涯長達 70 年，多個猜想、定理和不等式均以他的名字命名，他一生中撰寫了四本英文專著，還撰寫了 110 篇英、法、德等文字及 38 篇瑞典文的學術論文和報告。筆者參考了克拉梅爾本人的回憶錄《半個世紀的概率論》以及他的學生和後繼者的多篇回憶文章寫成此文，以饗讀者。
克拉梅爾於 1893 年 9 月 25 日在瑞典首都斯德哥爾摩出生，一生中大部分 時間都在那裏度過。他在第一次世界大戰開始前的 1912 年進入斯德哥爾摩大學（當時稱為高專），同時學習數學和生物化學。在學習期間，克拉梅爾擔任著名化學家Hans von Euler-Chelpin，1913–1914 年間他與Euler-Chelpin在生物化學領域聯名發表了一生中最早的五篇論文。這位Euler-Chelpin也是一位了不得的人物，他是數學大神歐拉（Leonhard Euler）的第六代嫡孫，他本人獲得了 1929 年諾貝爾化學獎，他的兒子Ulf von Euler獲得了 1970 年諾貝爾醫學獎。如果克拉梅爾繼續跟隨Euler-Chelpin學習和研究生物化學，前途也是無可限量的。
後來克拉梅爾發現數學才是自己真正的興趣所在，當時“瑞典數學之父”Gösta Mittag-Leffler帶領斯德哥爾摩大學一群年輕有為的數學家在數學研究領域非常活躍，在其影響下克拉梅爾成為Marcel Riesz的一名博士生。Riesz是一位年輕有才華的匈牙利數學家，1908 年應Mittag-Leffler之邀來到斯德哥爾摩工作，他在位勢理論、解析數論、偏微分方程、泛函分析和克利福德代數等領域都做出了重要貢獻，他的哥哥弗裏Frigyes Riesz是泛函分析學科的創立者之一。克拉梅爾在Riesz的指導下受到了嚴格的數學訓練，並開始學習剛剛建立不久的勒貝格測度和積分理論。
克拉梅爾在博士階段的研究領域是解析數論，從而熟悉了傅裏葉積分的技巧。這些訓練為他後來從事概率論的研究工作奠定了堅實的分析學基礎。1917 年克拉梅爾以題為《一類狄利克雷級數》（On a class of Dirichletseries）的論文通過了論文答辯並獲得斯德哥爾摩大學的數學博士學位。次年25 歲的克拉梅爾迎娶了他 “Beloved Marta”，兩人育有二子一女，攜手度過了長達 55 年同甘共苦、幸福美滿的家庭生活。克拉梅爾畢業後於 1919 年被斯德哥爾摩大學聘為助理教授，當年秋天著名英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy）訪問斯德哥爾摩大學，這次訪問對於克拉梅爾關於解析數論的研究意義重大。第二年夏天，克拉梅爾前往英國劍橋大學，在哈代指導下工作了一段時間。
幾年中克拉梅爾在解析數論領域發表了大約 20 篇論文，並在 1922 年的斯堪的納維亞數學家大會上演講。克拉梅爾的一篇重要論文是關於丟番圖方程素數解的研究結果，該問題是著名的哥德巴赫猜想和孿生素數猜想的推廣。在劍橋工作期間克拉梅爾還結識了比他年輕一歲並已初露鋒芒的美國數學家維納（Norbert Wiener），三年之後維納發表了題為《微分空間》的著名論文，在函數空間中引入了一個概率測度，從而建立了布朗運動的嚴密理論，這一隨機過程即為後來以他本人名字命名的維納過程。維納的這一工作比柯爾莫哥洛夫的劃時代基礎研究還要早幾年。順便提一下，1964 年維納訪問斯德哥爾摩，在皇家理工學院 KTH 演講時突發心髒病後卒於異鄉。
克拉梅爾在擔任助理教授的同時，還在瑞典一家著名的保險公司兼職精算師工作，後來還擔任一個擁有 25 名員工的部門主管，數學教授在保險公司兼職及雇傭年輕的數學家是瑞典保險業的傳統。這一工作使得克拉梅爾接觸了一些概率問題並開始進行有關保險風險方麵數學問題的研究，而當時正處在這些問題的早期階段，嚴格的數學基礎和理論尚未成型。一個保險公司在一個時期內所承擔的個別風險如果被視為彼此獨立的，則其總和就與概率論中的“中心極限定理”產生密切聯係，這一術語是George Pólya在他 1920年的論文中首次提出的。Pólya是Riesz的匈牙利好友，經常訪問瑞典，因此克拉梅爾有機會與他交流合作。
