數學的起點

                                        數學的起點

        對於不同的人，對數學起點的理解是不一樣的。
        一個人從上小學開始接觸數字，就意味著他/她從此走入了數學的王國。因此，對於大多數人來說，數學的起點是從學習已有的數學知識開始的。
        然而，對於笛卡爾來說，數學的起點是對數學內部以及數學外部世界的觀察。當他發現數學係統中缺乏某種東西時，他就將觀察的角度從數學係統內部轉向了數學係統的外部，並開始對這個陌生的外部世界展開觀察、抽象和思考，從而以嚴謹的理性和邏輯將解析幾何引入了數學係統的內部，由此開創了一個嶄新的體係，極大地豐富了在此之前的數學係統，並為後世的理論創新和應用奠定了偉大的基礎。
        同樣的情形對於高斯也是如此。他的正態分布的理論和數學模型不是從已有的數學知識推論出來的，而是在對測量中發生的隨機誤差進行仔細的觀察和深刻的思考後，在假定的理想條件下，經過嚴密的數學形式分析構造出來的。
        這樣的例子可以推及一切在數學領域做出了開創性工作的全部傑出的數學家。由此，我們可以歸納出一個簡單的結論：
         數學的起點是一個人對數學係統內部以及外部世界的觀察、抽象和思考，而最原始的數學起點則隻有一個：那就是對外部世界的觀察、抽象和思考。這兩個起點就是一切新的數學知識得以產生的智慧源泉。因此，學會觀察、抽象和思考是極其重要的智力訓練。

[來自mitbbs/Mathematics論壇的評論]

         網友hehehehhe對此嗤之以鼻：“這篇看上去正兒八經的探討數學哲學的文章，充斥了廢話，模棱兩可，偷換概念和沒有邏輯性的話。用這種水平來寫點科普說實話都點低，來探討哲學還是算了吧。”她/他在引用了我的話“對大多數人，數學的起點是從學習已有的數學知識開始的。然而，對笛卡爾來說，數學的起點是對數學內部和數學外部的觀察。”後反問道：“請問什麽是數學內部，什麽是數學外部，什麽叫數學的起點？這個“然而”轉折在哪裏？難道笛卡爾不是從學習已有數學知識開始的？”最後，她／他得出結論說：“所謂的結論跟‘數學是靠腦子想出來的，不是靠腳想出來的’沒什麽本質區別。可能話刻薄了點，不過請你寫連載前先推敲一下自己的東西。”

　　對此，我回答如下：

　　我隻是試圖寫一點個人認識。沒什麽目的。
　　事實上，數學與哲學從未分家。從古希臘的畢達哥拉斯到笛卡爾到羅素到現代的卡爾納普等。兩者本來也不應該分家。一個好的數學家應該會力爭做一個好的哲學家。
　　數學作為一個相對獨立的係統，當然有內部和外部之分。數學有起點、有新的突破從而有新的起點，因此，當然也就會有“轉折性”。
　　笛卡爾在完成了解析幾何的理論創建後，在其哲學著作裏談到了這個經曆，得出的第一個結論是：不要相信任何已有的知識，暫且放下全部已有的概念，僅從最少的幾個無需證明的概念開始進行新的思考進而完成全部的理論構建。隻有這樣，才能做到獨立思考從而實現理論創新。
　　由此可見，這位hehehehhe混淆了關於“數學的起點”的兩個概念：一個是由既有知識構成的數學係統，這對於一個學習者來說是一個起點（我根本沒有否認這一點）；另一個是通過對遇到的新問題進行獨立思考而獲得的新的數學知識。而本文要討論的是關於新的數學知識的形成——也就是真正的數學的起點。
　　就此話題的討論在我這一方已經結束。不再回答類似的評論。