近來JSL2023網友刮起一股自指旋風。自指是一個令人思緒飛揚的話題。從走向未來叢書的年代，在我心裏，自指就與無限糾纏不清，揮之不去，壓之益強。如今又被撩撥得性起，索性一吐為快。這個問題說簡單，非常簡單，簡單到古希臘的說謊者悖論，說複雜，非常複雜，複雜到哥德爾不完備性定理。複雜的留到後麵，先從簡單的說起。
說謊者悖論被古希臘人明確提出，至今有2500年了，人類隻是泛泛而談，並沒有切實感受到悖論的直接危害，但切實感受到知識的不確定性。笛卡爾明確提出要為人類知識尋找確定性。他以“我思故我在”為初始公理，把哲學建成一個龐大的公理係統。當從“我思故我在”推出身心二元及唯我論時，笛卡爾的公理係統崩潰了。但是，具體的公理係統崩潰為瑕，公理思想為玉，瑕不掩玉。
隨後的數代人仍堅持不懈為人類知識尋找確定性，至上世紀二十年代，這種努力具體化為希爾伯特計劃。所謂希爾伯特計劃(Hilbert's program)即由德國數學家希爾伯特(David Hilbert 1862/01/23 - 1943/02/14)提出的一個理想計劃。這個計劃可以視為笛卡爾計劃的限定版，僅為數學尋求確定性。彼時意大利數學家皮亞諾(Giuseppe Plano 1858-1932)已成功地把算術公理化，這讓希爾伯特看到把整個數學建成一個的公理係統的希望，進而對未來的公理係統提出一化四性①的期望。集合論比算術更強大，一時間公理化集合論成為整個數學確定性的眾望所歸。
羅素不愧是大師，善於把複雜的問題簡單化。他看到了集合論的根本問題在於自指，並把集合論悖論化歸為說謊者悖論和理發師悖論的等價形式。這給希爾伯特計劃潑了一盆冷水，在數學界引起一陣騷動。隨後出來多個方案試圖解決集合論悖論，其中包括羅素的類型論②。對於希爾伯特計劃來說，這些解決方案相當於打補丁，而哥德爾的不完備性定理相當於釜底抽薪。如果說前者讓他感覺根基動搖的話，那麽，後者讓他感覺三大皆空。茲好比，李尚福在指揮神X升空，萬事具備，倒計時念到五時，下麵報告，火箭燃料裏發現有水。
羅素悖論說，所有不包含自身為元素的集合的集合導致自相矛盾。悖論本身由自指引起，不涉及無限，而其解決方案類型論卻涉及無限。哥德爾第二不完備性定理說，任何協調的形式係統，隻要蘊涵皮亞諾算術公理，就不能用於證明它本身的協調性。形式係統證明它自身的協調性，顯然涉及自指，皮亞諾算術公理蘊涵數學歸納法，而數學歸納法涉及無限。在這一意義上，二者有異曲同工之妙，都指向悖論的兩個要素，自指和無限。
哥德爾第二不完備性定理非常抽象，一般讀者聽著如墜五裏霧裏。如果用“我”來替換“蘊涵皮亞諾算術公理的形式係統”，那末，哥德爾第二不完備性定理可以表述為: 我可以證明別人是協調的，但不能證明自己是協調，如果我可以證明我是協調的，那麽我是不協調的。如果還覺得燒腦，我隻好使出吃奶的勁。用最形象的話來說就是，抓住頭發，我可以將別人提離地麵，但無法將自己提離地麵，如右圖。其實，那人並不想把自己提離地麵，即便想且有二指禪神功也無濟於事。
羅素的類型論可用圖畫大致表現如下，
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假定那個將女孩提離地麵的女神又被另一個女孩提離地麵，而那個女孩又被另一個女神提離地麵，如此反複，無限遞歸。如果其中有一個腳踏實地，這事就靠譜（有邏輯可能性）。如果沒有一個腳踏實地，而其中一個是上帝，這事也靠譜。如果上帝不存在，且在有限的知識範圍內，無法得知是否有人腳踏實地，這事就不靠譜(潛在的悖論)。揪住自己的頭發，試圖將自己提離地麵，顯然是荒謬的。這種荒謬常被無限所掩蓋。正如上麵那幅畫，隻要遞歸是無限的，過程就沒有盡頭，找不到盡頭，就無法確認荒謬所在。在這一意義上，羅素的類型論本質上是一種無限遞歸。自指並沒有被根除，隻是藏身於類型的無限後退之中。
