科大瞬間
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【科大瞬間】特刊
《我們心中的科大》--建校60周年慶
紀念數學大師華羅庚
龔升
今年是數學大師華羅庚教授九十誕辰及逝世十五周年，國內外數學界要舉行各種紀念活動。
華老在國內可謂家喻戶曉。在眾多大、中、小學校園中，都可以在教室中見到他的畫像，郵局發行過紀念他的郵票，有多本描寫他生平的電視劇在中央電視台及各地電視台播放過，在中華世紀壇上有他的名字，有眾多以他命名的學校、叢書及公園，在不少地方有他的銅像，例如：中國科學院數學與係統科學研究院，中國科學技術大學，清華大學以及他的家鄉江蘇金壇等，國內科學家中能享有這樣盛譽的為數不多。（下圖為本文作者龔升與華羅庚的合影）
我們為什麽要紀念他？因為他是中國現代數學的奠基人。“很難想象，如果他不曾回國，中國數學會怎麽樣”(A. Selberg 語)。因為他是國際上一流的數學家，對現代數學的發展，作出了很大的貢獻，在國際上享有很高的聲譽，因為他有崇高的品德，因為他走上了“不為個人而為人民服務”（毛澤東主席致華羅庚信中語）的道路，永遠值得我們學習。
已經有很多著名的數學家為華老寫了傳記對他的工作作過評論。其中有：王元，Stephen Salaff, H. Halbarstam, G. B. Kolata，楊德莊，Andrey. A. Terras, P. T. Bateman, L.Schoenfeld, M. Cugiani, K. Mahler, G. Greaves, J. W. S. Cassels,R. G. Ayoub, J. B. Robers, M. I. Graev, A. Koranyi, W. K. Hayman,E. Hlawka, E. Grosswald, C.Schweigman, S. Zhang, 丘成桐，楊振寧等等。
還有一些數學家寫了悼念他的文章，當然也說到了他的生平及對他的評價。其中有：段學複，田方增，H. Halberstam，彌永昌吉等等。至於他的整個學術成就，1983 年，Springer-Verlag 就已經出版了他的選集，" Selected Papers, Loo-Keng Hua"，由 H. Halberstam 主編。據我所知，能在Springer-Verlag 出版選集的中國數學家，實在寥寥無幾。除了華老以外，大約隻有陳省身與許寶錄。要把這些數學家為華老寫的傳記以及對他的評論在這篇短文中作介紹，既不可能也無必要，但是這些數學家所寫的文章，往往是客觀公正的評價華老的最有力的佐證。所以在這篇短文中摘引一小部分的內容以作為對華老的紀念。
最近諾貝爾獎獲得者楊振寧教授說到：“從過去發展的曆史可以看出來，中國最早得到世界絕對第一流研究成果的，也是在數學領域，華羅庚先生、陳景潤先生就是證明。”
在這方麵說得更具體的有Fields 獎獲得者、數學大師丘成桐教授的如下的一段話：“中國近代數學能超越西方或與之並駕齊驅的主要有三個，當然我不是說其他工作不存在，主要是講能夠在數學曆史上很出名的有三個：一個是陳省身教授在示性類 (characteristic class)方麵的工作；一個是華羅庚在多複變函數方麵的工作；一個是馮康在有限元計算方麵的工作。我為什麽單講華先生在多複變函數方麵的工作，這是我個人的偏見。"
華先生在數論方麵的貢獻是大的，可是華先生在數論方麵的工作不能左右全世界在數論方麵的發展，他在這方麵的工作基本上是從外麵引進來的觀點和方法，可是他在多複變函數方麵的貢獻比西方至少早了十年，海外的數學家都很尊重華先生在這方麵的成就。所以，我們一定要找自己的方向，我想這是一個很重要的看法。我們要從數學的根本上找研究方麵，我們近廿年來基本上跟外國的潮流。我們沒有把基本的想法搞清楚，所以始終達不到當年陳先生、華先生或馮先生他們的工作。我想我們一定要找自己的方向，可是我們在很多方麵的知識還很缺乏。我們一定要在了解了其他方麵的 發展後才能發展自己的方向。丘先生的這番話十分重要，不僅客觀、公正地評價了華老，還為中國現代數學研究指明了方向，"一定要找自己的方向"，而這正是我們應該很好地向華老學習的地方。
