話說三毛小時候也是富貴人家的孩子，一頭青絲。後來，家道中落，三毛雖小，敢為父母分憂，無奈生計艱難，愁煩不已，以至於滿頭青絲，萌生褪意。天長日久，青頭搔更短，渾欲不勝簪，最後隻剩三根，遂得名三毛。
俗話說，有毛就不算禿子。據此，三毛大搖大擺地走近剃頭挑子，剃頭匠問，小師父，怎麽伺候? 三毛說，梳頭。剃頭匠又問，怎麽梳法? 中分? 還是偏分? 三毛大言不慚地說，來個披頭散發吧。剃頭匠被難住了，最後對三毛說，聽說對麵藥房的生發散挺管用，要不，你先弄幾付試試，吃著有效再來找我?
三毛走後，剃頭匠閑極無聊，琢磨了起來。如果生出一根，三毛變四毛，再生一根，四毛變五毛，... ...，要生出多少根頭發，三毛才是名符其實的披頭散發呢? 頭發一根一根地生不現實，那麽，幹脆反過來，從一頭青絲起，一根一根地往下拔。拔掉一根頭發，算不算一頭青絲? 算。拔掉二根頭發，算不算一頭青絲? 算。拔成三毛，算不算一頭青絲? 不算。問，拔到掉第幾根頭發，就不算一頭青絲了呢?
有道是，一圖勝千言。三毛是個虛構的人物，還是讓我們找個真人作例子吧。英國皇室成員的曝光率高，圖片都在公共區域，沒有肖像權問題，因此，威廉王子是最佳的例子。隻是用王子作三毛的形象代理有點不厚道，不過，我要討論的問題是嚴肅的，為此犧牲點個人名節值了。得罪了，王子殿下。
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| 滿頭青絲 | 萌生褪意 | 黃毛搔更短 | 渾欲不勝簪 | 夢裏依稀 | 終成正果 |
以上是對威廉王子頭發興衰連續統的粗放示意，最後一幅說是終成正果，其實並非自然正果，而是人工幹預的結果。您茲當是中長期天氣預報吧，反正最後肯定是這結果。另外，王子的頭發金貴，肯定不舍得自己薅，應該是自然脫落的結果。問，頭發掉到第幾根，王子就不算一頭青絲了呢? 或反之，頭發掉到第幾根，王子就算禿了呢? 沒有人說得清。實際上，誰試圖回答這個問題，誰就會掉入陷井。因為這是個悖論，即所謂禿子悖論。
禿子悖論(phalakros paradox)是由古希臘哲學家歐布裏德(Eubulides of Miletus)最先提出的，注意，不是寫《幾何原本》的那個歐幾裏德（Euclid），而是來自米麗都的歐布裏德。歐布裏德對悖論很有研究，共發現了七個悖論，其中包括著名的說謊者悖論。有毛不算禿子的俗話是個笑話，剃頭匠並不當真。三毛顯然是個禿子，多一根頭發並不能使他成為非禿子。以三毛為例，禿子悖論可以簡述如下，
有三根頭發是禿子。 如果三根頭發是禿子，那麽，有四根頭發是禿子。 如果四根頭發是禿子，那麽，有五根頭發是禿子。 不斷重複，直至一百萬。 有一百萬根頭發是禿子。
經過一階謂詞邏輯形式化後，以上論證可以用數學歸納法簡化如下，
Φα3 ∀n(Φαn → Φαn+1) ∀n(Φαn) 其中，Φα3讀作，有三根頭發是禿子。 ∀n叫全稱量詞，n表示任意自然數。 ∀n(Φαn → Φαn+1)讀作，對任意數n，如果有n根頭發是禿子，那麽，有n+1根頭發是禿子。 ∀n(Φαn)讀作，對任意數n，有n根頭發是禿子。
結論顯然是荒謬的。當n等於一百萬的時候，三毛有一百萬根頭發。有了一百萬根頭發，三毛就該改名叫毛孩了。禿子悖論有個等價形式叫沙堆悖論(sorites paradox)，相當於禿子悖論的反向過程，通常簡述如下:
前提P: 一堆沙子有一百萬顆沙粒。
前提Q: 移除一粒並不能使沙堆變成非沙堆。
不斷重複前提Q，即一粒一粒地移除。當隻剩一粒沙時，邏輯的結論應該是，它還是沙堆。如果不是，那麽，從什麽時候起，沙堆變為非沙堆呢?
