春後雨前的博客
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【續前】烏城走出的數學大俠們 (上)
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Mittag-Leffler和Beurling的學生及後繼者們
Mittag-Leffler和Beurling都在Uppsala大學獲得博士學位，分別向上追溯數學家族譜係的兩代或四代，師出同一位數學家——1796年畢業於Uppsala大學的Jöns Svanberg，但仍然沒出"五服"。Mittag-Leffler去世時Beurling還在大學讀書，二人年齡相差49歲，沒有查到他們二人直接交往的記錄。但如前所述，Mittag-Leffler在芬蘭一支的直係後人Lars Ahlfors卻是Beurling的合作夥伴和終生摯友，可謂源遠流長。Mittag-Leffler和Beurling的性格完全不同，前者活躍外向、交遊廣泛，喜歡文學、管理、經商，身居祖國放眼全歐，是入世的智者; 後者內向敏感、不善交際、追求完美、熱愛自然，移居新大陸卻獨孤求敗，如出世的高人。但這些並不影響二人同為瑞典現代數學的巨匠但這些並不影響二人同為瑞典現代數學的巨匠，因此後來瑞典的複分析與實分析學派才有了如Lars Hörmander和Lennart Carleson這樣的傳人。
Mittag-Leffler從歐陸及芬蘭回到瑞典之後主要的工作和活動地點是在Stockholm，他親自指導的學生中比較著名的有Edvard Phragmen (1863-1937)、Erik Fredholm (1866-1927) 和 Helge von Koch (1870-1924)，三人都先後於Uppsala大學獲得學位、在Stockholm高專任教、在Djursholm區居住，因此形成了數學史上非常有名的"Stockholm School"，Stockholm如今房價最高的上等社區Djursholm一百多年前成為瑞典數學界的中心。Phragmen的主要成果是擴展了關於有界全純函數的Liouville定理，與芬蘭數學家Ernst Lindelöf一起得到了著名的Phragmen-Lindelöf最大值定律。Phragmen還對精算學感興趣，曾擔任瑞典精算師協會第二任主席以及多家大保險公司的高管或總裁。Fredholm是積分方程理論的創始人之一，他給出了一般常係數橢圓型偏微分方程的基本解，並得到了著名的積分方程擇一定理，他有關積分方程的工作被稱為泛函分析的四項奠基性工作之一。
Von Koch在1904年的一篇論文《關於一個可由基本幾何方法構造出的無切線的連續曲線》中描述了一類長度無窮大但所圍麵積有限且連續卻無處可微的曲線的構造方法，這一俗稱為"雪花曲線"的Koch曲線是最早的分形曲線之一，是上世紀七十年代發展起來的分形幾何學的重要例子。後來還有Torsten Carleman (1892-1949) 加盟，Carleman也是一位出身於Uppsala大學的數學家。他的主要貢獻是在函數論、積分方程論和譜理論方麵，以他的名字命名了若幹定理、法則、不等式、積分核和正交多項式等。1927年Mittag-Leffler逝世後，Carleman繼任研究所所長超過二十年的時間，並成為瑞典最有影響的數學家。Mittag-Leffler、Fredholm和von Koch身後都安葬在Djursholm的Altorp墓地，依舊比鄰而居，在天堂繼續他們的數學合作研究，下圖為Mittag-Leffler夫婦的墓地與皇家科學院為他立的墓碑。
Mittag-Leffler在國際科學界的地位和聲譽吸引了大批國外的青年學者，因來訪研究所而改變了命運的學者之一是匈牙利數學家Marcel Riesz (1886-1969)，他於1908年來到瑞典，先後擔任Stockholm和Lund大學教授並創建了Lund大學的數學研究中心。Riesz在三角級數、泛函分析、位勢理論、偏微分方程及Clifford代數等領域多有建樹，例如他於1926年證明了Lebesgue函數空間中線性算子的插值定理，但證明方法十分複雜。他的學生與合作者Olof Thorin於1939年使用Hadamard的三圓定理將其證明大大簡化，這就是著名的Riesz-Thorin插值定理。Thorin後轉行從事精算業，但他仍因這一定理而在分析數學領域聞名，可謂"驚鴻一瞥"。
Riesz最優秀的學生是1962年Fielz獎和1988年Wolf獎得主Lars Hörmander (1931-2012)，他的主要工作成果是在現代線性偏微分方程理論方麵，是偽微分算子和傅立葉積分算子的奠基人之一，他的四卷本《線性偏微分算子分析》(1983-1985) 被認為是線性偏微分算子的經典文獻。如果沒有Hörmander，著名的Atiyah-Singer指標定理的證明不知道還要晚多少年，前文所述的著名數學曆史學家Lars Gårding也是Riesz的學生。圖為1988年Hörmander在以色列首都接受總統頒發的Wolf獎。
