幾個開關管一盞燈

       榕城老應

我的朋友在家裏裝了三個開關，各處都能隨意開關這盞燈。心中得意，便出了道題來考我們。

我一聽，很牛逼地回說：“這問題我在中學時就考慮過。答案是：在串行的線路上，兩頭各一個單刀雙擲的開關中間是兩條並行線路，隻要在中間加雙刀雙擲的開關改變並行線路的連接，要加多少個每個都能單獨控製燈光。用有限自動機的狀態圖來說明這個問題，雖然是牛刀小用，但大約也能說得清。”

下午從Lowe's 買東西回來。上網一看，追問來了：“請證明，不能用多於2個單刀雙擲開關（Single Post Double Throw, SPDT）來實現電燈電路。”原來這才是真正的問題！

原本以為給了一個實現，再扣上“有限自動機的狀態圖”大帽子就能蒙過去，誰知他也不是個省油的燈。
 
沿著有限自動機的狀態圖的思路想一下，這牛刀太大了，用它解題純粹給自個兒找不痛快。果然他是狡猾，狡猾的人都不好忽悠。

找來原來的帖子看了兩遍，蒙到他的思路了。這說的是在幾種開關的有限製選擇中最小實現的問題。不用牛刀了，用邏輯在這裏列出來。

1. 要每個開關都能控製，若是有與開關並聯的線，它就管不著了，有電斷不開，所以這個開關係統必須是串聯的。串聯，單擲開關肯定不行。一個斷開了其他的都沒戲了。這“開關”隻有兩種控製量自然是指“雙擲”的開關了。
 
2. 我們考慮串聯的雙擲開關係統。解的集合必須在這裏。雙擲的開關，最簡單的是單刀雙擲（SPDT），其次是雙刀雙擲（DPDT）。SPDT一頭單線端，一頭雙線端，開關轉換單線端與雙線端其一的連接。DPDT可以轉換進出各兩條線之間的連接。
 
3. 考慮從火線端到控製端順序的串連係統。SPDT在這串連的線路中，單線端隻能接在係統一根線且必須是帶電的串連線路中，不然就無法將電通往後麵，所以它必須是第一個。雙線端隻能接在線路至多兩條線的線路中，多了線，就不受這開關控製。SPDT雙線端接在線路後，另一端是單線端，它的狀態不帶電時就無法讓後麵的開關來開燈，所以它隻能是係統的最後一個。因此在這串連係統中最多隻能有兩個SPDT開關，在兩開關間有兩並行線。第一個SPDT控製火線接往兩並行線的哪一根，第二個SPDT控製將電燈線接向兩並行線的其中一根。所以它們各自都能控製通斷。

4. 如果我們到這裏還沒有一個n開關的實現，就很容易想到用DPDT開關在這串連係統中，轉換兩根並行線的連接。因為其中的每個都能將這兩根並行線的帶電狀態轉換一下，所以也就都能參加控製，這便是一個且是唯一的實現。