在理性與感性的時空中（二）

在理性與感性的時空中（二）

——致過去、現在與將來並以自貺

 

“Let there be light”——當“光速不變”的物理觀測結果像耀眼的光束照射入經典物理的框架，時間與空間被“每秒30萬公裏”這個常數緊密關聯起來，一個嶄新的時空觀呼之欲出。在愛因斯坦以及洛倫茲、龐加萊、閔可夫斯基等人的努力下，一個結合物理觀測與數學表達的狹義相對論建立起來【注1】，徹底改變了人們一直以來將三維空間與一維時間作為兩個割裂的概念看待的傳統。從物理學的角度來講，在時間與空間割裂的傳統裏，同時性具有絕對性，與參照係的選擇無關；而在狹義相對論裏，如果不在同一個參照係，談論同一個瞬間（同時性）則是毫無意義的。愛因斯坦認為物理學上的時間必須是可以測量的時間，因此它在傳統哲學語言裏隻能是經驗的，既不是牛頓所說的絕對的實在也不是康德所說的先驗的觀念。在狹義相對論裏，時空再次回到“經驗感知的對象”，但它卻不同於休謨所論述的“時間與空間都來自經驗”，因為對“測量”的強調為“經驗”確立了實證主義的理性核心。

 

建立在“（真空中）光速不變”的實驗結果以及物理規律具有協變性這一相對性原理之上的狹義相對論不僅完成了對慣性係統中牛頓力學方程的修正使之與麥克斯韋方程協調，而且用閔可夫斯基時空取代了牛頓的絕對時空，消除了時間與空間之間的割裂。但是，作為牛頓的另一項劃時代的成果，萬有引力定律卻仍然獨立在狹義相對論的框架之外，這與愛因斯坦對科學的簡潔性與統一性的哲學理念是相抵觸的。愛因斯坦相信物理學規律在任意坐標係中形式都應不變，也就是相對性原理適用範圍不應被限定於慣性係統。但引力與慣性在經典力學裏是兩個相互獨立的概念：慣性是物質自身屬性，而引力則是物質在引力場中受到的作用。為了將引力納入相對性原理中，愛因斯坦指出就動力學效果來看，引力作用與加速度的作用等效，因此在無限小體積中，可以用均勻的引力場替代加速運動的參照係，從而使得引力與慣性同一。此外，在狹義相對論中，以恒定光速為基礎建立起來的閔可夫斯基時空具有與經典力學的絕對時空類似的均勻性與各向同性的特點，意味著剛性的尺和同步的鍾仍然存在；而在非慣性係統中，大範疇內平直坐標空間的概念失效，因此狹義相對論所依附的時空度規不能解決非慣性係統的問題。經過多年努力，愛因斯坦最終找到黎曼幾何作為支持他物理思想的數學工具。黎曼幾何是通過對歐氏幾何的第五公設（即平行公設）進行修改後得到的一種非歐幾何，與歐氏幾何不同的是，它不要求空間是平直剛性的。事實上，歐氏幾何可以看作是黎曼幾何的特例，因此黎曼幾何提供了一個更普遍的幾何框架。愛因斯坦與合作者格羅斯曼引入更廣泛的坐標係將引力納入到相對論的討論中來，提出著名的愛因斯坦場方程【注2】。如果說狹義相對論對時空觀的改造主要體現在對時間（同時性）的認識的根本改變上——時間與空間通過恒定的光速聯係起來，那麽廣義相對論對時空觀的改造則主要通過對空間概念的修改——空間與物質通過等效原理聯係起來。至此，時間、空間以及物質三者在廣義相對論中結合起來形成一個整體，時空不再是獨立於物質的絕對存在，按惠勒的話來說，“時空告訴物質如何運動，物質告訴時空如何扭曲”。在廣義相對論的基礎上，愛因斯坦進一步構建了一個有限而無邊的閉合宇宙模型，開啟了現代宇宙學研究。一百多年時間裏，星係紅移、宇宙微波背景等觀測成果以及宇宙膨脹、大爆炸、暗物質與黑洞等理論猜想既增加了人類對神秘宇宙的理性認知又不免讓人感歎——麵對廣袤宇宙與受限感知範圍的矛盾，人類可能將永遠無法從實證主義出發去回答一個問題：宇宙到底是有限的還是無限的呢？

 