一般認為，禿子悖論和沙堆悖論產生於模糊的謂詞。如，禿子，有多少頭發才不算禿子?又如，堆，多大算一堆?在我看來，這裏涉及兩個問題，人類認知的模糊性和邏輯規律的局限性。
首先，讓我們考察人類認知的模糊性。
從人類有自我意識起，外部世界就是人類認知的主要對象。這個對象，用懷特海的話來描述，是一個擴展的連續統，任何兩點之間都存在無限多個點，而且它們還處於擴展與流變的過程中；用老子的話來描述，道之為物，惟恍惟惚。惚兮恍兮，其中有象；恍兮惚兮，其中有物。總之，二人的意思大致相同，外部世界混沌不清，變動不居。
那麽，人類如何認識或把握這個若恍若惚的連續統呢? 模糊性。人類通過模糊去把握恍惚，或曰，以模糊對模糊，以變化對變化。最典型的例子當數有關顏色的概念。語言是思維的表達形式，在我們的自然語言裏，隻有七種顏色，赤橙黃綠青藍紫。然而，展開色譜，你會發現，七色之間還有無限多的顏色。在計算機語言裏，赤成為[255,0,0]，黃成為[255,255,0]，其中的數字表明，它比自然語言精準千百倍。盡管如此，對於那個若恍若惚的連續統來說，它仍是粗略的近似。
請允許我引用舊文裏的一段話，“晚秋時節，莊子若身臨北方山野，定會疑惑，噫，五色眩目，孰知天下之正色邪? 他老人家，由於時代局限，音隻知五音，色隻辨五色。晚秋的色彩又豈止五色，盡彩虹色譜，也不足以形容秋色的豐富與濃重。然而，經過兩千多年，我們的自然語言也隻增加了兩色，與計算機語言相比，顯得如此貧乏蒼白。不過，若用[255,0,0][255,255,0]來描繪秋色，抒情就成了技術說明。好在人類富有智慧，無法言傳的可以意會。我們姑且將就七色。”①
我想傳達的意思是，詩的語言必須是模糊的，過於精準會扼殺我們的想象力。我們的詩寫得不如古人，是因為現代文化不待見混沌? 還是因為現代語言過於精準? 亦或二者兼而有之? 無論如何，從直覺上講，精準的語言不適合寫詩，但適合科學研究。
一般認為，科學的語言是精準的，其實，那隻是相對而言。以人的概念為例，柏拉圖給人下的定義是，人是無羽毛的兩足動物。據說有人拿來一隻褪了毛的雞，嘲弄柏拉圖，這是人嗎? 後改成，人是有理性的動物。與鬆鼠玩多了，我發現鬆鼠肯定有理性。對於鬆鼠來說，斬獲的最大化和危險的最小化之間的平衡堪稱公理或行為準則，其理性程度不下於人類的P與非P不可同真。它是人嗎? 換個方向，植物人連感性都沒有，顯然沒有理性，那是人嗎? 若是，那死人呢? 認真摳字眼的話，應該叫死屍。
又如，史書上通常這樣描述，鮮卑擊敗匈奴，匈奴人遂從漠北消失。其實，鮮卑人和匈奴人是兩個非常模糊的概念。嚴格說來，隻要有一個匈奴人還在，匈奴人就沒有從漠北消失，何況，匈奴敗退後，有五十萬匈奴人自號鮮卑。對於民主運動來說，什麽是人民? 所有的成年人口? 即便如此，去掉一個人並不能使人民變成非人民，讓我們逐個排除，當隻剩一個人時，人民還存在嗎? 如果不存在，那麽，從什麽時候起，人民不存在呢?
