春後雨前的博客
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【續前】克拉梅爾與二十世紀的概率統計學（上）
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在第二次世界大戰期間，不同國家數學家之間的交流幾乎中斷，但他們仍然堅持各自的研究。由於戰時防空射擊控製和雷達噪音過濾的需要，柯爾莫哥洛夫和維納在互不知情的情況下，分別在蘇聯和美國各自獨立地對平穩隨機過程作出了重要工作。1940年納粹德國突襲並占領了丹麥和挪威，芬蘭與蘇聯正是交戰雙方，中立國瑞典成為與世隔絕的孤島。克拉梅爾的Stockholm團隊與國際間的交流也減少到了最低程度，但他以極大努力保持研究團隊的正常運作和對外聯係。戰爭期間Norrtullsgatan街16號的研究所成為一些北歐同行的避難所，來訪者中包括丹麥數學家Harald Bohr和挪威數學家Olav Reiersoel，1941年2月克拉梅爾還組織了一個概率論國際會議。
1942年克拉梅爾發表了一篇題為《某些函數空間上的調和分析》的文章，給出了Hilbert空間中酉群譜表示的Stone定理的一個概率論版本，直到戰後他才得知這一理論對於隨機過程研究的重要性。1944年Carl-Gustav Esseen在Uppsala大學以題為《關於概率分布的Fourier分析》的論文進行博士學位答辯，這是一篇以深入研究特征函數的性質為基礎的重要論文，文中推廣了克拉梅爾早年關於中心極限定理及誤差估計的結果，被命名為Ber-Esseen定理。1967-1984年間Esseen成為Uppsala大學第一位數理統計教授，筆者1980年代末在那裏讀博期間，不時會在係裏遇到已經榮休的Esseen，那時他已經需要借助代步車行動了。
1920年以來以R. A. Fisher為代表的英美統計學家們在統計科學取得了巨大進展，因此克拉梅爾利用與世隔絕的這幾年撰寫了他的第二本專著《統計學的數學方法》並於1946年出版，他在撰寫這本著作時還常將一些篇章作為討論班的內容，使學生們得到極好的訓練。書中克拉梅爾將概率統計領域的兩大發展方向——法國和蘇聯學派關於概率論基礎理論方麵的研究與英美學派的統計推斷科學有機地結合在一起，對現代統計數學方法作了全麵闡述，這之前在概率論基礎上的統計學理論尚未建立。該書在概率統計學曆史上是一本裏程碑式的著作，成為戰後克拉梅爾進入新世界的入場券，後來被譯成英、俄、日、中、西班牙等多種文字，幾十年間在多個國家作為教科書和研究參考書使用。
二戰結束後，在國際範圍內開展科學研究工作以及與各國同行進行交流重新成為可能。經過20多年來的迅速發展，概率論也已經作為一個結構嚴謹的純數學分支進入戰後的世界。戰爭結束後不久，克拉梅爾就收到來自巴黎、普林斯頓、耶魯、加州柏克萊等大學的邀請，作係列報告或訪問教授。1946年9月克拉梅爾開始了他的第一次美國之行，在普林斯頓他見到了Feller、Neyman、Wiener等老朋友，結識了J. L. Doob等後起之秀以及一批出色的年輕人，在美國度過了快樂並富有成效的兩年。整個1940年代，克拉梅爾的Stockholm研究所也是成果卓著，多位博士生在這個時期答辯。圖為在普林斯頓期間，克拉梅爾與美國數學家約翰·馮·諾伊曼 (John von Neumann，左) 及Oswald Veblen (右) 的合影。