另一方麵，風險事業也可看作一個隨時間變化並在每一瞬間隨機波動的經濟係統。1903 年，數學風險理論的奠基人之一Filip Lundberg在Uppsala大學完成了博士論文，研究了一類當所有待付的索賠總數中每筆都相同時形成的過程，這類係統可以說是最早的連續時間隨機過程的模型之一。1919 年克拉梅爾用瑞典文寫出了他的第一篇概率論論文，是Lundberg格過程的特例——泊鬆過程的一個簡短注記。然而，直到1920 年之前概率論仍被排除在主流數學之外。就連一些著名數學家都束手無策，比如龐加萊就曾歎道 ： “人們難以給出概率的一個滿意定義。”
1920 年代概率論曆史上發生了兩件大事 ：一件是法國數學家萊維（Paul Lévy）的專著《概率計算》於 1925 年問世，該書第一次嚐試用嚴格的數學方法對概率論進行係統描述。另一件是以年輕的蘇聯數學家欣欽（Aleksandr Khinchin）和柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）為代表的 “新俄羅斯學派”的興起，在他們特別是後者的一係列論文中，證明了如 “0–1 律”、獨立隨機變量和的不等式及重對數律等重要結果，這些結果為柯爾莫哥洛夫日後提出概率論的一般理論作出了充分準備。
對於克拉梅爾來說，1920 至 1929 年也是克拉梅爾積蓄能量、厚積薄發的十年。由於他所從事的保險業中風險問題的需要，克拉梅爾的研究興趣集中在中心極限定理及誤差估計。克拉梅爾也十分關注概率論的基礎理論，他在 1926 年的一篇論文中前瞻性地指出"概率論的概念應該通過純數學定義引入，其基本性質和經典定理應該通過純粹的數學運算來推導。" 能夠比柯爾莫哥洛夫的概率論公理化定義早七年提出這一觀點，對此頗為得意。左：黎斯，右：哈代。
克拉梅爾的研究興趣從解析數論轉向概率統計，還有一些人事上的因素。Stockholm大學的數理統計教授Rolf Sundberg在《Stockholm高專時期數理統計研究所的曆史》一文中摘錄了克拉梅爾本人1978年撰寫的《漫長生命的簡短回憶》中的若幹片段，Arild Stubhaug撰寫的Mittag-Leffler傳記中也提到此事。Mittag-Leffler在Scandinavia數學界和瑞典學術界都是很有權勢的人物，克拉梅爾對他的描述是"熱心好鬥、精力充沛"。1924年Stockholm大學數學教授Helgevon Koch去世，他的同事、克拉梅爾的博士導師Riesz毫無疑問是最具競爭力的後繼者人選，Riesz得到了係裏三位知名教授的推薦並即將獲得校方通過。
Mittag-Leffler當時已經77歲，對於他身後Stockholm大學數學係及以他的名字命名的研究所的後繼人考慮較多，因此可能對於教授人選施加了一些影響。Uppsala出身的TorstenCarleman最終得到這一職位，Riesz則轉移到瑞典南方的Lund大學作終身教授。Carleman是一位很強勢的數學家，1927年Mittag-Leffler去世後繼任研究所所長20年。同時Mittag-Leffler也與克拉梅爾產生了一些矛盾，認為克拉梅爾的一篇數論文章並非原創，並告知克拉梅爾不可能在北歐數學界得到位置。隨著Stockholm數學係的"改朝換代"，克拉梅爾作為一位初出茅廬的年輕數學家，不得不為自己的前途從長計議，他的這一想法得到以前的老師和朋友哈代大力支持。克拉梅爾在Stockholm的同事和朋友圈中，很多都是和他一樣從事保險業的年輕數學家，也對他的決定表示歡迎。
