第三章 劃過代數理論夜空的流星(轉帖)

第三章 劃過代數理論夜空的流星

——伽羅華的早逝和群論的命運

埃．伽羅華（E.Galois，1811－1832）創立了具有劃時代意義的數學分支—
—群論在數學發展史上作出了重大貢獻。但是，他在還不到21歲的時候就與世長辭
了。剖析伽羅華短促而坎坷的一生，對於我們如何對待人才，怎樣發展科學，具有
一定的啟發作用。

伽羅華是法國巴黎郊區布爾—拉—林鎮鎮長的兒子。12歲之前受他母親教育的，
在這時期他學習了希臘語、拉丁文和通常的算術課。1923年他離開了雙親，考入巴
黎預科學校路易—勒—格蘭學院（皇家中學），從而開始接受正規學校的教育。在
第三年，他報名選學了第一門數學課。由於他的老師深刻地講授，伽羅華對數學產
生了濃厚的興趣，他很快地學完了通常規定的課程，並求教於當時的數學大師。他
如饑似渴地閱讀了A．M．勒讓德的著作《幾何原理》和T．L．拉格朗日的《代數方
程的解法》、《解析函數論》、《微積分學教程》。由於他刻苦學習，能著重領會
和掌握其中的數學思維方法，因引，這些功課的學習，使他思路開闊，科學創造的
思維能力得到了訓練和提高。他的中學數學專業班的老師裏查說“伽羅華隻宜在數
學的尖端領域工作”。1829年3月他在《純粹與應用數學年報》上發表了他的第一
篇論文——《周期連分數的一個定理的證明》。這時他還是一位中學生。他曾先後
兩次參加綜合技術大學的入學考試，結果都落第了。1829年7月2日，正當他準備入
學考試的時候，他父親由於受不了牧師的攻擊、誹謗、自殺了。這些遭遇都給伽羅
華帶來了不幸。1829年10月25日，他隻被師範大學錄取為預備生。

當伽羅華17歲時，就著手研究數學中最困難的問題之一一般π次方程求解問題。
我們知道，一般的二次方程的解，要求對係數的一個函數求平方根。要得出三次方
程的一般解，要求對係數的函數開立方。一般的四次方程的解，要求開四次方。一
般的五次方程的解是否也能用加減乘除開方這五種運算的代數方法從方程的係數得
出呢？許多人為之耗去許多精力，但都失敗了。直到1770年，法國數學家拉格朗日
對上述問題的研究才算邁出重要的一步。他精心分析了二次、三次、四次方程根式
解結構之後，提出了方程的預解式概念，並且進一步看出預解式和諸根排列置換下
形式不變性有關，這時他認識到求解一般五次方程的代數方法可能不存在。此後，
挪威數學家阿貝爾利用置換群的理論給出了高於四次的一般代數方程的代數求解公
式不存在的嚴格證明。伽羅華在前人研究成果的基礎上，利用群論的方法，從係統
結構的整體上徹底解決了根式解的難題。他從拉格朗日那裏學習和繼承了問題轉化
的思想，即把預解式的構成同置換群聯係起來，並在阿貝爾研究的基礎上，進一步
發展了他的思想，把全部問題轉化成或者歸結為置換群及其子群結構的分析上。高
斯早就預見到代數方程的根式解的問題終歸為二項方程的求解問題。伽羅華仔細分
析了具有根式解的二項方程作為“預解方程”時所對應的置換子群的特征。結果他
發現，如果一個群可以生成一係列極大正規子群，而它們的合成因子是質數，則該
群是可解的。當大於四次的代數方程所對應的群的合成因子就不全是質數，因而五
次及高於五次的代數方程有些是不能用代數方法解出的。

　　1829年，伽羅華在他中學最後一年快要結束時，他把關於群論研究所初步結果
的第一批論文提交給法國科學院。科學院委托當時法國最傑出的數學家柯西作為這
些論文的鑒定人。在1830年1月18日柯西曾計劃對伽羅華的研究成果在科學院舉行
一次全麵的意見聽取會。他在一封信中寫道：“今天我應當向科學院提交一份關於
年輕的伽羅華的工作報告……但因病在家。我很貴憾未能出席今天的會議，希望你
安排我參加下次會議以討論已指明的議題。”然而，第二周當柯西向科學院宣讀他
自己的一篇論文時，並未介紹伽羅華的著作。為什麽會發生這樣的事情？這是值得
研究的一個問題。1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細地寫成論文交上去
了。以參加科學院的數學大獎評選，論文寄給當時科學院終身秘書J．B．傅立葉，
但傅立葉在當年5月就去世了，在他的遺物中未能發現伽羅華的手稿。就這樣，伽
羅華遞交的兩次數學論文都被遺失了。

