從《巴塞爾問題》的一種解法看數學之美

從《巴塞爾問題》的一種解法看數學之美

什麽是倒數勾股定理？直線型的數軸和曲線型的圓有什麽關係？

2021年元旦，在油管上看到了《巴塞爾問題》的另類解法，大呼好酒。以下是視頻鏈接，建議有興趣的讀者花20分鍾看一看（可惜，國內朋友也許看不到，因為是油管，還是英文版的）https://youtu.be/d-o3eB9sfls

 

（又，今天居然在bilibili上找到了原視頻的中文文字翻譯版）---

https://m.bilibili.com/video/av20400157

 

巴塞爾問題（Basel Problem）由意大利數學家門戈利（Pietro Mengoli）於1644年（也有一說是1650年）提出，由大名鼎鼎的瑞士數學家歐拉在1735年解決（= pi^2/6）。問題很簡單：  求所有自然數倒數的平方和， 即： 

             S = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... + 1/n^2 + ...                             

看完視頻後，不由得擊掌為快。曾經的五講四美年代，哪四美記不清了。但數學之美，至少是3D型的。哪3D呢？麵容、身材和心靈？讀者的眼睛是雪亮的， 自會見仁見智。這裏以《巴塞爾問題》為例，談談個人感知。

先看一看數學的結構之美。

                 平方一下，還平方一下，再平方一下……

                 加一點，接著少加一點，繼續少加一點……                                               

規律吧。就這麽規律得像輝煌的太陽，每天早上八九點鍾，準時流連在青春的你的發梢。漂亮吧。就這麽漂亮得像燦爛的銀河，每天晚上八九點鍾，按點飄逸在年青的你的頭頂。簡單（簡潔）吧。就這麽1、2、3地數下去，就那樣4、5、6地加下去，簡單得連小學生都看得懂。然而，就這麽簡單，就這麽眉清目秀，就這麽具有挑戰性---端坐在那裏，連續九十年、三代人，無解。

再看看數學的思維之美---看看他如何天馬行空，卻又長纓在握，抽象和具象相結合，幾乎完美地解決了這個問題。

1）先是合乎邏輯，由pi（抱歉，不會打那個希臘字母pai）走向圓；

2）繼而聯手其物理兄弟，立了一回五瓣梅花樁（五個定理/律）：  

   a) 平方反比定律（光強和距離的平方成反比）                         

   b) 初中平麵幾何四個定理（倒數勾股定理、四點共圓定理、直徑所對圓周角為90度、圓周角等於同弧圓心角的一半)

3）接著，突發奇想，開始用金箍棒畫圓圈、建燈塔---畫第一個圈，點一盞小燈；畫第二個（直徑大一倍的）圈，點兩盞（等價平分的）小燈；畫第三個（直徑比第二個大一倍的）圈，點四盞（等價平分的）小燈……以此歸納類推；

4）然後，念一句劉謙兄弟的口頭禪---驗證奇跡的時刻到了---於是，化圓為方，變有限為無窮（數軸就是一半徑無限大的圓）；

5）最後，用部分（個數）對等總體（個數）原理（這是一似非而是的原理，作者用其四兩撥千斤，略施輕功，就運展了一回乾坤大挪移）將問題一舉解決。

 

整個解題過程，活脫脫燕人張翼德一個，於百萬數中取上將pi值，探囊取物耳。

多說幾句，這個證明太漂亮了。麵對一個複雜的高數問題（也是一個具有敲門磚性質的問題，因為它是至今都沒能被證明的黎曼猜想的孿生兄弟---黎曼函數的特例。有興趣的讀者可由此入手，作進一步探研），用簡單的初中知識，庖丁解牛般拿下。借用刁參謀長的名言：阿三哥（Sanderson，3Blue1Brown的創始人）不愧是開學館的，證起題來滴水不漏，佩服，佩服！反過來看一看，現今又有多少“大咖”，把簡單明瞭的問題，包裝成不知所雲的學術論文。以此對比，誰是大師，誰是大神，高下立判。

數學，還富含哲理之美。

數字和符號，看起來枯燥，其實是有生命、有靈性的。那一串串單調的字符，何止包藏著燈塔？誰能說，它們不是照亮你在黑夜裏前行的火炬、不是陪伴你風雨窗前的蠟燭？他們是你，是我，是人類的心靈之光。雖然微弱，卻數不勝數，從無窮遠走來，又向無窮遠走去。最後，竟超越無窮，回歸成一個有限的、小小的，和諧的圓。

“完了？”（真尤）美女輕輕一問。“哪有個完啦。”（高倉）健君淺淺一答。據說，後麵還有一段話，解釋了沒完的原因，但由於當年審查沒過，被剪掉了。讓小可試著續個貂---

“美女，我所欲也。美圖（鄙人給數學取的別名），亦我所欲也。二者可否得兼？To be, or not to be?  That is the question.”

列位看官作何解？我的答案是，肯定有解，而且有多組解（偷著笑，這個你懂的）。不過，如果有無窮多組解呢？那……那就吃不完，兜著走了。再擴展一下，如果把美酒也拽進來（原來，3D之美，是這三美？--- 偷著樂，這個可以有），那又如何走呢？三角戀啊，也許可借著酒勁，飛走……？