第四章 從數學家到精神病患者(轉帖)

第四章 從數學家到精神病患者 ——集合論的創立與康托爾的遭遇 　　19世紀末期，數學界出現了一件引人注目的事情。一位名叫康托爾（G.Cantor， 1845－1918）的德國數學家提出一種令人費解的古怪理論----集合論。它的內容是 如此與常識格格不入，以致於一出世就引起了一場軒然大波。 　　無窮世界的“探險家” 　　集合論的出現，向人們展示了一個由無窮數量關係組成的新奇世界。康托爾是 憑著探險家的勇氣闖入這個新奇世界的。他發現了許多簡直難以置信的事情。 康托爾是在研究微積分理論的邏輯基礎問題時，開始著手創立集合論的。自從 17世紀牛頓（I.Newton，1642－1727）和萊布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716） 創立微積分理論體係之後，在近一二百年時間裏，微積分理論一直缺乏一個嚴格的 邏輯基礎。它的一些基本概念的表述，還有某些混亂和自相矛盾之處。從19世紀開 始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏爾斯特拉斯（K.Weierstrass，1815 －1897）等人進行了微積分理論嚴格化的工作。他們建立了極限理論，並把極限理 論的基礎歸結為實數理論。那麽，實數理論的基礎又該是什麽呢？康托爾試圖用集 合論來作為實數理論，以至整個微積分理論體係的基礎。 出於這一目的，康托爾用集合的觀點重新考察各種數量關係，特別是無窮數量 關係。他發現，無窮集合有著有窮數量關係所不具備的性質。比如，在無窮集合領 域，所有整數和所有偶數之間是一一對應的，所有理數和所有整數之間是一一對應 的，平麵上所有的點和線段上所有的點是一一對應的，……概言之，在無窮的世界 裏，整體的所有元素和部分的所有元素之間可以是一一對應的。另外，無窮集合並 不都是相等的，比如所有實數和所有有理數之間就不是一一對應的。因而，無窮集 合是有大小的。集合論用“基數”這個概念來表示無窮集合間的區別。那麽，有沒 有一個最大的集合呢？康托爾通過研究，否定了這個想法。因為每個已知集合的所 有子集所構成集合，其基數都大於已知集合的基數。既然沒有最大的基數，當然也 沒有最大的集合。無窮世界裏的這些性質，初看起來，真是令人頭暈目眩。甚至康 托爾本人在創立集合論的過程上，也時時感到心神不定。他在獲得線性連續統和π 維連續統之間有一一對應關係的結果後，寫信給數學家戴德金（R.Dedekind，1831 －1916）說：“我見到了，但我不相信”。然而，集合論的成果畢竟是有嚴格邏輯 根據的。並且它在解決實數理論邏輯基礎問題中發揮了別的理論無法取代的重要作 用。實踐使康托爾堅定了信心，更加勇敢地前進，大膽挖掘無窮世界裏的寶藏。他 在提出超限基數和超限序數的過程中說：“我確實不知道，什麽能夠限製我們這種 形成新數的活動，隻要可以說明，為了科學的發展，引入一個這種無窮的新數對於 研究是需要的或者是不可少的”。 從數學家到精神病患者 　　康托爾的研究成果發表之後，馬上遭致當時一些赫赫有名的數學家的激烈攻擊。 德國數學家克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891）是這些人中言辭最激烈、攻擊 時間最長的一個。 　　克隆尼克比康托爾年長22歲。當康托爾還是柏林大學的學生時，克隆尼克已經 是在這個學校任教的著名數學家了。克隆尼克在數學上，特別是在高等代數方麵有 很多貢獻。然而他一有個壞毛病，就是習慣於用刻薄的語言無情地攻擊所有和他意 見不一致的數學家。他主張，除非一種數學對象能夠用有限步驟從自然數中構造出 來，否則不能認為它在數學上是存在的。他有一句“名言”：“上帝創造了自然數， 其餘的一切才是人做的工作”。因此，他否認無理數的存在，也否認極限理論的意 義。他常常譏笑魏爾斯特拉斯的工作：“有趣，可惜不是數學”。他和數學家林德 曼談話時說：“你那個關於π的漂亮研究有什麽用呢？無理數根本就不存在，你為 什麽要研究這種問題？雖然康托爾是他的學生，但由於集合論的內容同他的主張大 相徑庭，所以克隆尼克簡直到了不能容忍的程度。他認為，康托爾關於超限數的研 究，是一種非常危險的數學瘋病。因而他各種用得上提尖刻語言，粗暴地、連續不 斷地攻擊康托爾達十年之久。