大洋岸邊的風光
人生經曆
比特老師的三個學生轉來以後，我不打算在課堂上教他們任何課程，讓他們自己管理自己。
我跟他們說：“我已經了解過你們過去的學習情況，你們在比特老師的班裏，該學的都學過兩遍了。在我的班裏，我不會再教你們一遍的，你們要認認真真自己複習，自己找些課本上的練習題來做，不懂的時候可以問我。”
我以為，我什麽課程都不教，什麽練習題也不規定去做，到考試的時候，他們不會有多大進步的，考試及格的概率最多就隻有百分之一，這百分之一就是運氣。
但是，我會用一些時間，給他們講些如何進行邏輯分析的問題，甚至開幾句玩笑，以使課堂氣氛不至於太沉悶，也免得他們在課堂上總幹些別的事情。
他們聽到我給他們這麽輕鬆的學習計劃後，都高興極了。
其中一個學生說：“老師你真好，不要我們重學一遍，比特老師就太死板了。”
我說：“既然已經給你們換了老師，就不要再說前任老師的壞話，明白嗎？”
有一天，艾薩斯問我如何計算概率，我就先給她解釋概率的定義。
我說，通常，我們用概率來研究隨機事件發生的可能性有多高，用百分數、分數、或者0 - 1的小數來表示。所謂概率，隻是一種對未來事件是否會發生的估計和猜測，並不代表事件真的要發生或者不發生。
我問她：“估計和猜測有什麽區別嗎？”
她想了一下：“應該沒什麽區別，是同一個意思吧？”
我說：“是有區別的。估計，是根據一些現象和數據作出可能性有多高的判斷；而猜測，在很大程度上是沒有依據的，隻是隨意一個數而已。”
她問我：“能不能給我舉個例子？”
“例如，我要你估計我今年幾歲了？如果你說，國老師大概四十幾歲、五十幾歲、或者大概六十幾歲，都靠譜，這就是估計，因為你根據我的外貌舉止作出有可能的判斷。但如果你說，國老師今年十八歲，或者今年起碼八十歲，這就是猜測，因為這一點依據都沒有，隻是瞎猜。”
“那我明白了估計和猜測的區別，但為什麽概率是估計和猜測都有？”
“因為概率隻是對事件會不會發生做數學上的分析，但卻不能肯定事件會不會發生。”
“既然概率是多少，都不能確定事件會不會發生，那計算概率還有什麽意義？”
“這意義就在於我們可以知道，可能發生的事件在所有事件中占有多大的比例。”
“那麽，計算概率和計算百分比就是同一種方法了。”
“在計算簡單的概率時，就可以這麽理解。”
“那以後我遇到簡單的概率計算時，我把它當作比例來計算就可以了，對不對？”
“完全正確。”
“那就很簡單了。”
我繼續說：“剛才我們所討論的，你從中就學會了一種數學邏輯推理啦。”
她聽了很高興：“這就是數學邏輯推理？這麽簡單嗎？我還以為數學邏輯推理是很神秘的東西。”
又有一天，我要求這三個學生思考這個問題：“1”的定義是什麽？“2”的定義是什麽？“3”的定義是什麽？
我給他們先作些解釋和提示：你們認為數字“1”是什麽，“2”是什麽，“3”又是什麽？不作任何運算，“2”會不會是“1”，而“1”又會不會是“2”或者“3”？
我給他們十分鍾的時間思考一下，然後再回答我的問題。
毫無疑問，他們的回答當然是這樣：“1”就是“1”，就像1支筆、1本書、1元錢。“2”就是“2”，1支筆加上1支筆就是2支筆，1本書加上1本書就是2本書，1元加1元就是2元。不作任何計算，“1”不能成為“2”，而“2”也不能成為“1”。
我告訴他們，答案不完全正確。
他們說：“難道‘1’可以是‘2’，‘2’可以是‘1’，怎麽可能？”
我說：“學數學，對數字要有深一層的理解，才能叫做學數學，要不，隻能叫做學玩數字遊戲。”
隨後，我跟他們討論數字更深一層的數學意義。
首先，1， 2， 3， 4，…，是對一個特定的標準的比較，才出現了各種各樣的數。我在白板上畫了一條線段，接著說，例如，這條線段就是一個特定的標準，我們可以把它定義為“1”。我在白板上再畫了幾條長度不一的線段，分別為“1”的2倍、3倍、4倍。我拿這幾條線段與標準線段“1”作比較，我說，這就是“2”、“3”、“4”。
我這麽一說，他們突然提起精神來，很認真地聽我解釋下去。
我繼續說，如果我把“2”線段作為標準，會出現什麽變化呢？這樣，原來的“2”變成了“1”，而原來的“1”就隻能是“0.5”，原來的“3”也隻能是“1.5”，原來的“4”就變成了“2”。
我問他們：“從這個例子中，你們得到什麽啟發嗎？”
一個同學說：“不同的比較標準，會有不同的數。”
我說：“很好，完全正確。也就是說，數是各種事物在數量上對某一個特定標準的比較。”
所以，我們就有了尺，有了秤，有了時鍾，各種各樣的計量器具，這些器具的作用都是用來做比較標準的。我們定義了一個長度為“1寸”，那麽，所有的長度都以它為標準，我們就量出了“2寸”、“3寸”、等等。同樣，我們定義了一個重量為“1磅”，所有的重量都以它為標準，我們就稱出了“1.5磅”、“3磅”、等等。如果采用不同的標準，即使是相同的東西，就會有不同的“數”，這樣我們就要單位換算，來找出相應的“數”來。
我問他們：“在現實生活中，數必須與什麽聯係在一起，才有實際意義？”
他們回答我：“是事物的運算單位。”
我說：“那就對了，所以，我們在解數學應用題的時候，一定要根據運算單位來分析，才能找到正確的思路，而不至於瞎碰答案。如果純粹的數字運算，是數學家做的事，對我們來說，隻能是數字遊戲，毫無意義。”
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很感謝你的介紹，我也要從中提高自己的知識水平。
2。幾何解析代數的方法曆史悠久，早就見諸很多書籍。我們上中學時老師就有。
3。在加拿大的每個中學的“數學”8/9/10裏都有你舉的幾何解代數的解說或題例。
4。在加拿大每年的中學數學競賽題例至少有一道是代數/幾何的轉換
5。參考書：Nelson，Castle，Raven， 或滑鐵盧大學數學係的競賽教案,都有你說的例子。
6。等你的學生長大了，看的書多了，這類方法比比皆是。
我覺得是“No”。高斯是用代數的方法，而不是幾何分析的方法。
還是天天都提到的：就一故事，千萬別對號入座。
高斯用的是代數的方法，而不是幾何分析。他把第一項和最後一項合並，得到101，第二項和倒數第二項合並，也是101，第三項和倒數第三項合並，還是101，如此類推，就得到50組101，然後用50 x 101 = 5050。這就是常說的“高斯方法。”
就是這種感覺
美國的教科書總體來說挺好的，講得很詳細、直觀，適合大多數學生，但就是太冗長了，我就受不了。
那是你的運氣不大好吧，沒遇到你喜歡的老師，是嗎？
謝謝
其實教課的時間長了，就會悟出些道理來。
我高中時的語文老師也教得特別好，可以說是所有教過我的老師當中最棒的，我永遠都記得。
肥仔主任確實是個好人
謝謝
對自學能力不好的學生，老師的指導是非常重要的。
也謝謝你的支持
謝謝你的評價
這個肥仔主任看來也不錯嘛，希望是受到了西雅圖的良好影響。