Stephon Salaff 寫的華羅庚傳記是 1977 年寫的，當時國內 正是文化大革命期間，這是西方數學家寫的華老的傳記中很好的一 篇。他對華老學術上的評價客觀正確。我想這是由於此文作者得到 了丘成桐教授的幫助之故。不妨在此多引用一些他的文章中的段落。因為此文是反映西方數學家對華老評價的最有代表性的著作之一。 文章的第一部分 I. 導言開始就說：“他的工作範圍之廣闊，使他堪稱世界名列前茅的數學家之一”(Lowell choenfeld，……)，這是發表於《美國數學會通訊》上的中華人民共和國唯一的美國數學會會員華羅庚的結論。
1910 年，華羅庚出生於江蘇省，他的研究工作很大地豐富了數學的文庫—在 1939 至 1965 年之間，他所發表的書與論文被《數學評論》(Mathematical Review)評論過 105 次。1950 年，他從美國回北京後，即活躍於中國的數學界。回國前，他在普林斯頓高等研究院與 Illinois 大學工作了三年之久。由於他突出的數學成就，在他還不到四十歲的時候，他就已經成為發展中國高等教育不可或缺的人才了。雖然在國外數學家以外的人士中，人們並不熟悉他，但他的名字在中國大陸的文學作品中，一直被作為驕傲而描寫著。
為了了解中國近代數學的貢獻及近代科學的發展，人們必需熟悉華羅庚的一生。
在該文第二部分 II 1910－1950 中寫道“華羅庚畢業於他的家鄉江蘇金壇縣立初中（相當於中學的前兩年），然後進入上海中華職業學校完成了兩年製專業的前一年半的課程。迫於家境貧寒，在他十五歲的時候就輟學回家鄉金壇縣，協助他父親經營他的家庭小店。華羅庚的父親對他的獨生子專心於學習很不高興。關於華羅庚的一個通俗傳記上登載了一幅漫畫：他父親穿過店堂追趕他的兒子，小男孩恐懼地抓緊胸前的幾本數學書，父親威脅地要把他的書燒掉。畫麵上還有一張華羅庚幫助他父親算帳用的小桌子，桌子上還放著 一個算盤。”
如同絕大多數數學家一樣，華羅庚在很年輕的時候就顯露出他的數學才華了，他開始自學現代數學，當他 19 歲的時候，他就在上海《科學》雜誌上發表論文並引起了注意。同一年華羅庚患了致命的傷寒病，接著又患了關節炎，使他的左腿終生受了殘疾。但他忍住了病痛及以後在戰爭年代中的艱苦。華羅庚的著作受到了北平清華大學算學係主任熊慶來的注意，並企圖提拔與安排上海的這篇文章的作者。起初清華大學算學係的教師與“留學生協會”中都沒有人知道華羅庚這個人。後來，一位江蘇省籍的教師告訴熊慶來：華羅庚不是大學畢業生，甚至不是高中畢業生，隻是小村鎮中的一個會計。為了“發現”華羅庚，熊慶來不顧這些困難，親自邀請他來北平工作。華羅庚是 1931 年夏到達清華大學的，他隻能在算學係擔任“助理”職務。由於沒有文憑，他隻可能獲得這樣一個小職員工作。但不久之後，他被晉升為教員（相當於助理教授），……，早在三十年代，陳省身就是華羅庚在清華大學的同事之一。
“華羅庚與陳省身被看作是當今中國的領袖數學家。為了達到這水平，他們都離開中國出國留學了。中國數學的簡史說明了為什麽那時有能力的中國年輕數學家都要出國去。
1936 年至 1938 年，華羅庚到英國參加了一個優秀數論集體。其領袖人物是 G. H. Hardy, J. E. Littlewood，1945 年下半年他訪蘇，與 Vinogradov 進行了學術交流。1946 年，在聞一多被暗殺後，他去了美國，先在 Princeton 高等研究所，後在 Illinois 大學當教授，直到 1950 年回國。這段時間，他在數論、代數、幾何與多複變數等多個方麵寫了大量傑出的論文，而名震國際數學界，我們繼續摘引 S. Salaff 文中的介紹吧！“這些年來，認識華羅庚的美國數學家都對他的清楚而直接的數學方法，知識的深度與他的天才，懷有深深的印象。他的興趣很廣，包括多個複變數函數論、自守函數與矩陣幾何學。