人的概念不可謂不模糊，然而，這一模糊概念卻為人類服務了幾千年，人類的戰術是以模糊對模糊，以變化對變化。關於這一點，維特根斯坦(Ludwig Wittgenstein 1889/04/26 - 1951/04/29)的家族相似性理論(family resemblance)②給出一個非常形象的說明。他認為類概念的成員不必具有該類的所有屬性，其屬性具有[a,b,c]，[b,c,d]，[c,d,e]式的家族相似關係，即一個成員與其他成員有至少一個或多個共同屬性。類的成員不必具有完全一樣的屬性，他們是靠家族相似性來歸屬於同一類的。而類沒有明確固定的邊界，它是隨著社會的發展和人類認知能力的提高而不斷形成和變化發展的。維特根斯坦的家族相似性是我看到的對類，範疇，或普遍概念的最接近真理的刻劃。
隨著信息產業的興起，有一樣計算機圖像處理技術，morphing，可以為維特根斯坦的家族相似性及禿子悖論提供清晰準確而又形象化的說明。運用morphing，我可以隻輸入起始和終極兩幅圖像，省略中間四幅，圖像處理軟件可以為我們生成中間圖像，想要多少，生成多少。差別在於，我的手工影集反應的是真實情況，morphing生成的是計算機模擬。但morphing可以讓人腦洞大開，天馬行空，如，以小布什起始，以奧巴馬告終。
在生成的圖像係列裏，如果中間步驟足夠多的話，就會有一片模糊區域，既非小布什，也非奧巴馬，也會有另一片模糊區域，既象小布什，也象奧巴馬。我們可以把兩極的小布什和奧巴馬想象為父母，把中間的過渡想象為孩子，三個孩子麵相的似是而非顯示的正是維特根斯坦所說的家族相似性。這幅圖像的製作者應該是以搞笑為目的，但它在現實生活中卻有嚴肅的實際應用。許多有名的大律師把玩的就是人類認知的模糊性，以及這種模糊性在重要場合給人帶來的意誌搖擺。我們時常會從影視作品裏聽到類似下麵這樣的法庭辯論片段。
律師: 你說你那天看到小布什在案發現場，是嗎? 證人: 是的。 律師: 你確定? 證人: 確定。 律師: 你距離案發現場有多遠? 證人: 約五十米。 律師: 你的視力是多少? 證人: 0.8。 律師: 你知道那天的能見度是多少嗎? 證人: 不知道。 律師: 你確定你看到的是小布什? 證人: 應該沒錯吧? 律師: 請回答是還是不是。 證人: ......，是。 律師: (出示上圖第三人)請你仔細看看這張照片，你看到的是這個人嗎? 證人: (猶豫片刻)應該是他。 律師: 你確定是他? 證人: ......，是。 律師: 法官閣下，您聽到了，對方證人看到的不是小布什，而是奧巴馬。 證人崩潰。
從理論上講，在模糊的場合，律師與證人各有50%的勝算，但律師訓練有素，有備而來。證人往往被打得措手不及，當場表現出猶豫不決。隻要證人一猶豫，律師的勝算又多出兩成。證人如果當場崩潰，或犯下致命錯誤，律師就贏定了。禿子悖論困擾人類幾千年，這一事實告訴我們，一旦入甕，誰也逃不脫。如果有人跟你玩上麵那種模糊性遊戲，而你又沒有十足的把握，那麽，最佳的防守就是進攻，點穿他的伎倆，並以其人之道，還治其人之身。當然，你毫無準備，反攻的力度可能有限，無論如何，被打倒好過被嚇倒，最糟的是自己稀裏糊塗地倒下。
其次，讓我們考察邏輯規律的局限性。
前麵說到，沙堆悖論最後會迫使我們得出一個悖論性的結論，一粒沙是一堆沙。堆就是一個模糊概念，在一階謂詞邏輯裏，叫謂詞。如何處理謂詞的模糊性直接關係到邏輯規律的有效性。有人可能感到不解，邏輯規律正是因為普遍有效才稱為邏輯規律，討論邏輯規律的局限性豈不是蘊涵邏輯規律不是普遍有效?