克拉梅爾說：“當純數學之門對我似乎將要關閉之時，我必須為自己開創一個新的科學未來”。而他在一個學科蓬勃發展的時刻加入，可以說是天賜良機，1927年克拉梅爾出版了瑞典文教科書《概率論及其應用》。瑞典保險業於1925年開始認真籌劃資助設立一個保險數學方向的教授位置，經過幾年時間關於這一位置的名稱、資金及所在大學的落實過程，1929年在Stockholm大學設立了瑞典曆史上第一個精算數學與數理統計的教授位置，克拉梅爾成為首任教授。克拉梅爾還回憶到，由於他的教授位置屬於數學係的編製，因此Carleman等人起初設置了重重障礙，他甚至都沒有一間自己的辦公室。但是克拉梅爾憑借出色的教學效果和科研成績、年輕同事的齊心協助、保險業的強大後盾，最終打開了局麵。幾年後他的研究所在Stockholm城北的Norrtullsgatan街16號擁有了辦公地點，贏得了良好聲譽。
1930年代是概率論發展的新紀元，被克拉梅爾稱為 “英雄時期”，20世紀初分析數學中測度論的發展為概率論的嚴格表述提供了關鍵性工具，從而使得概率論最終納入現代數學的範疇。柯爾莫哥洛夫在1933年出版的奠基性著作《概率論的基本概念》中首次為概率論建立了嚴格的公理化係統，從而解決了Hilbert第六問題的概率部分，標誌著概率論發展新紀元的開始。克拉梅爾擔任Stockholm大學教授之後，在他周圍聚集了一批事業心很強的優秀學生，他們興趣十足地注視著國外同行的新動向，並嚐試作出自己的貢獻，最初幾年他們主要繼續1920年代在極限定理和風險過程方麵的工作。
畢業於哥廷根大學的克羅地亞猶太裔數學家William Feller為逃避納粹德國的迫害，經克拉梅爾的好友Harald Bohr介紹，於1934年來到Stockholm加盟克拉梅爾團隊達五年之久。克拉梅爾曾作了極大的努力試圖幫助Feller在Stockholm大學謀得一個終身教職，但由於Carleman等人的反對沒有成功，因此成為克拉梅爾的一大憾事。1939年Feller去了美國，後來成為20世紀最偉大的概率學家之一。Feller在Stockholm期間還學會了瑞典語，克拉梅爾的學生Ulf Grenander後來在美國遇到Feller，就是和他用瑞典語交談。
在這一時期中，克拉梅爾、Feller以及他們的同事和學生們在馬爾科夫過程、獨立增量過程、平穩過程、無窮可分分布、極限定理及特征函數等當時概率論的熱門領域都作出了重要工作。1934年克拉梅爾將Khinychine關於平穩過程協方差表示的結果推廣到多維平穩過程，1936年證明了勒維關於“任意正態分布的因子也是正態”的猜想——被後人稱為Cramér-Lévy定理，同年他還和學生Herman Wold證明了關於多維隨機變量中心極限定理的Cramér-Wold定理。1934-1935年間克拉梅爾在Stockholm大學作了關於柯爾莫哥洛夫研究工作的係列講座，他也許是在蘇聯境外介紹這一劃時代成果的第一人。
除了他本人許多重要的原創性工作外，克拉梅爾投入很大精力將他人重要卻難懂的結果用優美通俗但不失嚴格性的方式在他的文章和著作中表述。1927年克拉梅爾訪問英國時，由於當時還沒有概率論方麵的英文專著，Hardy曾建議他編寫一本，但這一計劃直到十年之後才付諸實現。在1937年劍橋出版社出版的專著《隨機變量和概率分布》中，克拉梅爾基於柯爾莫哥洛夫的概率論公理化體係，係統闡述了有限維空間上的概率分布理論及其應用，該書至今仍為概率論的經典著作之一。1937-1939年間克拉梅爾訪問了巴黎、倫敦和日內瓦等歐洲城市，舉辦講座或參加學術會議，結識了許多當代極負盛名的數學家和概率學家，如法國的PaulLévy、波蘭的Hugo Steinhaus和當時尚在英國的Jerzy Neyman以及一批年輕的後起之秀。當克拉梅爾1939年7月離開日內瓦時，世界大戰已迫在眉睫、一觸即發。（未完待續）
相關博文鏈接：烏城走出的數學大俠們（上）
https://blog.wenxuecity.com/myblog/78059/202206/5009.html
謝謝，明白了一些數學理論知識。
新浪也是最早時候接觸網絡時所呆之地。
是的，在四川動用小石磨是愉快莊重時分，那時長輩們每年會在田裏普通稻米裏種一點點糯米，我的觀察他們從種植開始到收獲以及後來的食用整個過程都是歡快的莊重 ：）。
前輩的寫作實在是高效，謝謝，並祝中國元宵節快樂，想起湯圓了，：）