除了學術研究之外，克拉梅爾同時具有卓越的管理和社交才能，還是一位出眾的演說家。他回到瑞典後於1950年被任命為Stockholm大學校長、1958年被任命為瑞典高教係統總校長，直到1961年退休。雖然行政工作占據了他很大一部分時間，但克拉梅爾仍然堅持領導自己的團隊從事研究工作。筆者在複旦讀書時的老師汪嘉岡先生曾說起，1960年代初在他們大學高年級開始學做科研時，最初閱讀的論文除了柯爾莫哥洛夫的之外，就是北歐學者的工作，其中包括克拉梅爾的學生Grenander於1950年完成的博士論文《隨機過程與統計推斷》以及1957年與Murry Rosenblatt合寫的專著《平穩時間序列的統計分析》。
1955年作為Stockholm大學的代表，克拉梅爾應邀參加莫斯科大學200周年校慶，在那裏他高興地見到了柯爾莫哥洛夫及莫斯科大學概率研究組的其他同行。用克拉梅爾自己的話說，柯爾莫哥洛夫 “給人一個科學巨人的形象”，他們的研究團隊 “形成了有驚人科學活力的群體”，後來柯爾莫哥洛夫經常訪問Stockholm並與克拉梅爾的團隊進行交流。左圖1951年攝於Stockholm大學，右圖1958年攝於Uppsala大學。
1961年克拉梅爾退休後無官一身輕，作回自由自在的科學家，煥發出第二次學術青春。克拉梅爾經常到世界各地學術旅行，並加速他在十多年擔任大學校長期間放緩了的科學研究。克拉梅爾退休之後致力於多維隨機過程理論的研究，70歲之後還發表了十餘篇論文，73歲時他與M. R. Leaer合作出版了第四本專著《平穩過程及相關的隨機過程》。86歲之後仍然在各種專業學術會議上發表演講，最後一篇文章發表時已經89歲，1984年6月接近91歲高齡時他還在瑞典西部城市哥德堡舉行的"隨機過程及其應用"的國際會議上作報告。
雖然克拉梅爾本人作為一位理論概率論和數理統計學家聞名於世，但他同時從事精算師及保險業谘詢工作長達40餘年，他在保險數學方麵很多早期的重要結果都來源於實際問題。由於沒有相應的數學理論支持，19世紀末瑞典多家保險公司紛紛破產，因此克拉梅爾很早就意識到概率論和保險業是相輔相成、互相依存的。早在1920年代，克拉梅爾就是認識到Lundberg風險模型重要意義的少數幾人之一，他在用嚴格但易懂的方式表述和發展Lundberg模型方麵做了許多工作。Anders Martin-Löf在《Harald Cramér與保險數學》一文中指出，克拉梅爾對分析和解釋複雜問題的傑出能力使他在保險精算界中擁有無可爭議的權威。克拉梅爾倡導了對於溢價估計非常必要的偏差精確討論，並開發了在設定保險費率中使用多年的 “零點法”，他還鼓勵自己的學生從事應用領域的工作，比如Herman Wold成為計量經濟學家、Ove Lundberg從事保險業、Bertil Matern從事森林業。1955年克拉梅爾出版了一本關於風險理論的專著。
1900年前後的幾十年時間裏，Mittag-Leffler領導的Stockholm School中聚集了多位著名數學家，而他本人又是一位實業家，曾大力投資金融保險業。因此Mittag-Leffler本人以及他的同事們非常感興趣數學在保險精算業的應用，設立保險數學方麵的教授位置的建議最初也是他提出來的。Mittag-Leffler於1904年創立了瑞典精算師協會SAf並作首任主席（任期1904-1909），第二任主席Edward Phragmén（任期1909-1935）是Mittag-Leffler的學生及Stockholm大學的數學教授，後來擔任過多家大保險公司的高管或總裁，他的父親Lars Phragmen就是一位數學博士和精算師。克拉梅爾自然成為Phragmen繼任者的不二人選，擔任第三任主席長達27年（任期1935-1962）。