活躍的數學家們對於華羅庚的重要而又範圍很廣的貢獻都很熟悉，因為他們經常不斷地在引用華羅庚的結果。我對微分幾何學家、代數學家與數論學家提起華羅庚這個名字，所有的人都立刻明白了。當一個群論學家聽到我重複這個中國名字時，他說”我們有一個關於同構的定理，叫做‘華氏定理’，那必定是同樣一個華”。“一個了解華羅庚的數學家－－Berkeley 的數論學家 Derrick Lehmer 告訴我：“華羅庚有抓住別人最好的工作的不可思議的能力，並能準確地指出這些結果中可以改進的地方。他有許多自己的技巧，他廣泛閱讀並掌握了廿世紀數論的製高點，他的主要興趣是改進整個領域，他試圖推廣他遇到的每一個結果。在某些方麵，他的工作很像I. Schur，甚至 Nobert Wiener，他們二人都對數論作出過深刻的貢獻，同時也將研究推廣到其他領域。
Lehmer 還指出，“像華羅庚與 Schur 這樣的‘全才’的新的興趣都是從他們過去的領域中引發出來的。例如用某種冪級數的係數給出的數論方程的解數估計，事實上就可以想象為華羅庚從解析數論到複分析所架起的橋梁。”
S. Salaff 的傳記對華羅庚的生平及研究工作的特點寫得十分生動與深刻。1950 年在新中國剛成立時，他就拋棄了美國的優越條件回到了新中國，擔負起新中國建立現代數學的重任。之後在曆次運動中，他受了不少委曲，尤其在文化大革命中，他始終能正確對待。
1986 年，H. Halberstan 在悼念華羅庚的文章中有這樣一段話。“如果華羅庚曾經懊悔在他才華的高峰和思想敏銳的時候離開了美國的話，那麽他後來重訪西方時，他不能收回失落的時光，而他對自己祖國的獻身是無條件的和堅定不移的。”
事實上，據我與華老幾十年朝夕相處的接觸，他從未懊悔過，即使在最最困難的文化革命中也是如此，其原因就在於“他對自己祖國的獻身是無條件的和堅定不移的”。這正是華羅庚偉大所在。
在 Kolata 的文章中也可見到類似的議論。G. B. Kolata 在文章中的最後一段話是這樣說的。
“經過所有這些努力，華羅庚終於在西方世界馳名，也對中國 數學產生巨大的影響”。貝爾電話公司的 Ronald Graham 是華羅庚 這次美國之行的主人之一，他說“他比起曆史上任何一位數學家來，受他直接影響的人可能更多，他善於推銷數學”。
Princeton 高等研究院的 Atle Selberg 深思熟慮地說，“要是華羅庚像他的許多同胞那樣，在第二次世界大戰之後仍然留在美國的話，毫無疑問，他本來會對數學作出更多的貢獻的。另一方麵，我認為，他回國對中國數學也是十分重要的。很難想象，如果他不 曾回國，中國數學會怎麽樣。”
Kolata 的文章寫於 1980 年，說的是文革後華羅庚訪美。我想 Fields 獎與Wolf 獎獲得者 A.Selberg 教授對華羅庚的評價十分深刻地指出了他偉大的地方。的確，“如果他不曾回國，中國數學會怎麽樣”！因之，Kolata 文章的題目幹脆叫作“華羅庚形成中國的數學”。在文章開始第一段，他寫道：“數學，如音樂一樣，以奇才輩出而著稱，這些人即便沒有受過正規的教育也才華橫溢，雖然華羅庚謙遜地避免使用奇才這個詞，但它卻恰當地描述了這位傑出的中國數學家。華羅庚一直沒有得過任何學位（直到去年才由法國 Nancy 大學授予名譽博士學位），然而他卻成了數學界的大人物。他在有聲譽的刊物上發表了 150 篇文章，寫了九本書。”
Columbia 大學的數學家 Lipman Bers 說：“他絕對是第一流的數學家，他是極有天賦的人。”
說到數學奇才，人們很容易想起著名的印度數學家 S. Ramanujan, P.T. Bateman 在文中，寫了如下的一段非常有意義的話，對他們二人的比較。
“華羅庚的經曆是近代數學史中最令人感興趣的事情之一。他出身貧寒，隻受過九年正規教育，但他成功地從自學數學的天才青年成長為造詣高深，有多方麵創造的數學大師。此外，他又是推動將數學工具最大限度地用於實際，強調好的數學教學法的重要性的帶頭人。以他自己的研究方向在美國與中國產生了巨大的影響。而且，他一直是中華人民共和國第一流的科學巨人之一。”