正是。通常，在類概念的邊界足夠明晰的情況下，我們可以放心運用邏輯規律，如不矛盾律和排中律，來對情況作出準確判斷。如，兩個人用酒杯搖骰子，賭點小。骰子有六個麵，邊界足夠清晰。六個骰子最小點數是六點，對方已經搖出六點，己方不可能搖出少於六點，因此，邏輯的結論是，己方肯定贏不了。於是，我們看到，搖出六點的大賭梟麵帶微笑，開始慶祝勝利了。賭神也是麵帶微笑，輕輕放下酒杯，不好意思，用力過猛。掀開一看，居然是五點! 怎麽回亊? 一個骰子碎了。
這是邏輯規律失效的一個經典亊例。它告訴我們，邏輯規律不是絕對真理，其有效性是有預設條件的。歐氏幾何的平行公理預設空間是平直的，去掉這一預設，平行公理不複成立。與此類似，邏輯規律預設類概念的邊界足夠明晰，在邊界模糊的情況下，傳統邏輯的不矛盾律不再有效。在這個搖骰子的賭局裏，有三個基本預設:
1.有且隻有六個骰子。 2.每個骰子有且隻有六個麵。 3.六個麵上按順序分別標有1，2，3，4，5，6點。
隻要這三個預設成立，邊界就足夠清晰，因而邏輯規律有效。根據不矛盾律，任何一方贏且不贏，這是邏輯矛盾，可以排除。根據排中律，任何一方要麽贏，要麽不贏，二者必居其一。對方已經搖出六點，邏輯規定，己方必不贏，要想贏，隻有推翻基本預設。於是，一個骰子碎了。有且隻有六個骰子的預設被推翻了，邊界模糊了，不矛盾律也就不再有效了。於是有，己方必不贏卻贏。
放眼茫茫世界，混混沌沌，恍恍惚惚。妻子問丈夫，那塊布料什麽顏色? 丈夫怯怯道，水紅? 妻子忿忿道，什麽眼神? 分明是淺紫。女子問媒婆，那人多高? 媒婆含糊道，中等個。見過麵後，女子恨恨道，什麽中等個? 分明是個矬子。半瓶清水，樂觀主義者說，半滿，悲觀主義者說，半空。一串葡萄，吃到者說，甜，吃不到者說，酸。孔乙己說，竊書不算偸，費玉清問，金橘也算橘? 如果一切都清清楚楚，沒有半點含糊，我們的生活會少掉很多麻煩，同時也會少掉很多樂趣。
進入科學領域，模糊性得到相當程度的壓製，因為科學的一個顯著特征就是定量化研究。王羲之說，是日也，天朗氣清，惠風和暢。同樣的意思，從科學家嘴裏出來，大概會變成，那天，晴好無雲，能見度15千米，風力2-3級，吹到身上挺爽。律師若跟這種人玩模糊性遊戲，恐怕占不到多大便宜。但這並不意味，在這一領域內，邏輯規律的有效性就高枕無憂了。相反，邏輯規律的局限性在更深的層次上表現出來。
兩千多年來，沒有人敢於公開挑戰亞裏士多德的形式邏輯，荷蘭數學家布勞維爾卻不以為然。布勞維爾(Luitzen Egbertus Jan Brouwer 1881/02/27 - 1966/12/02)，見右圖，是數學基礎方麵現代直覺主義的創始人。布勞維爾否定傳統邏輯中排中律的普遍有效性，他認為，排中律是從有限事物中概括出來的，但是如果人們忘記排中律的有限來源，將其用於無限的場合，就會犯錯誤。
圓周率π是無理數，即無限不循環小數。假如有這樣一個命題，圓周率π的小數表達式3.1415926...中有20個連續出現的9③。我們稱之為命題P。試問，命題P是否成立？亦或，命題P是真，還是假？如此一問就危險了，用莊子的話來說，這是明顯的以有涯隨無涯，殆已。人類目前的計算手段是有限的。到目前為止，人類尚未發現 (或證明) π的小數表達式中有20個連續出現的9，因而，不能斷定命題P成立，也不能斷定命題P不成立。
這就導致了對排中律的拒斥，布勞維爾也因此開辟了一個新的領域，數理哲學的直覺主義流派。在這一基礎之上，布勞維爾的學生荷蘭數學家海汀(Arend Heyting 1898/05/09 - 1980/07/09)去掉傳統邏輯中排中律和雙重否定律，從而發展出一個直覺主義邏輯的形式係統。波蘭邏輯學家亞什可夫斯基(Stanis?aw Ja?kowski 1906/04/22 - 1965/11/16)，美國邏輯學家克裏普克(Saul A. Kripke 1940/11/13 - )等人為直覺主義邏輯建立了多種類型的語義模型。可以說，直覺主義邏輯已經樹大根深。
最後，讓我們回到禿子悖論。