1930和1940年代，克拉梅爾參與大量的保險業實際工作，並擔任一些負責製定保險法律條例的政府部門相關委員會的成員。Jan Hagberg在紀念SAf成立100周年的文章 [3] 中回憶，1948年英國精算師協會主席Sir Andrew Rowell對一位約好與克拉梅爾在一家火車站會麵的助手說：“記住你要尋找的人看起來並不像教授，而是像一位成功的企業家”。圖片依次是SAf為前三位主席製作的紀念章正麵頭像，右下圖為SAf的會標——一個被稱為"溝算盤"的古羅馬算盤。
克拉梅爾一生共指導了十位博士生，後來享譽世界的華裔數學家鍾開萊（1917–2009）是克拉梅爾訪問普林斯頓期間唯一的博士生。有趣的是克拉梅爾博士畢業那年鍾開萊出生，二人都活到92歲高齡。抗戰期間鍾開萊在昆明西南聯大讀書，本科先修物理，因與理學院院長吳有訓“有所不快"”轉入數學係。研究生階段鍾開萊師從華羅庚主修解析數論，同時私下開始研究概率論，又一次引起師生間的矛盾。因此鍾開萊轉投許寶騄門下，名正言順地攻讀概率論。1944年鍾開萊考取清華第六屆即最後一屆庚款公費留美，前往普林斯頓大學讀博。根據文學城博主@元亨利 的文章，鍾開萊與楊振寧、吳仲華等一行17人，乘坐司徒將軍（General M. B. Stewart) 號郵輪於1945年10月27日自印度的加爾格答出發，11月24日抵達紐約港。
據說鍾開萊抵美第一天拖著行李走進普林斯頓最好的法式餐廳，準備大吃一頓時，一眼認出食客中的概率統計學界大牛克拉梅爾，於是徑直上前自我介紹。一頓飯後，鍾開萊即成為克拉梅爾的學生，兩年後順利獲得博士學位。筆者在Uppsala讀博時選修一門概率論課程，使用的就是鍾先生編寫的教材，任課教授Allan Gut對鍾先生推崇備至。克拉梅爾和鍾開萊這對師徒的求學道路還真有些相似之處，都是二次改換門庭，每次均師從相應領域具有國際聲譽的頂尖學者，而且最後都是從解析數論轉向概率論。這也許完全是一個隨機事件，但冥冥之中也可能存在某種定數和緣分。Who knows？
行文至此，不能不提到鍾開萊在西南聯大時期的恩師許寶騄 (1910-1970) 先生，許寶騄是20世紀與陳省身和華羅庚齊名、舉世公認的在概率論和數理統計領域第一位具有國際聲望的中國數學家。他1936年考取赴英留學，前往倫敦大學學院統計係讀博，成為統計學大師Neyman最得意的弟子。許寶騄三、四十年代在多元統計分析、Neyman-Pearson理論、參數估計理論、樣本方差分布的漸進展開等方麵取得的卓越成就，使得他成為數理統計領域的奠基人之一。1945年許寶騄應Neyman和另一位著名統計學家H.Hotelling之邀赴美講學，並協助後者在北卡羅萊納大學創建了美國大學裏第一個統計係。1947年秋，許寶騄謝絕Neyman的挽留和美國多所大學的聘請，回國到北大任教，1948年他與薑立夫、陳省身、華羅庚、蘇步青一起當選為首批中研院院士。
前文提到Neyman是克拉梅爾的好友，許寶騄在倫敦期間曾熟讀克拉梅爾的著作《隨機變量和概率分布》並在極限理論方麵作出了重要工作，二人還於1940年代中後期在美國相遇。令人唏噓的是，許寶騄在戰爭和動亂年代積勞成疾，鬱鬱不得誌，一代宗師在花甲之年就撒手人寰。同時也不由地讓人心生感歎，即使在被世界大戰隔絕的一片片孤立的陸地和島嶼上，不同國家、種族、信仰的數學家們，依然守住內心那一方淨土，並搭建起共同的科學殿堂。數學是所有數學家的宗教，峰回路轉，世界其實並不大。上圖為克拉梅爾與英國著名統計學家M. S. Bartlett (左) 和許寶騄 (右)、下圖為克拉梅爾與鍾開萊，均攝於美國。
