也談“髒臉博弈”問題（3）

    榕城老應

原來故事解答中虛擬的假設推理被引用的關係比較隱晦，我們再從局中人的角度來看是怎麽完成這個的推理。

這故事裏有三個人臉髒了，分別記為甲，乙，丙。甲隻看到乙和丙兩個髒臉。他看不見自己的臉。甲想：我要是幹淨的，乙隻能看到丙的那個髒臉。甲再從這個設想中乙的角度來思考：乙要是覺得自己沒髒，那麽乙可以推測丙看到所有人臉就是幹淨的。這時甲猜測中的乙又從丙的角度來思考：丙知道“至少有一個人臉髒了”，他卻看到所有人臉都是幹淨的，那他就知道自己的臉髒了。

注意上麵“至少有一個人臉髒了”這個知識，是在甲從設想中乙，設想中的乙又從設想中丙的推理中被引用的。所以這個知識必須是：“甲知道（乙知道（丙知道的知識））”，這有三階彼此的知識的深度。 “至少有一個人臉髒了”是三階彼此的知識就足夠了。如果是公共知識，當然是沒問題被引用。我們後麵再談它怎麽成了公共知識。

可是女招待催促後，丙沒反應。這說明前麵推理中的假設出錯了，不管什麽地方出錯，丙一定是看到髒臉了，他才不能猜出自己。甲能夠推想出乙有這個知識了。所以“甲知道（乙知道（丙看到一個髒臉））”。甲和他設想中的乙都知道丙的臉是髒的，所以“至少有兩個髒臉”是甲知道（乙知道的知識）。

到了女招待第二次催促時，甲還想：我要是幹淨的，乙隻能看到丙的那個髒臉，但乙知道至少有兩個髒臉了，他該出來招認呀。結果還是沒有。甲才知道自己的假設完全錯了，自己的臉是髒的，乙也看到兩個髒臉了。

上麵甲乙丙的記號是隨便取的，所以三個髒臉人，每個都按照甲的思路來考慮，他們也就同時明白了，在第三次催促中出來擦臉。至於其他臉沒髒的人，他們看到的是三個髒臉，推理又深了一層，在第三次催促前還不能判斷自己的狀況。到了這三人都擦了臉才知道自己臉沒髒。

那女招待說了一聲後，這“至少有一個人臉髒了”是怎麽成了公共知識？因為女招待的話是對大家說的，誰都有這知識了，誰也知道別人聽到這知識了，這都能推測出“張三知道（李四知道（王五知道這知識））”，如此等等直到無窮，這就是公共知識了。

那大家眼睛都看到的事實，怎麽不是公共知識呢？每個人都看到了髒臉，沒錯這“至少有一個人臉髒了”是“一階彼此的知識”。髒臉的甲，從髒臉乙角度看去，也能確定乙看到髒臉丙。所以甲知道（乙知道這知識）。每個人都可以用這個邏輯推想，所以這也是“二階彼此的知識”了。但是甲從乙，乙再從丙的角度來看，因為甲乙丙都不能確定自己的臉，而除此之外再無髒臉，所以這套在這裏麵的丙無法知道有沒有髒臉，即“甲知道（乙知道（丙知道這個知識））”不成立。沒有了這個知識，故事中女招待第一次催促前的的假設推理就不能進行到底。這大家眼睛看得到的知識，連三階彼此的知識都夠不上，就更不是公共知識了。

看三個帖子到了這裏的人，要是對進一步了解公共知識的理論感興趣，可以看下麵。

【參考文獻】

Aumann RJ (1999) Interactive epistemology I: Knowledge. International Journal of Game Theory 28: 263±300

http://www.ma.huji.ac.il/raumann/pdf/Interactive%20epistemology1.pdf

Aumann RJ (1999) Interactive epistemology II: Probability. International Journal of Game Theory 28:301±314

http://www.ma.huji.ac.il/raumann/pdf/Interactive%20epistemology2.pdf

Vanderschraaf, Peter and Sillari, Giacomo, "Common Knowledge", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.),
http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/common-knowledge/

【公共知識的一種定義】

We can now define mutual and common knowledge as follows:

Definition
Let a set Ω of possible worlds together with a set of agents N be given.

1. The proposition that A is (first level or first order) mutual knowledge for the agents of N,K¹_N(A), is the set defined by

K ¹ _N (A) ≡ ∩ _{i ∈ N} K _i (A).

2. The proposition that A is m^th level (or m^th order) mutual knowledge among the agents of N,K^m_N(A), is defined recursively as the set

K ^m _N (A) ≡ ∩ _{i ∈ N} K _i (K^m−1_N(A)).

3. The proposition that A is common knowledgeamong the agents of N,K^*_N(A), is defined as the set

K * N (A) ≡

∞ ∩ m=1

K m N (A).

[guest007]

不錯
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