Riesz最早的學生之一Harald Cramér (1893-1985) 是瑞典乃至世界概率統計學界的泰鬥，他早期研究解析數論，1925年轉向概率論並於1929年被任命為瑞典第一位精算數學和數理統計學教授，還擔任瑞典精算師協會第三任主席長達26年。 Cramér最重要的成果之一是證明了法國概率論祖師爺Paul Lévy關於正態分布獨立性的一個猜想。Cramér還對保險風險問題進行了深入研究，並從統計學角度研究素數和孿生素數的分布問題。享有世界聲譽的"概率論學界教父"、華裔數學家鍾開萊 (1917-2009) 就是在Cramér的指導下，於1947年獲得美國Princeton大學博士學位的。
Arne Beurling非常熱愛教學，學生們都說他講課的時候雙目就像燃燒的火焰，極富激情和感染力。二戰期間正是Beurling創造力的高峰期，但他卻義不容辭地將大部分精力投入到破譯德軍密碼的工作中並建立了奇勳，他還鼓勵自己的學生獻身到反法西斯的工作中去。Beurling在Uppsala大學任教期間開辦的星期二分析討論班一直延續至今，唯一區別是由隔周一次改為每周一次、時間從晚上移到了下午。他在討論班上一般隻講授自己的研究成果，並且對學生要求十分嚴格。Beurling一生共指導了九名數學博士，全部畢業於Uppsala大學，最著名的當屬與他亦師亦友的Lennart Carleson。Carleson是Beurling的學生中僅存的健在者，今年已米壽高齡，他曾經說過自己是被Beurling的人格魅力和非凡才能所吸引，從而走上數學研究之路的。他於1950年獲得博士學位並不負師望，在傅立葉分析、複分析、擬共形映射和動力係統等方麵都做出了重要貢獻。
1966年Carleson證明了提出已達半個多世紀的Lusin猜想，即單位圓上平方可積函數的傅裏葉級數幾乎處處收斂，我們在複旦讀書時使用的《實變函數論與泛函分析》教科書中就曾提到這一重要成果。Carleson的另一重大貢獻是解決了日冕問題(Corona)，由此得到的Carleson測度已經成為傅立葉分析和複分析的基本工具，他還證明了在二維情形任意階的Bochner-Riesz均值都有界。為了防止人才外流，1967年瑞典政府專門在Uppsala數學係為Carleson設立了一個教授位置，使得他具有很大的自由空間，他後期的主要工作地點是在Mittag-Leffler研究所和KTH皇家理工學院。
Carleson因"其在傅立葉分析、複分析、擬共形映射及動力係統理論方麵的基礎性貢獻”獲得1992年Wolf獎，又因"其在調和分析和光滑動力係統方麵深刻和重大的貢獻"獲得2006年Abel獎。Abel委員會這樣評價Carleson："他的工作已經永遠改變了我們對分析的看法。他不僅證明了極難的問題，而且他引入的證明方法與定理本身同等重要"。圖為2007年Carleson與另二位Abel得獎主Simivasa Varadhan和Peter Lax在Niels Abel墓前的合影。
如前所述，Mittag-Leffler生前是將自家私宅作為一個北歐乃至世界的數學中心來規劃建設的，並將他在其他領域的經營所得大量投入，因此Mittag-Leffler研究所在1916年建立之初時前景一片光明。然而1922年全歐洲的一場經濟危機使得Mittag-Leffler瀕臨破產，到他臨終時研究所的運轉難以為繼，在Carleman時代隻能慘淡經營。1949年Carleman去世後，皇家科學院曾先後提議Lars Ahlfors和Arne Beurling繼任所長，但二人均婉言謝絕。以後由於經費不足及管理不善，Mittag-Leffler研究所入不敷出，在將近二十年的時間裏隻作為圖書館使用。而且研究所的大筆房屋維護費用使得皇家科學院不堪重負，曾一度打算將研究所的房產出售，少數反對者之一就是1956年成為Acta Mathematica主編、1957年當選為院士的Carleson。
Carleson於1968–1984年間出任研究所所長並實行了一係列改革舉措，他掌管之後得到了Knut & Alice Wallenberg基金會、大保險公司及北歐其他國家的資助，研究所才重新開始正常運轉並獲得新生。與當時世界著名的兩個數學研究所——美國Princeton的IAS和法國巴黎的IHES不同，Mittag-Leffler研究所除了兼職所長及幾位行政人員外，並沒有專職的研究人員。自從1969/70年度開辦了第一個以調和分析為主題的學術年以來，Mittag-Leffler研究所以半年或一年為期舉辦不同專題的學術研究計劃。世界各國的頂尖學者匯集於此，同時前來的還有一些在學術道路上剛剛起步的博士生或博士後，因此Mittag-Leffler的夢想直到Carleson時代才真正得以實現。1976/77年度Carleson專門組織了Beurling年，Beurling在其係列講座中報告了自1930年代以來他本人的數學思想和成就。