“將華羅庚與老一代著名的印度數學家史羅尼瓦沙·拉馬努金 (Ramanujan)相比較是很自然的，他們既有驚人的類似之處，同時又有明顯的差異。兩人主要都是自學成才的，都得益於在哈代領導之下，在美國從事過一段時間的研究工作，對於溝通東方與西方的差異，並使其祖國步入數學研究的天地，各自都起了相當大的作用。他們像愛因斯坦在美國一樣，最後成為本國傳奇式的科學家。”
另一方麵，他們兩人之間又有截然不同之處。
“首先，拉馬努金並沒有全部完成由一個自學天才到一個成熟 與訓練有素的數學家的轉變，他在某種程度上保留了數學的原始性，甚至保留了一定程度的猜謎性質。然而華羅庚在其數學生涯的早期就已是居主流地位的數學家了，其次，拉馬努金與哈代的接觸更直接，更有決定性意義。例如，拉 馬努金 1914 年到達美國以後，他送到印刷廠的許多論文都是哈代的手跡。
雖然華羅庚在英國工作時得益甚大，但他與哈代在數學方麵的接觸顯然不是這樣特別集中的。最後，拉馬努金的自下而上的能力以及適應各種不同的生活條件的能力顯然不足，華羅庚在某種意義下是一個自下而上者，他明顯地能夠適應各種不同的學術、政治與飲食條件。”
“判斷一個數學家應該看他的研究成就，而不是看他得到的大 學學位的數目。對於華羅庚來說，他有很多成就，卻沒有一個學位。華羅庚的研究領域遍及數論、代數、矩陣幾何學、典型群、多複變 數函數論、調和分析與應用數學。”
是的，華羅庚是“生存者”，因為他是強者。他的確“能夠適應各種不同的學術、政治與飲食條件”，即使他在受到極不公正待遇的時候。他的學術研究領域，早已越過了 Hardy 學派的影響，而他“在其數學生涯的早期就已是居主流地位的數學家了”，這些正是華羅庚在學術上偉大的地方。
要引用國外數學家寫的有關華老的精彩段落還很多很多。但本 文篇幅已經太長，應到此為止了。我想上述國外數學家們對華老生 平的介紹已是十分生動的了，對華老是國際上一流數學家的論述已 是十分深刻的了，對華老在國際上、國內的貢獻的評論已是十分充 分的了。當然對華老五十年代以後的工作，尤其是在應用數學方麵 的貢獻介紹少了一些，但這部分往往為大家所熟悉的。對華老崇高 品德的介紹還可以說很多很多，對華老治學思想的介紹還可以說很 多很多，對華老教育思想及培養下一代的介紹同樣可以說很多很多，但限於篇幅，所有這些都隻能留待將來有機會寫文介紹了。
最後要強調的是：介紹華老的生平及學術成就最全麵、最完滿的傳記是由王元教授寫的那一本。如果讀者想更多了解華羅庚，我推薦讀者讀王元的書。本文隻是從國外數學家所寫的華羅庚的傳記與評論中摘引一小部分，看看國際上是如何評論華老的，從這樣一個角度來紀念華老。
《科大瞬間》文學城編輯部
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另一方麵，歐幾裏得有個重要錯誤：視覺的Emission theory。所以科學邏輯的研究需要回溯到亞裏斯多德、帕拉圖和更早。
邏輯的起源其實跟畢達哥拉斯的錯誤有很大關係。巴門尼德的存在哲學會導致熵趨勢。歐幾裏得實際上對帕拉圖體係也有改進。
當代很多物理學家的理論都遠遠超越牛頓的理論，但沒人比牛頓更偉大。華羅庚的研究超越了哈代也不奇怪。
從數學邏輯看，拉馬努金的很多研究沒有作邏輯上的推導。佩雷爾曼也沒有完成龐加萊猜想的邏輯推導。但丘成桐教授認為中國數學家對證明該猜想的貢獻大於佩雷爾曼的觀點爭議極大。這個爭議可以用我的理論來解釋：數學不同於邏輯，在兩個方向都有不等因素。需要修正直覺主義數學的基礎，重新認識直覺的規範和價值。
剛進大學時龔升教授在入門講座上介紹過羅巴切夫斯基創立非歐幾何。非歐幾何的形成有兩項關鍵工作：
1) 確認非歐幾何公設和前四條公設相容。
2) 對歐氏幾何和非歐幾何作正確的新定位，即兩者都是純數學（所以都沒有真理性）。這也是現代純數學概念的誕生。
羅巴切夫斯基作了工作2），也就是發動了一場數學革命。所以，我對龔教授的教誨印象深刻，這抓住了一個關鍵問題。上述評論也算是對龔教授理念的補充和發展。