他甚至在柏林大學的學生麵前公開攻擊康托爾，這在 許多數學家看來是很過分的事情。康托爾一直在哈勒大學任教，薪金很微薄，幾次 想在柏林得到一個薪金較高、聲望更大的教授職位。但由於克隆尼克橫加阻撓，使 得康托爾想在柏林得到職位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。克隆尼克的影響 還使康托爾的學術論文一再延誤發表日期。總之，克隆尼克的專橫無理令人震驚， 他的激烈攻擊使康托爾的精神狀態受到極大損害。 　　除了克隆尼克之外，還有一些著名數學家也對集合論發表了反對意見。法國數 學家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）說：“我個人，而且還不隻我一人，認 為重要之點在於，切勿引進一些不能用有限個文字去完全定義好的東西”。他把集 合論當作一個有趣的“病理學的情形”來談，並且預測說：“後一代將把（Cantor） 集合論當作一種疾病，而人們已經從中恢複過來了”。德國數學家魏爾（C.H.Her- mann Wey1，1885－1955）認為，康托爾關於基數的等級觀點是霧上之霧。菲利克 斯．克萊因（F.Klein，1849－1925）也不讚成集合論的思想。數學家H．A．施瓦 茲原來是康托爾的好友，但他由於反對集合論而同康托爾斷交。 在克隆尼克等人的圍攻和反對下，康托爾的精神逐漸崩潰了。他天性神經過敏， 容易激動，經受不了這種暴風雨嶴的攻擊。盡管有希爾伯特（D.Hilbert，1862－ 1943）等著名數學家讚同他的集合論，盡管他的集合論事實上已取得巨大的成功， 仍未能使康托爾感到欣慰和滿足。從1884年春天起，即在他40歲的時候，他患了嚴 重的憂鬱症，極度沮喪，神態不安。在他生命的最後幾十年裏，這種精神病時時發 作，使他不得不經常住到精神病院的療養所去。他變得很自卑，甚至懷疑自己的工 作是否可靠。他請求哈勒大學當局把他的數學教授職位改為哲學教授職位。不過， 在精神病發作的間歇階段，康托爾仍然頑強地堅持集合論的研究。而且當每次從精 神病發作中恢複過來的時候，他都感到自己的腦子變得格外清晰。他在集合論方麵 許多非常出色的成果，都是在精神病發作的間歇時期獲得的。然而，長期的精神折 磨所造成的危害畢竟是不容忽視的。由於健康狀況逐漸惡化，1918年，他在哈勒大 學附屬精神病院去世。 康托爾的結局是悲慘的。英國科學史家E．T．貝爾回顧這段往事時說，克隆尼 克認為集合論的出現是一種數學瘋病。然而被送進精神病院的並不是集合論而是康 托爾。克隆尼克的攻擊實際上打垮了這一理論的創造者。一位數學家為自己創立的 理論付出這樣大的代價，這種事情在數學史上還是不多見的。 　　“悲劇”的成因 　　在造成康托爾的悲劇的諸因素中，克隆尼克時常被人們指責為罪魁禍首。然而， 其他方麵因素也是同樣值得重視的。隻有把各種因素聯係起來思考，才能全麵認識 形成這一悲劇的原因。 克隆尼克等人的圍攻之所以能夠奏效，與康托爾本人的思想狀況是有直接關係 的。這不僅是由於康托爾的性情，更主要的還是思維方法上的原因。康托爾相信自 己在創立一種合理的有關無窮的理論方麵邁出了第一步，也是最後的一步。他迫切 希望人們給予承認和高度讚賞。缺乏承認的局麵激怒了他，才使他控製不了自己的 情緒，不自覺地進入憂鬱症的狀態。數學家A．舍恩弗裏斯認為，康托爾的健康惡化 是由於他竭盡全力想解決各種問題，特別是“連德統假設”問題。這可能也是一個 重要原因。無論如何，康托爾缺乏羅巴切夫斯基（H.И.ЛoqaЧebckИЙ，1792－ 1886）那樣的冷靜頭腦和寬闊胸懷。他過於自信，但卻不堅定，他十分勇敢，但卻 不沉著。他缺少對相反意見和譏諷嘲笑的充足思想準備，以為一個新事物一出世就 會引起世人喝采。因而當自已的希望破滅之後，就難免頹唐失望，使身心遭受不應 有的損害。 還應看到，康托爾對於來自各方麵的反對意見，不是完全依靠集合論的現實根 據，通過發展集合論的實際應用效果來加以反駁，而是經常求助於對柏拉圖主義的 信仰。他把集合論看作是“形而上學的理論”，相信無窮集合“既具體又抽象地” 實際存在著，和柏拉圖的“理念”是一樣的東西。他有著把數學和神學、哲學調和 起來的傾向，明確表示信奉柏拉圖體係的原理以及萊布尼茨、托馬斯．阿奎那（Th omas Aquinas，1225－1274）等人的理論。