Carleson是一位德高望重、謙遜低調、平易近人、極具正義感和人文關懷的長者，非常令人尊敬。他親自指導的26名博士中有24人畢業於Uppsala大學，其中多人也已成為著名數學家，在學術領域多有建樹。Carleson在1978至1982年間擔任國際數學聯盟IMU主席，他在任期內極力促成中國數學會取得代表權，1977年陳景潤就曾因這一代表權問題謝絕了國際數學家大會ICM的45分鍾報告邀請，Carleson還積極推動設立了以著名芬蘭數學家Rolf Nevanlinna命名的、表彰青年理論計算科學家的Nevanlinna獎——目前IMC的四大獎項之一。Carleson熱心於數學普及工作，經常給高中教師和學生舉辦講座，並於1968年出版了科普著作《我們時代的數學》，涉及數學科學的方方麵麵。
二十多年前筆者在Uppsala大學博士答辯後不久，曾參加數學係為時年65歲的Carleson和Beurling的另一名學生Yngve Domar教授舉辦的榮休晚宴。Carleson退休之後仍然常常出現在各種數學講座和會議上，但多半是默默地當聽眾，並不喧賓奪主。大約十年前的一天，筆者從Stockholm駕車去Uppsala數學係參加學術會議，一輛Mazda小車一路同行，直到停車場才發現駕車的老者原來就是Carleson。還有一次恰逢先生壽日，全場為他合唱生日快樂歌。圖為Carleson、Domar以及Beurling指導的唯一女學生、也是瑞典史上第二位數學女博士Sonja Lyttkens在Uppsala紀念Beurling百年誕辰時的合影 (從右至左)。
幾年前Uppsala大學數學係發生了一起行政幹預學術的校園政治事件，兩位外籍教授被校方勸退辭職，此事曾引起包括歐盟數學會、美國數學會及IMU在內的國際數學界的廣泛關注。事情發生後Carleson率先發表公開信，對學校當局的作法表示遺憾，稱之為"50年來瑞典學術界的最大醜聞"，並向被辭退的教授表達慰問和聲援。在2016年三月慶祝Mittag-Leffler研究所成立一百周年的第27屆北歐數學家大會上，Carleson當選為大會名譽主席。
最後值得一提的是，瑞典、挪威、芬蘭三國均位於Scandinavia半島，並且都以路德派新教作為國教。從民族、曆史、文化、語言諸方麵來看，瑞典和挪威似乎更接近，18世紀兩國還合並成立過UK君合國，至今也都是君主立憲的王國。然而鄰國挪威的數學發展道路卻與瑞典完全不同，挪威數學在19世紀就已經很輝煌，出現了諸如Niels Abel、Ludwig Sylow、Sophus Lie等劃時代人物。但除了前述在Acta Mathematica創辦之初Mittag-Leffler與Lie的合作之外，兩國在數學研究上卻少有交集——前者偏代數、後者重分析，曾聽Størmer說起過直到今天兩國數學家都鮮有合作研究。而芬蘭卻截然相反，Mittag-Leffler在芬蘭Helsinki大學執教的幾年時間裏成果斐然，特別是培養了Robert Mellin這樣優秀的學生，並一脈相承地培養出了Ernst Lindelöf、Rolf Nevanlinna和Lars Ahlfors等以分析見長的幾代數學家。瑞典和芬蘭兩國的數學家密切合作，共同作出不少重要的研究成果，例如複平麵無界區域上的Phragmén-Lindelöf最大模原理和調和分析中的Beurling-Ahlfors變換，可謂分析數學的雙子星座。
這一切也許僅僅是由於Mittag-Leffler當年到歐陸遊學並經Hermite和Weierstrass的推薦從而獲得Helsinki大學教職這一係列的偶然因素，無論哪個環節出了問題，曆史都將重寫。同時也說明，數學是一種超越國界的國際語言，世界大同的理想在數學家中可以實現。曾經看到過這樣一段話，摘錄於此作為本文結束語"數學很小眾，它其實就是一群虔誠者的自娛自樂和精神安慰。它的受眾僅限於那些能夠堅持並且還覺得可以堅持的數學研究者。因為不涉及意識形態，它與政治沒有必然的聯係...... 。作為數學研究者，現實是允許你胸懷理想的，唯一的風險是內心的失衡甚至扭曲"。
是這樣的：“數學很小眾，它其實就是一群虔誠者的自娛自樂和精神安慰。它的受眾僅限於那些能夠堅持並且還覺得可以堅持的數學研究者。因為不涉及意識形態，它與政治沒有必然的聯係...... 。作為數學研究者，現實是允許你胸懷理想的，唯一的風險是內心的失衡甚至扭曲”