這種無限遞歸與和尚講故事的故事異曲同工。從前有座山，山裏有個廟，廟裏有個老和尚在給小和尚講故事。老和尚講的是，從前有座山，山裏有個廟，廟裏有個老和尚在給小和尚講故事，...，這個故事可以無休止地講下去。有正常思維的人聽到第三循環時都會意識到這是無聊的圈套，但是，用嚴格的數學概念偽裝起來的形式化係統便能讓絕大多數人無休止地聽下去，還以為自己在聽一個高深的道理。樊映川的微積分一開篇便引用莊子的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。莊子的萬世就是無涯的另一種說法。隻要切割工具沒有厚度，過程就可以永遠繼續下去。二者大致是相似的道理。沒有影射微積分的意思，它是向真理逼近的一種方式。所謂萬世不竭，隻存於意念，不存於現實。同理，所謂悖論，隻存於意念，不存於現實。
Escher的樓梯，兩隻互畫的手等等都是意念的產物，人類的幻覺。現實中最接近悖論的似乎是計算機程序裏的惡性循環，關機便能解決問題。因此，兩千多年來，人類對悖論隻是泛泛而談，並沒有切實感受到直接危害。原因似乎有二。一，沒有厚度的切割工具在現實中不存在，且有理性的人能分清具體與抽象。二，人類有直覺，直覺拒斥反直覺的東西。當希爾伯特大力倡導形式主義的時候，布勞威爾(L.E.J. Brouwer 1882–1966)徑以直覺主義與之抗衡。結果很明顯，哥德爾不完備性定理宣布形式主義破產，邏輯主義③也隨之破產，惟直覺主義屹立不倒，步子邁得不大，但堅實有力。
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① 希爾伯特計劃包括一化四性
- 形式化(Formalization) - 所有數學用一種統一的嚴格形式化的語言，並且按照一套嚴格的規則來使用。
- 完備性(Completeness) - 必須證明，在形式化的數學裏，所有真命題都可以被證明。
- 協調性(Consistency) - 必須證明，在形式化的數學裏，不可能推出矛盾。
- 可判定性(Decidability) - 應該有一個算法判定每一個形式化命題的真假。
- 保守性(Conservation) - 必須證明，如果關於“真實對象”的結論用到“理想對象”來證明，那麽不用“理想對象”依然可以證明該結論。
形式化被一階謂詞邏輯局部實現，保守性本質上是奧卡姆剃刀原則的翻版，很少被人提及。哥德爾不完備性定理主要涉及完備性，協調性，可判定性，得出的結論令希爾伯特心如冰窖。它說，
- 用一個形式係統將整個數學形式化是不可能的。
- 皮亞諾算術公理係統尚無法證明自身的協調性，遑論比它更強的集合論。
- 在任何蘊涵皮亞諾算術公理的形式係統裏，不存在可以判定每一個形式化命題真假的算法。
② 類型論
在Principles of Mathematics (1903)裏，Appendix B首次係統闡述The doctrine of types。抽掉技術細節，大意是，對象(object)分等級，個體(individual)是最低等級的對象，個體與由個體組成的類是不同類型的對象，類不能是自身的元素。因此，在引進新符號時，必須同時指明其類型。類型論對類的等級數量沒有限製，因而對無限敞開了大門。
③ 邏輯主義
試圖將整個數學的確定性寄托於數理邏輯。具體說來，從一組有限的邏輯公理出發，按邏輯規則，推出整個數學。遺憾的是，Principia Mathematica的公理集合裏並非都是形式公理。尤其是，無窮公理(axiom of infinity)，選擇公理(axiom of choice)和化歸公理(axiom of reducibility)，其地位受到廣泛質疑。無窮公理對應於皮亞諾的後繼，相當於在公理層麵上引進無限。選擇公理直接來自集合論。化歸公理允許壓平類型的等級，相當於給嚴格的類型開了後門，被極力排除的自指隨時都可能摸回來。
沒被枯燥乏死，你也有意思。