另辟蹊徑，簡化了推導，非常棒。

我按給出的公式用Excel算了一下，當選最大時間為10秒時，R=9.911 個地球半徑 （R=9.911 r），而自由落體公式算出的高度是490米 （R-r=490米）。顯然在10秒內，達到8.911個地球半徑的高度有些超出物理現實。 我再三檢查了EXCEL，確信計算無誤（公式比較複雜，計算錯誤的可能性也有）。

可能是在第二個積分時候，選的積分上下限需要再考慮一下 （您的思路是當t=0時，物體位於最高處。最大時間為從此高處下落到達地麵所用的時間。這裏，在同等時間前提下，當上拋時候，初速度如果和下落到達地麵的速度一樣，最後到達的高度與從上麵初速為零釋放而下落的高度是一致的，因此所推出的公式也適用於上拋運動）。

按您推導的思路，結合上麵所說的上下限，得出如下公式：

落地時最大速度：

T: 落地時間，、eta = R/(R+H); R: 地球半徑，H: 最大高度。g 重力加速度  （注意，這裏R是地球半徑）

取不同時間，可數值解得 最大高度H如下：

T1=10 秒； H1= 489.938 米    

T2= 100秒；H2=48386。7米

T3= 2530秒；H3=7816902米 （=1.229672 倍地球半徑）。落地速度（或上拋速度）為每秒 8.289公裏，大於第一宇宙速度每秒7.91公裏

而小於第二宇宙速度每秒11.18公裏。

 

H1 與H2 和自由落體公式結果相差無幾。而H3是自由落體公式計算結果的四分之一。在此高度下，物體受地球的引力是在地麵引力的4.9714 分之一倍。T3是物體在地球內部往返周期的一半（行程為地球直徑）。二者均視地球質量分布為均勻的，忽略空氣阻力的影響（和實際情況會相差甚遠。如果有空氣作用，物體下落後不久會達到一個勻速運動狀態，速度不會始終加速，這樣會大大增加降落時間）

 

 

 

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• 佩服 -六號公路- ♂ (526 bytes) () 07/20/2024 postreply 09:08:56

• 感謝您的推導，您完成了大部分的工作，我做了一點接續的推導與計算。 -大醬風度- ♂ (104 bytes) () 07/20/2024 postreply 10:50:19