江湖囈語——投票選舉一定公平嗎？

今年的大選火藥味十足，但這並不是美國曆史上最危險的兩次選舉是1800年Jefferson vs. Burr和1861年Lincoln vs. Douglas。1800年那次，最後是議會經過36次投票選出了美國第3任總統Jefferson，但後來導致了美國曆史上最高級別的決鬥：現任副總統Burr vs.前任財長Hamilton。Hamilton因此喪生。後來美國通過了第12憲法修正案，把一張選票投兩位總統候選人改為投正副總統，這一修改導致了後來的兩黨政治。而1861年的選舉則直接導致了內戰。

選舉如此重要，那麽投票選舉就一定公平嗎？這一問題要到18世紀才被學者們真正重視。經過三個多世紀和無數知名的學者研究下來，其答案是令人沮喪的，即投票選舉的結果與投票方式有關，不同的投票方式會產生不同的投票結果。這一結論看似違背常識，其實它隱含著議會政治和市場經濟的真諦。

   一.  引言

眾所周知，數學是解答物理問題的利器。伽利略被認為是偉大的物理學家而不是數學家，盡管他是比薩大學和帕多瓦大學的數學教授。牛頓無論是在物理和數學家中都是排名最前幾位的。其他在物理和數學上均有極大貢獻的數學家是歐拉、拉普拉斯、和高斯。

數學在化學、地理、和生物學中也很重要，那數學在政治學中有多重要呢？數學在政治學中是否也有重要的應用呢？答案是，數學在政治學中極為重要。本文簡要地描述了數學方法在投票和選舉中的重要性和曆史。數學方法在投票和選舉中的重要性早就為人所知了。法國大革命期間，兩位在數學上對投票和選舉做出重要貢獻的學者是孔多塞(Marquis de Condorcet)和波達(Jean de Charles Borda)。其他對數學在投票和選舉中做出重要貢獻的學者有愛麗絲夢遊仙境的作者道奇遜(Charles Dodgson)、布萊克(Duncan Black)、阿羅(Kenneth Arrow)、凱梅尼(John Kemeny)、布拉姆斯(Steven Brams)。布萊克是一位對數學在投票和選舉中應用很在意的經濟學家，他把數學工具應用到了投票和選舉中，他的著作《委員會和選舉的理論》對投票和選舉中的數學工具進行了深入分析，對後世的影響很大。阿羅是一位經濟學教授，盡管他最初是一位數學家。阿羅因其1951年的博士論文中對任何由個體偏好來確定集體偏好的研究。榮獲了1972年的諾貝爾經濟學獎。

當人們對一個事件進行數學分析時，人們會對有關現象進行細致地研究，然後通過一些簡化的假設構建其數學模型。在今天的社會中，很多事由投票決定，其中包括市、縣、州、和聯邦政府首長的選舉、立法成員選舉、政府經濟政策製定者的選舉；甚至滑冰比賽冠軍和年度最佳電影也由投票決定。那什麽是投票和選舉中最重要的環節呢？選舉要求選民從候選人中選出一個或幾個中意的候選人，曆史上也有過以地區和實物為基礎的選舉。為了表達投票者的意向，就要有選票。在投票者對候選人做出判斷後，就要求有某種機製來定出選舉結果。

粗粗看來，好像數學在選舉中沒什麽作用。的確有些關於選舉的問題的確與數學無關。比如，罪犯是否有選舉權？選舉時，選民是否一定要在場，還是能以其他方法投票？現在的選舉設備能確保計票的準確性嗎？

  二. 投票表決

以數學的觀點來看，選舉中最重要的也是相當出人意料的地方，是對投票表決方式的選擇。我們經曆過的大多數選舉是從兩個候選人中選一個。這時，每個選民會投票給他中意的候選人，候選人中得多數票的人當選。多數情況下，該方法最不容易產生爭議。但不排除得票相等或幾乎相等的情況也會發生，一旦這種情況發生，就是重大新聞。得票完全相等的概率很小，但是當選舉結果接近時，就會有很多關於如何計票的不同意見。於是，會有人對當選人的合法性提出質疑。曾有人提出過這樣的一個的數學問題：在什麽情況下，必須重點選票，這將影響選舉結果。

