《數學：確定性的喪失》——這是真的嗎？（下）

《數學：確定性的喪失》——這是真的嗎？（下）


哥德爾在1931年發表了一篇論文《論數學原理中的形式不可判定命題及有關係統》。他的結論是毀滅性的：任何數學係統，隻要其能包含整數的算術，其相容性就不能通過邏輯體係的方法而建立。他的一個推論稱為“哥德爾不完備定理”，是說：如果一個形式理論T足以容納算術邏輯並且無矛盾，則T必定是不完備的。相容性是以不完備為代價的。數學家當年假設的相容性和完備性是我們數學邏輯所必需的兩條的斷言成為夢囈。

不僅僅是數學的全部，甚至任何係統都不能用類似哥德爾使用的能算術化的數學和邏輯公理體係加以概括。因為任何這樣的公理係統都是不完備的。任何係統內部都可能存在著不可判斷的命題。這裏的“不可判斷”是指邏輯結構而言的，不是因為我們的智力愚鈍或信息不足等原因導致的。

在這種意義上講，何談什麽危機不危機的，說什麽數學出現“危機”這一論斷是假設一個前提，即認為：數學應是完備的和相容的，至少是相容的。

完備性和相容性是邏輯主義和公理化派（至少在部分意義上講）賴以走路的兩條腿，現在哥德爾告訴他們這兩條腿無法同時滿足——數學注定是一個瘸子。

在某種意義上講，哥德爾不完備性定理是對排種律的否定。

至此，旨在1可能存在的矛盾與建立數學結構相容性的努力宣告失敗。是接受公理化派的方法，還是直覺主義的方法，數學家們不再有一致的看法。

魏爾說：“邏輯是數學家們用來保持他思想健康強壯的衛生手段。”證明確實起到了一定的作用，它減少了（不是消滅了）矛盾出現的危險。數學雜誌接受論文時仍需有適當的證明，至於什麽是“適當的證明”不會有天下共同的看法，它取決於數學家的觀念而有別。

數學是人類的一種活動，它受製於人類的各種弱點和過失。它需要不斷修正。盡管如此，數學仍是可用的最好知識的典範，仍是人類思想中最貴重的寶石。

數學在各個領域的應用依然是那樣卓有成效。

數學界分裂成兩大派：“純粹數學”和應用數學。

荷馬說，國王西西弗斯死後，諸神罰他推一塊巨石上山，而在他接近山頂時，又使石頭落到山下，於是他從新開始。如此勞作不已。克萊茵把現代的數學家比喻成現代的西西弗斯，他們將永遠推下去。

我們也打個比方：數學像一個航空港的侯機大樓。大樓按照一定的應用要求和它自己“內部的規則”不斷向前延伸。大樓向何方延伸取決於人不同時期的想法、航空港的限定和大樓本身的要求。各部之間可能出現無法協調的矛盾，但“工程師們”想方把它們降到最低，至少是為了使用方便的目的，保存它們在我們能忍受的程度內。這些“工程師”所幹的東西就是今天的數學家們所從事的活動。

最後《數學：確定性的喪失》不是指1加2是不是等於3一類的問題，而是指：數學所描述的東西不再是“自然本身”所擁有的那樣子——人類曾經那樣認為過——那是一種幻覺而已。

愛因斯坦曾經說過：“我們不斷對自然作出拷問：是這樣嗎? 是那樣嗎？自然界多數是沉默無語，偶然回答：也許是。”

我們可以把它用來描述今天的數學。