《數學：確定性的喪失》——這是真的嗎？

《數學：確定性的喪失》——這是真的嗎？


一般而言，無論見到數學是如癡如醉的人，還是頭昏腦脹的人，無論對數學是敬畏的人，還是恐懼的人，有一點是相同的：認為數學代表了精確，確定或者是真理。並且他們從來沒有，甚至不敢對這一信念懷疑過。然而，大眾泛泛的觀念很少能經起檢驗。M 克萊因的書《數學：確定性的喪失》所揭示的曆史及事實是對此信念的毀滅性的打擊。

有人驚奇萬分：這會是真的嗎？

各個文明的民族都發展過簡單的算術和幾何。現代研究生院裏討論的大部分數學卻不是此類經驗數學的直接演化的結果。現代數學的主幹是從古希臘的數學的土壤中生長出來的。當然有人不同意此論，但除了強詞奪理外，我看不出任何有價值的反對理由。如果你在決定命運的考大學的試卷上對幾何的：“證明”題中沒給出適當的步驟，你會得到零分。那時你應對此論有一定的認識了。為何要證明？這直接來源於古希臘，確切的說是歐幾裏得。古希臘人何以想到要“證明”幾何命題？這個問題不太好回答。畢達哥拉斯學派認為世界是符合數學規律的——這是一種來源於神秘主義的觀念。柏拉圖認為數學是獨立的一種客觀世界。這兩種觀念對世界影響巨大。反正歐幾裏得的《幾何原本》是試圖從幾個簡單的公理出發，推出全部命題。我們今天的教科書大致是仿此而寫的。

對現代數學有重大影響的是伽利略和多普勒二人。伽利略認為應當隻對世界作描述“是怎樣的”（當然是由數學來描述），而不回答是“為什麽是這樣”。 多普勒（當你在大街上超速開車而得到一張罰單，警察手中的雷達就是根據多普勒發現的效應——多普勒效應而製造的，若沒有多老頭，警察是無法知道你車子的速度的）則直接去“發現”數學描述的公式。當然，這是在背後有一種信念支持的：上帝創造了宇宙，宇宙是用數學語言來描寫的。我們是去“發現”那些規律。牛頓是最後完成這一工作的。

牛頓創造的微積分或現代分析在物理世界的應用取得了驚人的成就，特別是海王星和冥王星是先由數學方程而推知的，然後才用望遠鏡找到的。這一切使人信服：自然界是依數學設計的，自然界的真正定律是數學。

在那個時代，數學大廈是人類理性所認識的真理，幾乎無人敢懷疑。

然而，這一信念在十九世紀的下半葉卻開始逐漸動搖了。

造成這一現象的動力不是來源於對數學的抨擊，而是來源於數學家們想千方百計完善數學這樣真理大廈的努力。這一切是從歐幾裏得用到的第五公設開始的。這一公設又叫平行公理，用今天課本上的敘述是：過已知直線外一點，有且僅有一條直線和已知直線平行。數學家們想“證明”它，結果卻“發現”了非歐幾何。非歐幾何斷言：一個三角形的內角和不等於180度，可大於、或小於180度。它們是有邏輯一致的幾何。後來的數學家逐漸認識到：非歐幾何完全可能是用來描述一種物理世界。當年，數學家卻堅信物理空間的幾何必定是歐幾裏得，現在看來，它僅是人類的經驗在一定尺度上的推論而已。

“數學家們一直相信他們已十分成功地揭示了自然的數學設計，然而，現在他們卻不得不承認數學定理並非真理。”

這一承認是十分痛苦的。數學的大廈是真理——這僅僅是一種幻覺。“人類推理的驕傲”隨著真理大廈的坍塌而崩潰了。

數學向何處去？


數學不再是一個真理體係。這是何等令人沮喪的事情啊！歐氏幾何竟然是建立在一個有嚴重缺陷的邏輯基礎之上的。而現代數學分析是建立在算術與代數的虛構的邏輯上。雖然嚴謹的思想家們承認必須擯棄數學是現實世界的真理的主張，但許多數學家仍然信奉原來的觀念。