可是，在嚴肅的數學爭論問題麵前， 求助於唯心論和宗教信仰是無用的。康托爾對反對意見的答辯，時常顯得蒼白無力， 起不到說服對方的作用。恰恰相反，反對意見卻時常能長驅直入，不僅打擊集合論 發展中的某些薄弱環節，而且震憾了康托爾把數學、神學和哲學糾纏在一起的內心 世界。任何數學上新事物的成長，都必須從現實中汲取營養。像集合論這樣遠遠超 出一般人常識的新理論，更需要在現實中一步一步開拓自己的前進道路。康托爾一 隻腳踏在數學領域上，另一隻腳踏在唯心主義和宗教的泥坑裏，難免在風浪麵前搖 擺不定，摔得到處是傷。 康托爾本人也存在思想弱點，這是造成他一生悲劇的內因。外界的反對力量過 於強大，則是造成悲劇的外因。假若隻是克隆尼克一個人，或再帶著幾個影響較小 的數學家反對集合論，那麽造成的聲勢就會小得多，康托爾也未必承受不了反對力 量的打擊。然而在反對陣營裏還有彭加勒、魏耳和菲利克斯．克萊因，他們都是當 時數學界舉足輕重、極有影響的人物。而且他們在其他方麵往往是思想活躍，很容 易接受新事物的。一般說來，他們也極少個觀和常識出發來判斷問題。非歐幾何剛 出現時是違背常識的。但是菲利克斯．克萊因和彭加勒分別建立了非歐幾何與歐氏 幾何之間的等價的邏輯聯係，在使非歐幾何為數學界接受方麵發揮了十分重要的作 用。這些情況很容易使人們聯想到，既然這些著名數學家在別的方麵並不思想僵化， 而且看問題很深刻，那麽他們反對集合論就不可能是沒有道理的。在數學界，由於 研究工作基本上依靠理論思維，所以學術帶頭人的學術傾向往往產生一呼百應的效 果。一批數學界的“巨人”一起站出來攻擊康托爾的工作，又帶動了很多數學家作 響應，難怪康托爾招架不住，在思想防線上迅速崩潰 。 那麽，克隆尼克、彭加勒等人為什麽對集合論這樣深惡痛絕呢？集合論出現之 後，很快在數學研究中，特別是在解決實數理論邏輯基礎問題中發揮了明顯作用， 他們為什麽視不見泥？這裏固然有性情和學術品質方麵的因素，但主要的也是思維 方法上的原因。這些人中的絕大多數，持有和克隆尼克一樣的觀點，認為任何數學 對象必須能用有限步驟從自然數構造出來。而無窮集合不符合這個要求，那就不應 成為數學研究的對象，當然集合論也不是數學。他們頭腦中很可能有著捍衛數學理 論嚴格性和純潔性的良好願望。但他們不是把實踐作為判斷數學對象現實性和數學 理論真理性的標準，卻主觀武斷地為數學研究劃出一條人為界限，要把所有不能用 構造方法獲得的數學理論，不僅是集合論，還有很大一部分數學分析理論，都統統 排斥在數學領域之外。希爾伯特曾指出，克隆尼克的方案是要把我們的科學肢解， 使它殘缺不全。如果我們接受這種“改革辦法”，就要失去我們最有價值的寶藏的 大部分。他說：“沒有任何人能把我們從康托爾為我們創造的樂園中清除出去”。 他所說的“樂園”就是指集合論。事實證明希爾伯物是對的。克隆尼克等人並未能 阻止集合論的生長，也未能阻止絕大多數數學家最終把集合論看作現代數學中理所 當然的組成部分。克隆尼克等人在看待數學對象的問題上，無疑犯了先驗、片麵的 弊病。曆史表明，給數學的發展劃定先入為主的界限的努力，是決不會成功的。 　　曆史的教訓 　　集合論的創立和康托爾的遭遇，給後人留下的曆史教訓是很深刻的。它告誡人 們，要堅持和發展科學真理，決不能離開實踐。科學理論的對象和內容越是抽象， 就越需要深深紮根在現實土壤之中。如果脫離實踐，到唯心主義和宗教那裏去尋求 精神支柱，隻能誤入岐途，給科學新成果的宣傳和普及增設障礙。它還告誡人們， 當一種新的科學發現或發明出現的時候，不要憑借直觀的、常識或以往的經驗來下 判斷，更不要給科學成果施加某種主觀的、人為的標準。真理的唯一標準隻能是人 們的實踐。它告誡那些創造科學新成就的人們，要有充分的精神準備聽取各種反對 意見，承受可能出現的冷遇、嘲諷和打擊，克服前進道路上的各種困難。要充分認 識到，獲得科學發現是艱苦的，使科學發現為人們理解同樣的艱苦的，兩者都要經 曆一個奮鬥的過程，決不可能一蹴而就。它還告誡那些評價科學新成新的人們，要 冷靜、客觀、全麵地看待每一項科學發現或發明，要善意地對待科學新成果發展過 程中難免的缺點和弱點。科學工作者要注意科學道德修養，避免再出現克隆尼克那 樣的事情。像集合論這樣的科學成果，在科學發展中應是越來越多的；而像康托爾 這樣的悲慘遭遇，則是不應該再出現了。