克拉梅爾是一位謙和禮貌、善解人意、具有紳士風度的謙謙君子，永遠衣冠楚楚。無論是他的文章著作、課堂教學、講座報告，還是對學生的個人指導，處處散發著無與倫比的個人魅力，並對其研究領域產生著長久的影響。很多人從世界各地慕名前來拜訪克拉梅爾，他的課堂和講座上總是座無虛席，家中也常常是高朋滿座。克拉梅爾始終給年輕後學強有力的支持和鼓勵，他的學生們都十分尊敬和愛戴他。克拉梅爾的關門弟子Gunnar Blom曾撰文回憶起1940年代動蕩的戰爭歲月中，他們這些年輕學生擠在Norrtullsgatan街16號狹小但舒適的研究所樓房裏，用手搖計算器進行長長的計算，到附近的咖啡吧讀書討論消磨時光，看克拉梅爾用他手中神奇的魔棒將枯燥的數學公式點化成美麗的詩句。
Grenander也在訪談錄中回憶了1940年代他讀本科時參加Uppsala大學Arne Beurling和Stockholm大學克拉梅爾兩位大師討論班的難忘時光，他說近距離觀察和感受傑出的大腦是怎樣工作使自己終身受益。1940年代末克拉梅爾從美國歸來之後，常常在每年五月學期結束前將他的弟子們請到郊外Djursholm的家中，享用女主人Marta親手烹製的美味晚餐，邊喝咖啡邊講述他們的旅行見聞。Stockholm大學統計學教授Daniel Thorburn在文章 [8] 中回憶道，晚年的克拉梅爾雙耳幾乎完全失聰。Thorburn記得最後一次聆聽克拉梅爾的講座時，當克拉梅爾通過兒子Tomas的翻譯理解了聽眾的提問後，他的回答仍然一如既往地清晰有條理。圖為研究所附近當年克拉梅爾和同事、學生們常常光顧的咖啡吧。
1985年4月仲春的一天，Blom來到克拉梅爾家中探望，他在Marta去世後搬到離城裏較近的狩獵島Djurgården居住，那時克拉梅爾的視力已嚴重衰退，無法欣賞窗外水上點點白帆的美景了。他們一起談論往事和新聞，克拉梅爾的頭腦依舊十分清楚並對所有事情充滿興趣。然而空氣中彌漫著憂鬱的氣息，兩人心裏都明白這大概是最後一次見麵了。同年10月5日，克拉梅爾平靜離世，走完92年非凡的一生，回到天堂與他親愛的Marta團聚了，如同普林斯頓大學Erhan Ç?nlar教授所言： “死亡不就是一個隨機分布嗎？”
1958年克拉梅爾描述Phragmen的一段話也是對他自己一生的最好總結，他 “屬於這樣一代數學家，對於他們來說，不言而喻的是數學是構成人類思想的最高形式之一、甚至可能是唯一的。數字是人類思想的必要形式，數學科學是一個具有自身文化價值的中心人文學科。它完全獨立於其在技術或其他領域的輔助科學的作用，然而這並不意味著數學家們低估了 ‘使用理論知識獲得實用技能’的重要性。” 人們都說，20世紀中葉是群賢畢至、大師雲集的年代，這些昔日的大師們都已化作浩瀚宇宙中一顆顆燦爛的星辰，而將他們用畢生心血創造的思想財富留存於世，令人由衷地敬仰！Blom的回憶文章是這樣結束的：“克拉梅爾雖然離去了，但對他的回憶和懷念永存於概率統計學的曆史上及他的學生和崇拜者心中，他是一個偉大的科學家和一個好人”。
【注】本文刊登於《數學文化》期刊。
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其他，親切熟悉溫暖又帶著人文時光流逝特點的這段“下”，也讓我想起經曆過的那些人事兒，謝謝。
二月安好，：）