數學仍在發展，盡管它的某些方麵不合邏輯。並且它在物理世界上的應用仍然成就輝煌。

當一種觀念改變了人們的主要看法時，人們的表現通常是：一部分人完全不理會其觀念的內容；另一部分人試圖另尋出路；還有一部分人試圖修複缺失的東西。為了修複數學有缺陷的基礎，數學界分裂為邏輯主義派和直覺主義派。邏輯派認為所有的數學都可由邏輯推導出來。羅素就屬於邏輯主義派。他早年屬於柏拉圖主義者。他試圖把數學建立在嚴密的邏輯基礎之上。他和懷特海合著的三卷巨著《數學原理》就是這一嚐試。

羅素的努力最後失敗了。我們所說的失敗是指他未達到原來的目標。當然，失敗不意味著羅素的工作毫無意義。羅素所用的公理是“合理”否，甚至它們是否是公理，數學家們都達不成一致意見。打個比喻：邏輯主義派想找出一個剛體的山穀修一道不漏水的大壩，結果發現任何壩體都漏水，且地下的基岩竟是沼澤一樣的塑體。到了晚年，羅素自己已不相信數學能從邏輯中導出。

邏輯派對公眾影響很大的一點是“羅素悖論”。這個悖論簡單說，就是：一個集合的元素不可以包括該集合。否則，將帶來邏輯矛盾。它可用一種變形的形式表達（僅指它的邏輯關係，不是指其內容）：“凡規則都有例外。”（你可以變出許多命題：“我說的全是謊話”。“世界上沒有正確的東西。”……）若命題中的“凡規則”包括了自身，則它既不真也不能假——排中律被違反了。其實，“解決的辦法”是：命題敘述的內容不可反身到自身，否則，將帶來邏輯矛盾。電腦是一個技術工具，它不允許也不能忽略矛盾。若你編一段程序，內循環程序又包括了整個外循環程序段，那個程序要麽不能工作，要麽進入無窮循環。這取決於你寫的代碼。若該程序開始運行，你隻要“殺死”該程序，才能停止它“瘋狂”地運行。這是“羅素悖論”的一個“體現”。羅素自己就說過：“我們可以發現，在一切邏輯的悖論裏都有一種反身的自指，這種反身的自指應該根據同樣的理由加以指斥。那是說，它包含講那個總體的某種東西（這種東西有時總體中的一分子）。如果這個總體已經固定了，這種東西才有明確的意義。”

蜘蛛網上常有人將類似的悖論變種拿來，還認為自己是發現了新大陸。其實，那是新“發明”自行車，且該車的是方形的。

直覺主義者是屬於另找出路的一派。他的觀點是：數學是人的直覺所創造的。克羅內克說過一句話可謂代表：“上帝創造了整數，其餘的都是人的創造。”支持直覺主義的事實是：許多在數學這塊板上鑽過若幹大小洞的人都知道，幾乎全部的數學定理都是在各種思考方式下找到的，“證明”是後加上去的。愛因斯坦說過：從特殊到一般是靠直覺起作用。他可沒說什麽邏輯。當然，反對直覺主義的理由是：人的直覺經常出錯。像“在某區間上處處連續，但處處不可導”的“病態函數”著實使許多數學家多少有點吃驚。還有一點，即使你是最堅定的直覺主義者，你若在論文中說：“根據本人的直覺，得到如下的結論：……”這樣的論文是不會被接受的。還有更重要的一點是：根據直覺主義的觀點，數學許多的部分要被廢棄。排中律不能用於無限的集合中。

直覺主義者認為數學是人的創造。他們的某些對手也承認這一點。有人會想，既然數學是人的創造，那數學研究不就太簡單了嗎？我們的回答是：你來試試便知道了。

希爾伯特所領導的形式主義派認為：數學不是一種邏輯的結果，而是一種自然存在的法則。對待數學的可靠的方法是不把它當作實際知識，而是當作一種形式上的法則。數學思想的要素就是符號和符號組合或串聯而成的命題。看來，他們是要調和邏輯派和直覺派的矛盾。今天所有的數學書中充滿著各種符號，就是這一派的影響的體現。