人類時空觀的形成和發展固然與仰望星空有密不可分的關係，但麵對浩瀚宇宙，思考所涉及的往往與“永恒”與“無限（大）”相關，而事實上，人類對時空的思考除了探索如何表述宏大宇宙之外也有意或者無意地涉及到時間與空間是否可以無限分割這一問題。古希臘的芝諾悖論（以“阿基裏斯追烏龜”和“飛矢不動”最為著名）以及《莊子》裏記錄的“辯者二十一事”中的幾條（“輪不碾地”、“飛鳥之影，未嚐動也”、“鏃矢之疾，而有不行不至之時”以及“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”）就與時間與空間的連續性和無限分割的可行性有關。上麵提到的六個命題中，芝諾悖論中的兩個命題與“鏃矢之疾，而有不行不至之時”都明顯屬於運動學問題——現代人從數學極限出發就很容易理解其背後的道理。讓人驚訝的是，兩千多年前的亞裏士多德在分析芝諾悖論的時候就一針見血地指出其問題所在。按芝諾的說法，有限的空間可以分成無限多個部分，因此不能在有限的時間內完成。亞裏士多德指出，芝諾對空間無限分割的分析也可以用在時間上，也就是說有限的時間也可以分成無限多個部分，因此用無限多的時間片段來完成無限多的空間距離是可行的。實際上，這裏亞裏士多德的分析已經隱約有了初步的微分概念。至於“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，雖然這個命題涉及空間是否能無限分割這個問題，但兩千多年前對這個命題以及“輪不碾地”、“飛鳥之影，未嚐動也”的辯論基本上是在名與實以及樸素辯證法的層麵展開的【注3】。

 

在光的波粒二象性、黑體輻射能量量子化以及原子結構模型基礎上建立並發展起來的量子力學真正開啟了人類在微觀尺度上對時間與空間本質的探索。不過，無論是波爾的氫原子模型還是薛定諤波函數方程都沿襲了經典力學中時間與空間相互獨立的觀念，倒是海森堡等人建立的矩陣力學借鑒了狹義相對論的時空矩陣形式——但也僅僅是在數學形式上。量子力學在時空觀念上的重要突破體現在不確定性原理以及基於量子概率對波函數的詮釋上。海森堡對“測量”有無比執著的追求，這也是當初他以可測物理量（而不是波爾模型中的軌道半徑）為關注點建立矩陣力學從而為波爾模型提供與實驗結果更全麵比對的可能。然而伴隨線性代數的引入，光譜線頻率、強度以及能級等方麵都得到很好解釋，但矩陣乘法的不可易性讓海森堡一度深感不安。稍後，海森堡再一次從測量角度出發（海森堡顯微鏡實驗）提出一個對不確定性原理的啟發性論述，而不確定性正是對矩陣力學中兩物理量（位置與動量、時間與能量）乘法不對易的物理詮釋【注4】。在如何理解薛定諤提出的波函數的時候，波恩率先引入“概率”與波函數的模方進行對應（波恩定則），泡利進一步將該概率解釋為在原子內軌道的特定位置“發現”該電子的概率——從本質上講，這是一個關於時空的統計描述。作為哥本哈根詮釋的重要內容，不確定性原理與波恩定則將概率的概念引入量子力學從而否定了傳統時空觀下的因果關係與決定論在量子係統的適用性。簡單來說，在經典力學以及相對論力學中，物體在時空軸【注5】上某一點的狀態（包括位置、動量、能量、受力等物理參數）決定了它在時空軸上下一點的狀態。對因果關係的信念也是導致從亞裏士多德到牛頓眾多哲學家、科學家不斷思考“第一推動力”的根源。現在，這一信條在量子力學中被打破了，其帶來的衝擊是如此巨大，難怪愛因斯坦會在他與波爾的著名思想實驗論戰中略帶嘲諷口氣地問對方否真的相信“親愛的上帝會擲骰子（ob der liebe Gott wurfelt）”。

 

現代科學發展建立起的方法論強調實證的重要作用，而“觀測”或者說是“測量”（“觀察”在廣義上也是某種測量）正是實證的必要手段。在哥本哈根詮釋中，對量子係統進行測量導致“波函數坍縮”被認為是建立在波函數模方概率與測量結果之間的橋梁。但是，“觀測導致波函數坍縮”這個概念不僅很難與人的直觀經驗調和而且對相對論構成了挑戰：是否這意味著信息傳遞的速度可能會因為波函數在測量瞬間的坍縮而超過光速？在給愛因斯坦的一封信中，對哥本哈根詮釋同樣不滿意的薛定諤提出了著名的“薛定諤貓”思想實驗，試圖將量子衰變行為與宏觀表象（貓的生死）聯係起來進而說明“波函數坍縮”的荒謬性。為規避“波函數坍縮”概念及其帶來的爭議，1950年代艾弗雷特提出了量子力學的多世界詮釋。按多世界詮釋，觀測本身並不導致波函數坍縮，而是導致量子係統原本糾纏的態退相幹並各自存在於相互間不能交流信息的平行世界中，因此觀測者所在的世界有確定的量子態。這個詮釋倒是很有一點萊布尼茨所說“上帝有充足的理由從諸多可能的世界中選擇了這一個世界”的意思。事實上，哥本哈根詮釋在物理學界至今還占主導地位，而多世界詮釋支持者並不太多，不過平行世界的概念早已超出物理學討論的範疇，在其他領域激發了很多想象與嚐試。

