五  兩個信封問題

1

有兩個一模一樣的信封，裏麵都裝有現金，其中一封是另一封的兩倍。你可以隨便選取一個信封，其中的現金是你的獎品。在你還未打開選好的信封之前，問：要不要換成另一個信封？

換，還是不換？

2

決定換還是不換，準則隻能是另一封信裏的錢是否更多。

如何知道另一封信裏的錢是否更多？在沒有打開信封之前，不可能知道裏麵有多少錢，那是一個未知數，或者準確一點說，是個隨機變量。對待隨機變量，我們無法事先知道它的精確值，但有時能算出它的數學期望值。數學期望值，實際上就是我們常用的平均值。如果知道隨機變量的概率分布，就可以算出它的數學期望值。比方說，如果隨機變量X可以取值a和b，其期望值E(X)就是E(X)=ap+bq，其中p和q分別是X=a和X=b的概率。因為X隻取a和b兩個值，必定有 p+q=1。粗略地說，如果你不知道隨機變量的精確值，往往可以用期望值代用。

3

如何計算信封裏現金的期望值呢？下麵是一段推理，稱之為推理一。

1：用A表示所選信封裏的現金。
2：A是小錢的概率是1/2，A是大錢的概率也是1/2。
3：用X表示另一封信裏的現金，則有p = P(X=2A) = 1/2, q = P(X=A/2) = 1/2。
4：所以X是一個隨機變量，其數學期望值為E(X) = (1/2)(2A)+(1/2)(A/2) = (5/4)A。
5：因為E(X) > A，換是合理的選擇。

這段推理有問題嗎？似乎每一步都合情合理，中規中矩。

假如推理正確無誤，那麽再問：想不想換回原來的信封？ 

又該如何是好？

4

細想的確有點不對勁，但問題出在哪裏呢？

先看第4步。從期望值的計算來看，信封裏的現金變成了要麽是大錢2A，要麽是小錢A/2，大錢小錢之比是4，明顯和原題有出入。原題中的大錢小錢之比是2。

第4步的計算來自第3步，所以我們看第3步。第3步說，另一信封裏的現金是大錢和小錢的概率各占一半，並無不妥。

再看第2步。有問題嗎？

有！

細思極恐，問題就出現在不經意的細節。

不錯，A是小錢和大錢的概率的確都是1/2，但大錢和小錢是不同的值，用同一個數A表示容易引起誤解，後麵的錯誤就是源於此處。實際上A是一個隨機變量，它是大錢和小錢的概率各占1/2。

5

我們換一個思路，看下麵的推理二。

兩個信封，一個裏麵的現金是B元，另一個是2B元。用Y表示所選信封裏的現金數，則Y是一個隨機變量。我們有 P(Y = B) = 1/2和P(Y = 2B) = 1/2。這裏可以看出，Y是大錢時它的值是2B，Y是小錢時它的值是B，不能簡單的用同一值表示。

用X表示另一信封裏的現金數，則有 P(X = 2B) = 1/2和P(X = B) = 1/2。所以E(X)=(1/2)(2B) + (1/2)B = (3/2)B。同樣，E(Y)=(3/2)B。

兩個信封裏現金的期望值一模一樣，交換不帶來任何好處。

6  

下麵的領帶問題是一個變種，同樣有趣。

情人節過後，兩個男人在酒吧見了麵，每人都打了一條新領帶。甲說：“很高興見到你，瞧我太太給我買的領帶，又便宜又好。” 乙說：“可不是嗎，我太太給我的領帶更便宜更好。”於是兩人頂上嘴了，都宣稱自己的太太更加賢惠能幹，買的領帶更加實惠合適。好在兩位都是紳士，決定用打賭的方法解決爭端：誰的領帶貴就把領帶送給對方。

甲心裏想：“如果我輸了，輸的是我的領帶，如果贏了，就是贏更貴的領帶，輸和贏的概率都是1/2，因此期望值總是正數。這個賭隻贏不虧。” 於是甲非常高興。

乙也是同樣的想法，自然眉飛色舞。

為什麽會這樣呢？