另一派是策梅羅創建的集合論公理化派。顧名思義，這一派是要把集合論公理化。它想把前三者的某些東西結合起來。它的追隨者最多。今天的高中生都要學一點集合論，就是這一派的功勞。某些沒有曆史感的曆史學家經常在曆史中找什麽公理化思想就是受這一派的影響。

這幾派互相攻擊，有時也互相取所長。倒也相安無事。

但對數學進行了一場毀滅性打擊的是哥德爾。

哥德爾在1931年發表了一篇論文《論數學原理中的形式不可判定命題及有關係統》。他的結論是毀滅性的：任何數學係統，隻要其能包含整數的算術，其相容性就不能通過邏輯體係的方法而建立。他的一個推論稱為“哥德爾不完備定理”，是說：如果一個形式理論T足以容納算術邏輯並且無矛盾，則T必定是不完備的。相容性是以不完備為代價的。數學家當年假設的相容性和完備性是我們數學邏輯所必需的兩條的斷言成為夢囈。

不僅僅是數學的全部，甚至任何係統都不能用類似哥德爾使用的能算術化的數學和邏輯公理體係加以概括。因為任何這樣的公理係統都是不完備的。任何係統內部都可能存在著不可判斷的命題。這裏的“不可判斷”是指邏輯結構而言的，不是因為我們的智力愚鈍或信息不足等原因導致的。

在這種意義上講，何談什麽危機不危機的，說什麽數學出現“危機”這一論斷是假設一個前提，即認為：數學應是完備的和相容的，至少是相容的。

完備性和相容性是邏輯主義和公理化派（至少在部分意義上講）賴以走路的兩條腿，現在哥德爾告訴他們這兩條腿無法同時滿足——數學注定是一個瘸子。

在某種意義上講，哥德爾不完備性定理是對排種律的否定。

至此，旨在1可能存在的矛盾與建立數學結構相容性的努力宣告失敗。是接受公理化派的方法，還是直覺主義的方法，數學家們不再有一致的看法。

魏爾說：“邏輯是數學家們用來保持他思想健康強壯的衛生手段。”證明確實起到了一定的作用，它減少了（不是消滅了）矛盾出現的危險。數學雜誌接受論文時仍需有適當的證明，至於什麽是“適當的證明”不會有天下共同的看法，它取決於數學家的觀念而有別。

數學是人類的一種活動，它受製於人類的各種弱點和過失。它需要不斷修正。盡管如此，數學仍是可用的最好知識的典範，仍是人類思想中最貴重的寶石。

數學在各個領域的應用依然是那樣卓有成效。

數學界分裂成兩大派：“純粹數學”和應用數學。

荷馬說，國王西西弗斯死後，諸神罰他推一塊巨石上山，而在他接近山頂時，又使石頭落到山下，於是他從新開始。如此勞作不已。克萊茵把現代的數學家比喻成現代的西西弗斯，他們將永遠推下去。

我們也打個比方：數學像一個航空港的侯機大樓。大樓按照一定的應用要求和它自己“內部的規則”不斷向前延伸。大樓向何方延伸取決於人不同時期的想法、航空港的限定和大樓本身的要求。各部之間可能出現無法協調的矛盾，但“工程師們”想方把它們降到最低，至少是為了使用方便的目的，保存它們在我們能忍受的程度內。這些“工程師”所幹的東西就是今天的數學家們所從事的活動。

最後《數學：確定性的喪失》不是指1加2是不是等於3一類的問題，而是指：數學所描述的東西不再是“自然本身”所擁有的那樣子——人類曾經那樣認為過——那是一種幻覺而已。

愛因斯坦曾經說過：“我們不斷對自然作出拷問：是這樣嗎? 是那樣嗎？自然界多數是沉默無語，偶然回答：也許是。”

我們可以把它用來描述今天的數學。