 

正如前麵所說，量子力學最初是建立在時間與空間相互獨立的經典力學框架上的，而在此之前，愛因斯坦的狹義相對論就已經把時間與空間關聯起來了。當薛定諤利用哈密頓類比在經典時空觀基礎上建立起量子力學方程之後，物理學家很自然就會去嚐試將狹義相對論的時空觀與量子力學結合起來。事實上，薛定諤在嚐試建立量子波動方程的時候，他最初的想法就是直接將量子化的概念與狹義相對論結合，但由此推導出的方程不能解釋氫原子的索末菲模型（該模型在波爾模型的基礎上做了相對論修正），這使得他不得不放棄相對論而轉為在經典時空的基礎上進行波動方程的推導，最終得到一個可以完美解釋波爾模型的薛定諤方程。在薛定諤公布他的非相對論量子波動方程之後不久，克萊因與戈爾登就分別獨立從狹義相對論的動量—能量方程出發得到描述自旋為零粒子的薛定諤方程的相對論形式，即克萊因-戈爾登方程。但該方程出現的負概率與波函數模方的概率解釋不融洽，因此方程的意義更多是在通往量子電動力學路上展現的創造性與啟發性。幾個月後，隨著電子自旋的發現和泡利自旋矩陣的引入，狄拉克推導出描述自旋1/2粒子的相對論量子力學方程，即狄拉克方程。狄拉克方程的波函數與概率解釋自洽，但與克萊因-戈爾登方程一樣麵臨負能量態的存在。為解決這一問題，狄拉克提出了讓很多人吐槽的“狄拉克之海”的假想模型，但他卻正確預言了正電子的存在。

 

從薛定諤方程到狄拉克方程，雖然在時空處理上不同，但它們都有一個共同的特點，即它們都是以微分方程的形式出現。微分形式這個特點與這些方程的推導出發點是試圖對單個波動粒子在時空中的運動進行描述有關——雖然這裏的波函數與粒子在確定時空位置的出現概率相關而不再像經典波動力學裏那樣直接與物體運動軌跡關聯。在牛頓推出他的經典力學方程之後，一些建立在它基礎上更為抽象（數學）的變分形式表述如哈密頓表述與拉格朗日表述也相應出現，同時運動係統的作用量原理也在拉格朗日體係裏麵得到證明。在數學上，微分運動方程存在與其對應的積分運動方程，但兩者在物理上的出發點並不一樣。與微分方程描述物體在特定空間與時間點的狀態不同，積分方程中係統的初始狀態和終結狀態固定不變，因此積分方程涉及從初始狀態到終結狀態的各種路徑可能。一些物理學家意識到積分方程在結合量子力學與相對論（甚至是廣義相對論）方麵潛在的數學便利性，因此開始嚐試對量子力學進行積分表述。狄拉克將路徑積分的思想通過拉格朗日量引入到量子力學的研究中，費曼最終完整地做出了不同於海森堡矩陣力學和薛定諤波動力學的第三種量子力學表述——路徑積分表述。在路徑積分表述中，粒子從初始狀態到終結狀態的概率是對各種可能路徑由拉格朗日量指數形式定義的幾率幅求和（積分）的結果。通過作用量原理，路徑積分表述不僅拋開了波粒二象性的概念，而且完美地將經典力學與量子力學統一起來。此外，路徑積分表述將時間與空間置於同等位置，其“（狹義）相對論不變性是自明的”，因此路徑積分表述為徹底融合狹義相對論與量子力學原理從而建立和完善量子場論起到重要作用。

 

雖然人類對從微觀到宏觀尺度範圍內物質與時空關係的探索已經取得相當多的成果，但仍然有一個巨大的難題擺在物理學家麵前：如何將量子場論與廣義相對論統一起來實現從微觀到宏觀的時空與物質的表述？將引力量子化作為橋梁把量子場論擴展到廣義相對論的時空構架中是當前研究的一個重點方向，這方麵的工作麵臨一係列挑戰也激發了各種應對設想。相信人類對探索時空萬物運行規則的熱情將永遠繼續下去。

 