千百年來，形形色色的悖論讓許多哲人皓首窮經，終不得其真解。進入近代，數學與形式化邏輯有了長足進步，為悖論研究提供有力的工具，許多解決方案應運而生。概括起來，出現四大類解決方案:
第一類，否定邏輯適用於悖論。
第二類，認為悖論論證合理，邏輯適用，但前提不成立。
第三類，認為悖論論證合理，邏輯適用，但論證無效。
第四類，接受悖論本身，將問題歸咎於模糊謂詞，認為它們要麽不協調，要麽空洞。
到目前為止，每一類都不盡人意。它們或遭到嚴重挑戰，或被逼入狹小區間，或被認為空而無當。禿子悖論不但沒有得到徹底解決，順著它的思路，人們反而發現這一悖論的更多變體，如整容悖論④，淩遲悖論⑤，等等。盡管如此，對悖論的討論還是有意義的，它畢竟代表人類向終極真理的逼近。對於普通人來說，禿子悖論還有一定的實用價值，它至少有助於識破有人在常規論辯中玩弄認知模糊性的伎倆。
從以上討論中不難看出，我的立場介於第一類和第二類之間。我試圖證明，傳統邏輯的所謂邏輯規律並非普遍有效，至少，在邊界模糊的情況下，不矛盾律失效，在沒有邊界的情況下，排中律失效。將來，也許還會有更多的局限性被發現。總之，邏輯嚴謹很重要，但千萬不要以為嚴謹的邏輯萬無一失，保持開放的心態也很重要。
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① 《晚秋的色彩》
② Philosophical Investigations §65-71 Basil Blackwell Ltd 1958
③ π的小數表達式問題。 Intuitionistic Logic by Dirk van Dalen, The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Ed. L. Gobble. Blackwell, Oxford. 2001, P224-257
④ 整容悖論
我是我。
在警察的檔案裏，能找到有關我的詳細描述，恕不贅述。
割了雙眼皮，我還是我嗎? 是。
墊了矽膠，我還是我嗎? 是。
拉了皮，我還是我嗎? 是。
換了腎，我還是我嗎? 是。
......
變了性，我還是我嗎? ......?
......
換了大腦，我還是我嗎? ......?
至此，我可能會堅持認為，我還是我。吃瓜群眾肯定會說，拉倒吧你。
我想進男廁所，保安說，大媽您老走錯門了。
亦或，我可能會堅持認為，我早就不是從前的我了。那麽，從什麽時候開始，我不是我了呢?
另外，是什麽決定我是我? 亦或，是誰決定我是我?
⑤ 淩遲悖論
我是我。 在刑部的檔案裏，能找到有關我的詳細描述，恕不贅述。 淩遲過程過於血腥，婦女兒童不宜，恕不細述。大致可以視為整容悖論的逆過程。 要點是最後問，從哪一刀開始，我就不是我了呢?
以子之矛，攻子之盾? 銳利! 你的確點到淩遲悖論的敏感處。認真說來，此處使用第一人稱有問題，因為它預設人斷氣後還能進行理性判斷。使用第二人稱，預設人斷氣後還能與人對話。隻有使用第三人稱符合常識，但如你所說，若死的非關係性不成立，則淩遲悖論不複存在，他/她/它還是他/她/它。坦白地說，在此之前，我自己並沒有清晰地建立二者之間的橫向聯係。碰撞的確碰出了思想火花，歡迎碰撞。
好段子! 具有中文特色的好段子。
模糊性，模糊性。藝術的魅力就在於它的模糊性。
法官問證人：你是一直眼看著他拔出了槍？
證人底氣十足的：不！我是兩隻眼睛看著他拔出了槍！（真事）
謝謝費心。Fuzzy logic方案是多值邏輯解決方案中的一種，屬於我所說的第二類，不盡人意。說威廉王子黃毛搔更短時50%禿，數學正確，政治不正確。無論如何，它畢竟向終極目標逼近了一步。
多謝讀完。我這是主觀為自己，客觀為別人。
同意你的猜想。禿子悖論在數學裏很好解決，明確地定義類的邊界即可，如十萬根頭發算禿。
拿到現實中就說不清了，可我們又活在現實中。
不過，布勞維爾對排中律的否定可是發生在純數學裏。
是嗎? 願聞其詳。
能耐心讀完這種東西，有定力! 謝謝。
猜想：凡是現實中有實體存在的定義，都有悖論相隨。
數學中的定義，比如點，圓之類的，現實中是不存在的，應該可以去掉悖論這個影子。