這個問題很有啟發性。往地球中心“自由落體”一塊石頭，經推導，這塊石頭的作用力和彈簧力的實質是一樣的，力和距離成正比。

在某一時刻，設石頭距地心距離為 r （r< = R, R 地球半徑），假設地球密度均勻（理想假設）

則地球對石頭的萬有引力隻來源於rR 物質對石頭的萬有引力等於零）。

這部分質量 Mr = C* r^3 (C為與r無關的常數）。來自地球對石頭的萬有引力 Fr =G (m*Mr)/r^2=G*m*C*r^3/r^2 = G*m*C*r  = K*r  (K=G*C*m, m 石頭的質量）.

 

如果將 有向坐標 z 的原點 置於地心，正方向指向石頭初始位置，則 Fz = -K*z 。 這和彈簧力一致。

 

在不考慮空氣阻力情況下，石頭的運動方程為（牛頓第二定律）：

 

m * d^2z/dt^2 +K * z = 0

設初速度為零，dz/dt =0; z0 = R, 解此方程得：

 

z = R*cos (omega t)    其中 omega =sqrt(m/K)=sqrt(g/R), g: 重力加速度；omega=0.00124 rad/sec ，其行程公式為：

 z=6356.9 cos(0.00124 t) 公裏  （t: 秒）

周期 T= 2*pi/omega = 1小時24分20秒

由於cos(omega t) 最大最小值為 1 與 -1， z 在+R與-R之間交變，每約1小時24分20秒往返一次。     

（試計算一下如果將該石頭從地麵向上扔，恰好該石頭經過84.34分鍾返回地麵，按自由落體假設其到達的最大高度是多少？在這種情況下，自由落體假設成立嗎？）

所有跟帖： 

• 最後一問難度有點大，可能需要解微分方程。 -六號公路- ♂ (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 05:52:27

• 不超過高中課程的知識範圍：） -大醬風度- ♂ (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 06:49:28

• 請教 -六號公路- ♂ (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 09:36:59

• 解釋 -大醬風度- ♂ (949 bytes) () 07/17/2024 postreply 15:17:47

• 請教KDE235， 您看一下這裏麵最後那個微分方程有無解析解。多謝！ -大醬風度- ♂ (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 15:50:58

• 有解析解 -kde235- ♂ (360 bytes) () 07/18/2024 postreply 05:59:16

• 多謝！有一步沒有明白，能否討論一下。內容在裏麵 -大醬風度- ♂ (3335 bytes) () 07/18/2024 postreply 11:23:08

• 哎呀，我搞錯了，謝謝提醒 -kde235- ♂ (568 bytes) () 07/18/2024 postreply 17:35:50

• 學習了，MASTERPIECE！非常感謝！ -大醬風度- ♂ (364 bytes) () 07/18/2024 postreply 19:34:45

• 請指教 -六號公路- ♂ (81 bytes) () 07/19/2024 postreply 09:53:28

• 另辟蹊徑，簡化了推導，非常棒。 -大醬風度- ♂ (2244 bytes) () 07/19/2024 postreply 19:59:04

• 佩服 -六號公路- ♂ (526 bytes) () 07/20/2024 postreply 09:08:56

• 感謝您的推導，您完成了大部分的工作，我做了一點接續的推導與計算。 -大醬風度- ♂ (104 bytes) () 07/20/2024 postreply 10:50:19

• 高中就能解這個微分方程嗎？ -六號公路- ♂ (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 19:50:51

• 你這樣問的原因不但是明知故問，而且是因為你沒看明白題意 -大醬風度- ♂ (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 20:19:19

• 真不是明知故問，請再次指教！ -六號公路- ♂ (0 bytes) () 07/17/2024 postreply 21:41:12

• 看一下原題中的語言，應該很明了 -大醬風度- ♂ (624 bytes) () 07/18/2024 postreply 11:33:26

• 看一下我的回複，應該很明了。 -六號公路- ♂ (138 bytes) () 07/18/2024 postreply 13:02:45