作為對時空理性思考回顧的最後，我想回到兩個簡單易懂卻很難回答的問題：一是宇宙是有限的還是無限的？二是時間和空間是否連續並且可以無限分割？前麵提到的宇宙大爆炸理論似乎暗含了宇宙在時空上有限的意思，並且一般認為星係紅移和宇宙背景輻射的觀測結果支持這一理論。然而從科學實證主義出發，人類能做的觀測受視界限製並且一些觀測結果（甚至包括宇宙背景輻射的一些結果）並不能在大爆炸理論中的到解釋，因此目前稱“大爆炸理論模型”更為恰當。從哲學上看，如果宇宙經曆大爆炸，那宇宙之外是什麽、大爆炸之前發生了什麽這類無法實證的問題也會相應產生。在微觀方麵，從實證主義的觀點出發，對時間和長度是否量子化的回答目前應該是否定的——現有的物理學理論與實驗仍然是在連續時間和空間的框架下建構和運行的。由於引力在廣義相對論裏麵是廣義時空構成部分，因此前麵提到的引力量子化本質上就是時空量子化，也就是說對時空進行量子化處理是現代理論物理嚐試的課題。對於認為在普朗克時間和普朗克長度的微觀時空尺寸上，經典連續時空觀將不再適用的觀點，我在堅持實證主義的基礎上對時空量子化持開放態度，但具體到普朗克時間和普朗克長度是否是連續與量子化的界限方麵有很大保留。在上述觀點中，普朗克時間和普朗克長度被如此看重的原因大概是因為它們由三個基本物理常數（普朗克常數、光速以及萬有引力常數）構建，因此似乎具有一種特殊性。但我們應該注意到，同樣由這三個基本物理常數構建的帶質量量綱的普朗克質量遠遠大於微觀粒子質量。

 

羅素在他的名著《西方哲學史》裏麵對理性與信仰進行了區別並由此對宗教、哲學以及科學各自的範圍進行了定義。在區分哲學與科學的時候，他認為兩者都以理性思維為根本但同時強調實證主義對科學範圍的界定有不可取代的重要意義。關於時空或者宇宙問題，人類從經驗和實證兩方麵出發建立起來的物理學不斷擴展進入以前哲學的範疇，但限於人類觀察和測量的局限性，我相信在時空議題上將始終有哲學的聲音。在《西方哲學史》中，羅素還從實證主義出發進一步指出科學理論可以通過舉反例來證偽，同時他認為數學理論的正確性是自完備的，不具可證偽性，因此他將數學排除在科學範圍之外。從我自己的經驗來看，數學對物理學的發展所發揮的重要作用當然是不可否認也不容否認的，但數學終究不等於物理學，這一點近些年卻似乎有一些模糊了。

 

（未完待續）

 

二零二五年五月十六日於三柿園

 

【注1】    愛因斯坦、洛倫茲以及閔可夫斯基對狹義相對論的貢獻已經廣為人知，關於龐加萊對狹義相對論建立的貢獻，可參考金曉峰老師2022年在《物理》雜誌發表的題為“龐加萊的狹義相對論”係列文章。

【注2】    關於愛因斯坦建構廣義相對論的過程與意義，可參考曹則賢老師2015年在《物理》雜誌發表的題為“廣義相對論——純粹理性思維的巔峰之作”一文。

【注3】    馮友蘭在《中國哲學史》裏麵對《莊子》中提到的“辯者二十一事”做了“合同異”、“離堅白”兩種分類。其中“合同異”是惠施的觀點，也符合《莊子齊物論》的辯證思想；“離堅白”中“堅”為觸覺感知而“白”為視覺感知，該類別與公孫龍子的《堅白論》和《指物論》相關，其一般解讀為“堅”與“白”作為兩“指”（屬性）是相互獨立的——這種割裂地看待事物與其屬性的命題，正如公孫龍子的“白馬非馬”命題一樣，是莊子反對的。本文提到的“輪不碾地”、“飛鳥之影，未嚐動也”、“鏃矢之疾，而有不行不至之時”以及“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”在馮友蘭的著作裏都被歸為“離堅白”一類並在名與實的層麵作出了相應解釋。值得注意的是，在解釋“飛鳥”、“鏃矢”以及“一尺之棰”三個命題的時候，馮友蘭還提到了時間與空間以及金嶽霖從“思想”與“事實”兩方麵做出的解讀。

【注4】    “不確定性原理”常被稱作“測不準原理”，但實際上兩者之間是有區別的：不確定性原理是量子係統的內稟性質，與測量無關；而測不準原理則沒有排除測量手段與過程導致的不確定性（測量誤差的不可避免性）。海森堡最初論述不確定性原理所舉證的海森堡顯微鏡思想實驗實際上也混淆了“不確定性”與“測不準”兩者之間的區別。

【注5】    在牛頓經典力學裏麵，時間與空間是割裂的，因果聯係與絕對時間的先後順序相關。在狹義相對論裏，由於時間與空間通過光速關聯，因果聯係與時空的關係可以參考過去、現在與未來在光錐中的定義。廣義相對論在因果聯係的處理上沿襲了狹義相對論的方式。這裏使用“時空軸”一詞的目的是為了概括因果關係在經典力學與相對論力學中被一致遵循的本質。