人們由於受已有經驗、舊傳統觀念和偏見的束縛，往往產生出一種墨守陳規的
傾向和不願接受新鮮事物的惰性。我們認為：柯西之所以原先打算討論伽羅華所提
供的報告，以後又不了了之，很可能是他思想的偏見所致，領會不了伽羅華在數學
上具有革命性的新思想。在伽羅華之前人們考慮方程求解問題，基本是一個方法一
個方法孤立地去解決，解次數不同的方程，用不同的方法。直到拉格朗日開始，才
注意到解各種代數方程的方法之間的聯係，並用根的置換理論看清了以前各種解法
之間的統一性。拉格朗日這種從整體上考慮問題的新的思想萌芽被伽羅華接受過來，
並大大發展了，產生出新的思想——係統結構的整體思想。把孤立地考慮方程求解
的問題歸結為數學新的對象——群及其子群的結構性質分析上去，這就從局部考慮
問題上升到整體考慮問題。這是以前數學家考慮問題不曾有的一種具有革命性的新
思想，從而開拓出群論這個新的數學研究領域。

　　1831年1月，伽羅華在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結論，
他寫成論文提交給法國科學院。這篇論文是伽羅華關於群論的重要著作。當時的數
學家S．K．泊鬆為了理解這篇論文絞盡了腦汁。盡管借助於拉格朗日已證明的一個
結果可以表明伽羅華所要證明的論斷是正確的，但最後他還是建議科學院否定它。

　　對事業必勝和信念激勵著年輕的伽羅華。雖然他的論文一再被丟失，得不到應
有的支持，但他並沒有灰心，他堅信他的科研成果，不僅一次又一次地想辦法傳播
出去，還進一步向更廣的領域探索。伽羅華誕生在拿破侖帝國時代，經曆了波旁王
朝的複辟時期，又趕上路易．腓力浦朝代初期。他是當時最先進的革命政治集團—
—共和黨的成員。這時法國激烈的政治鬥爭吸引了年輕熱情的伽羅華，他先後兩次
被捕入獄，並且被學校開除了。第二次被捕是1831年7月14日，直到1832年4月29日
才出獄。不久，由於參加無意義的決鬥受重傷，於5月31日離開了人間。在他臨死
的前一夜還把他的重大科研成果匆忙寫成後，委托他的朋友薛伐裏葉保存下來，從
而使他的勞動結晶流傳後世，造福人類。

　　伽羅華的重大創作在生前始終沒有機會發表。直到1846年，也就是他死後14年，
法國數學家劉維爾才著手整理後，首次發表於劉維爾主編的《數學雜誌》上，自此，
伽羅華的重大貢獻才逐漸為人們所了解。1870年法國數學家約當根據伽羅華的思想，
寫了《論置換與代數方程》一書，在這本書裏伽羅華的思想得到了進一步的闡述。
今天由伽羅華開創的群論，不僅對近代數學的各個方麵，而且對物理學、化學的許
多分支都產生了重大的影響。

伽羅華及其所創立的群論蒙難的曆史事實深刻地告訴我們：作為在學術上有傑
出貢獻的老一輩科學家，一定要積極熱情地鼓勵和支持年青一代的科學研究成果。
要發揚“甘當梯子”的精神，讓年青科學工作者“踩著自己的肩膀”攀登到科學的
頂峰。就是說，對於創造活力的青年人，作為老一代的科學家就應該像園丁培育芳
草一樣去精心澆灌，對於他們在創造過程中出現的這樣或那樣的問題應該耐心地予
以指教，有的問題應與他們一塊去思考，共同去完善提高它。不要怕青年人超過自
己，要歡迎他們超過自己。同時青年人也要尊重老一代科學家，虛心學習他的長處，
主動取得他們的支持和幫助。隻有這樣，才能各自發揮所長，共同攻關，攜手前進，
為迅速發展科學事業做出更大的貢獻。