強力球彩票（Powerball）中獎分析與感想

這周強力球彩票（Powerball）的獎金是有史以來最高，因為上周的史上最高（九億五千萬）無人中獎，自動滾入本周。預計今天開獎時，獎金將高達15億美元。

我們北大“四海同心”微信群的同學們，感謝群主超強的組織力和號召力，從周末開始眾籌買彩票。本來是81人接龍，選81可能是取“九九八十一圓滿”的意思吧。不到幾小時，81人的青龍就接滿了。又開第二條龍，可能是取“好事成雙”的意思吧。不到一天，第二條龍也接滿了。又開第三條龍，難道是“事不過三”的意思？

同學們來自五湖四海，天南地北。最大的樂趣還是參與，調侃，還有憧憬。最頭痛的是中獎後這麽多錢可怎麽花呀？有的說買兩個房，一座住人，一座養豬；有的說買兩根冰棍，一根從這頭舔起，一根從那頭舔起 ---- 這世上有幾件合法的事是有這麽小的投入，但這麽快這麽大的回報的？還有理性，我聽到的最有說法力或煽動性的說法是：不參與，中獎的概率為零；參與，中獎的概率接近零，但絕不是零！

近代的行為經濟學，已超越了純數學和古典概率的範疇，其中有一點就是發現：人類雖然從漫長的曆史積累起的實際經驗中能輕易地區分一個20%概率事件和一個80%概率事件，但是卻不能輕易地區分一個33%概率事件和一個34%概率事件；另一方麵又過分地誇大不可能和0.001%可能，以及絕對確定事件和99.9%可能事件的區別。

那麽，中彩票的概率是多少呢？目前的遊戲規則是：從69個白球中不放回隨機抓取五個白球，再從26個紅球中抓一個（強力球）。如果五白一紅，六個球全中，那就中大獎啦！就這麽簡單。所以才有這麽多人玩嘛。算中獎的概率也非常簡單，隻需要最基本的組合數學：所有可能的組合是69選5，再乘以26選1，即292,201,338，所以中獎的可能性是1：292,201,338（大約0.0000003%）。這概率有多小呢？一個籃球直徑約25厘米，把292,201,338個籃球挨個排起來，從北京到紐約要三個來回，坐飛機飛要差不多90個小時。在這90個小時裏瞬間隨機抓了一個籃球，而這個籃球正是那個最幸運的金球的概率就是中獎的概率。

但因為這次是有史以來最高獎（約15億美金），所以它的期望回報值是15億美金再乘以這個0.0000003%，大約5.13美元。買張彩票才2塊美金，回報值卻是五塊一毛三。所以這交易劃得來啊！即使算上2塊錢的成本，也有大約三塊四毛五的回報。

但這個估算的最大缺陷是，沒有考慮到可能有其他人或群體來分這筆獎金。從直覺上講，玩的人越多，賣的彩票越多，平分的可能性就越大。如果知道賣了多少張票，平分的可能性就比較容易估算，因為這是典型的二項式分布。譬如說，如果賣了四億張票，無人中獎的可能性大約是25%，而隻一人中獎的可能性大約是35%，等等。

但如何估算賣了多少張票呢？或許可以根據以往的博彩曆史數據估算，因為按照美國法律，博彩機構必須提供透明的以往的博彩數據。但是困難在於這次抽獎是史無前例，通過線性或多項式回歸，我估算這次大約賣了六到九億張票，平均每個美國人買了兩三張。

 

有趣的是，即使把與其他人或群體來分這筆獎金的可能性算上，把成本算上，回報值仍然有$0.43（四毛三分錢）。簡直是免費的午餐！

高興之後才發現，原來沒有把稅算上，美國聯邦政府和各級地方州郡區都要雁過拔毛的，光聯邦政府就要割掉39.6%的尾巴。由於大多數人中獎後選擇要現金（而不是分期領取29年），又要去掉大約32%。把這些算上，最後兩塊錢的彩票的期望值是多少？-$1.04（負的一塊零四分錢）！

那為什麽還有這麽多人玩？因為不參與，中獎的概率為零；參與，中獎的概率接近零，但不是零！還有就是成本太低，誘惑太大！今天已沒有多少人辯論彩票業的道德價值，美國除了南部的密西西比和阿拉巴馬州，西部的猶太州因宗教原因，內華達州因競爭原因不開設彩票業，44州經常性地搞Powerball，並且會越來越大。抽來的稅收主要用於州內教育，環境保護，犯罪防治，公共設施等地方。

對於我來說，本來想在多年才逢的Moment裏，隨便寫點感想，沒成想烏央烏央塗這麽多，主要是跟同學們一起幻想彩票，帶來的快樂，遠遠超過一杯星巴克。

[老粗]

文筆真好！有理有據。