正文
《數學：確定性的喪失》——這是真的嗎？
一般而言，無論見到數學是如癡如醉的人，還是頭昏腦脹的人，無論對數學是敬畏的人，還是恐懼的人，有一點是相同的：認為數學代表了精確，確定或者是真理。並且他們從來沒有，甚至不敢對這一信念懷疑過。然而，大眾泛泛的觀念很少能經起檢驗。M 克萊因的書《數學：確定性的喪失》所揭示的曆史及事實是對此信念的毀滅性的打擊。
有人驚奇萬分：這會是真的嗎？
各個文明的民族都發展過簡單的算術和幾何。現代研究生院裏討論的大部分數學卻不是此類經驗數學的直接演化的結果。現代數學的主幹是從古希臘的數學的土壤中生長出來的。當然有人不同意此論，但除了強詞奪理外，我看不出任何有價值的反對理由。如果你在決定命運的考大學的試卷上對幾何的：“證明”題中沒給出適當的步驟，你會得到零分。那時你應對此論有一定的認識了。為何要證明？這直接來源於古希臘，確切的說是歐幾裏得。古希臘人何以想到要“證明”幾何命題？這個問題不太好回答。畢達哥拉斯學派認為世界是符合數學規律的——這是一種來源於神秘主義的觀念。柏拉圖認為數學是獨立的一種客觀世界。這兩種觀念對世界影響巨大。反正歐幾裏得的《幾何原本》是試圖從幾個簡單的公理出發，推出全部命題。我們今天的教科書大致是仿此而寫的。
對現代數學有重大影響的是伽利略和多普勒二人。伽利略認為應當隻對世界作描述“是怎樣的”（當然是由數學來描述），而不回答是“為什麽是這樣”。 多普勒（當你在大街上超速開車而得到一張罰單，警察手中的雷達就是根據多普勒發現的效應——多普勒效應而製造的，若沒有多老頭，警察是無法知道你車子的速度的）則直接去“發現”數學描述的公式。當然，這是在背後有一種信念支持的：上帝創造了宇宙，宇宙是用數學語言來描寫的。我們是去“發現”那些規律。牛頓是最後完成這一工作的。
牛頓創造的微積分或現代分析在物理世界的應用取得了驚人的成就，特別是海王星和冥王星是先由數學方程而推知的，然後才用望遠鏡找到的。這一切使人信服：自然界是依數學設計的，自然界的真正定律是數學。
在那個時代，數學大廈是人類理性所認識的真理，幾乎無人敢懷疑。
然而，這一信念在十九世紀的下半葉卻開始逐漸動搖了。
造成這一現象的動力不是來源於對數學的抨擊，而是來源於數學家們想千方百計完善數學這樣真理大廈的努力。這一切是從歐幾裏得用到的第五公設開始的。這一公設又叫平行公理，用今天課本上的敘述是：過已知直線外一點，有且僅有一條直線和已知直線平行。數學家們想“證明”它，結果卻“發現”了非歐幾何。非歐幾何斷言：一個三角形的內角和不等於180度，可大於、或小於180度。它們是有邏輯一致的幾何。後來的數學家逐漸認識到：非歐幾何完全可能是用來描述一種物理世界。當年，數學家卻堅信物理空間的幾何必定是歐幾裏得，現在看來，它僅是人類的經驗在一定尺度上的推論而已。
“數學家們一直相信他們已十分成功地揭示了自然的數學設計，然而，現在他們卻不得不承認數學定理並非真理。”
這一承認是十分痛苦的。數學的大廈是真理——這僅僅是一種幻覺。“人類推理的驕傲”隨著真理大廈的坍塌而崩潰了。
數學向何處去？
一般而言，無論見到數學是如癡如醉的人，還是頭昏腦脹的人，無論對數學是敬畏的人，還是恐懼的人，有一點是相同的：認為數學代表了精確，確定或者是真理。並且他們從來沒有，甚至不敢對這一信念懷疑過。然而，大眾泛泛的觀念很少能經起檢驗。M 克萊因的書《數學：確定性的喪失》所揭示的曆史及事實是對此信念的毀滅性的打擊。
有人驚奇萬分：這會是真的嗎？
各個文明的民族都發展過簡單的算術和幾何。現代研究生院裏討論的大部分數學卻不是此類經驗數學的直接演化的結果。現代數學的主幹是從古希臘的數學的土壤中生長出來的。當然有人不同意此論，但除了強詞奪理外，我看不出任何有價值的反對理由。如果你在決定命運的考大學的試卷上對幾何的：“證明”題中沒給出適當的步驟，你會得到零分。那時你應對此論有一定的認識了。為何要證明？這直接來源於古希臘，確切的說是歐幾裏得。古希臘人何以想到要“證明”幾何命題？這個問題不太好回答。畢達哥拉斯學派認為世界是符合數學規律的——這是一種來源於神秘主義的觀念。柏拉圖認為數學是獨立的一種客觀世界。這兩種觀念對世界影響巨大。反正歐幾裏得的《幾何原本》是試圖從幾個簡單的公理出發，推出全部命題。我們今天的教科書大致是仿此而寫的。
對現代數學有重大影響的是伽利略和多普勒二人。伽利略認為應當隻對世界作描述“是怎樣的”（當然是由數學來描述），而不回答是“為什麽是這樣”。 多普勒（當你在大街上超速開車而得到一張罰單，警察手中的雷達就是根據多普勒發現的效應——多普勒效應而製造的，若沒有多老頭，警察是無法知道你車子的速度的）則直接去“發現”數學描述的公式。當然，這是在背後有一種信念支持的：上帝創造了宇宙，宇宙是用數學語言來描寫的。我們是去“發現”那些規律。牛頓是最後完成這一工作的。
牛頓創造的微積分或現代分析在物理世界的應用取得了驚人的成就，特別是海王星和冥王星是先由數學方程而推知的，然後才用望遠鏡找到的。這一切使人信服：自然界是依數學設計的，自然界的真正定律是數學。
在那個時代，數學大廈是人類理性所認識的真理，幾乎無人敢懷疑。
然而，這一信念在十九世紀的下半葉卻開始逐漸動搖了。
造成這一現象的動力不是來源於對數學的抨擊，而是來源於數學家們想千方百計完善數學這樣真理大廈的努力。這一切是從歐幾裏得用到的第五公設開始的。這一公設又叫平行公理，用今天課本上的敘述是：過已知直線外一點，有且僅有一條直線和已知直線平行。數學家們想“證明”它，結果卻“發現”了非歐幾何。非歐幾何斷言：一個三角形的內角和不等於180度，可大於、或小於180度。它們是有邏輯一致的幾何。後來的數學家逐漸認識到：非歐幾何完全可能是用來描述一種物理世界。當年，數學家卻堅信物理空間的幾何必定是歐幾裏得，現在看來，它僅是人類的經驗在一定尺度上的推論而已。
“數學家們一直相信他們已十分成功地揭示了自然的數學設計，然而，現在他們卻不得不承認數學定理並非真理。”
這一承認是十分痛苦的。數學的大廈是真理——這僅僅是一種幻覺。“人類推理的驕傲”隨著真理大廈的坍塌而崩潰了。
數學向何處去？
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