在有三個或三個以上的候選人，一人當選的情況下，表決形式也很重要。典型的表決形式有以下幾種：

1. 每一票隻能選一個候選人。
2. 給候選人進行優劣排序，不允許兩位候選人的排序相同。

作為一個例子，這是一位投票者給2000年美國總統候選人的排序：

這是一個很有效的符號係統，它顯示了這位選民的優劣排序戈爾第一，然後納德，最後是布什。該係統來自布萊克的著作。該方法即普通選舉方法。

3. 給候選人進行優劣排序，允許兩位候選人排序相同。

4. 圈出所有中意的候選人，然後按候選人的得票多少排序，最多者當選。

5. 對每位候選人投同意或不同意，然後按同意人數多少排序，最多者當選。

6. 圈掉不中意的候選人，給其餘候選人按優劣排序，允許或不允許排序相同。

7. 給所有的候選人按滿分100分打分，然後按總分多少排序，最高分者當選。

8. 給中意的候選人按滿分100分打分，然後按總分多少排序，最高分者當選。

至今為止，人們隻研究過1 – 3。另外，還有很多從不同視角考察了大量的投票人的偏愛後，推出的新的投票表決方式。這裏要討論的是那些即適合於理論研究，又能在現實政治中實現的表決方式。比如，有很多表決方式可以對12個候選人進行排序，但不能保證這種排序會在一個現實的政治體係中被采用。

本文中，我們把注意力集中在這樣一種表決方式：對所有候選人進行排序，不允許兩位候選人的排序相同。在這個假想情形中，能得出很多來自投票者行為的有趣結論。必須指出，無論選舉過程多麽簡單，投票人總有投錯的時候。在選票上畫錯記號就是例子。在多個候選人的時候，設計一張讓所有候選人滿意的選票很不容易。選民很可能不知道選票上的大多數候選人，因此不希望所有候選人都列在選票上。為此產生了選票設計的專門法律，不滿足該法要求的選票，不得計票。

從數學上看，有很多對選票設計的合理的要求。其中之一就是選票必須設計成和實際計票方式相近，這樣就能讓選民對自己要做的事情一目了然。

假設投票人必須對選票上的所有候選人按優劣排序，且不允許排序相同，那麽怎樣的表決方式能得出勝者呢？

   三. 決定選舉結果的方法

下麵是55位選民給出的一個排序結果。

讓我們來考察下麵五種不同的計票方法：

1. 多數原則：以第一位置上的多數勝出。
2. 附加投票：如果第一位置上的票數沒人獲得多數，留下領先的二人，其餘的從選票中除去。然後，再對第一輪領先兩位候選人做第二次計票。這次計票無需再次投票，而是隻記排名第2的票數。當然了，有些投票者會在兩次計票的間隔時間內改變其對候選人的看法，這種情況不予考慮。
3. 連續附加投票：如果第一位置上的票數沒人獲得多數，除去第一位置上得票最少的候選人，再對其餘候選人投票，重複這一過程，直到選出第一位置上的得票多數者。這一方法被稱為哈爾方法(Hare’s method)，澳大利亞和愛爾蘭等很多國家采用這一選舉方法。
4. 波達計數法：給選票上的候選人按人數打分，最高分為總候選人數減一，即3位總候選人，最高分為2，得分最多者當選。按波達計數法，在下麵這個例子中，Gore得2分，Nader得1分，布什得0分。

5. 孔多塞方法：在任意一對候選人的計票中，當選者為每對都勝者。下麵是B勝出的例子，B vs.A ：305 vs.186；B vs.C ：272 vs.105。

如果在55個人投票給5個候選人，就會有出人意料的事情發生，也就存在5不同的表決方式，使得每個候選人都能當選。從這一例子中就能看出，用不同的表決方式會有不同的選舉結果。數學的重要性在此不言而喻。

民主社會中，投票和選舉一般被認為是選民投出的毋庸置疑的、公正的結果，當選者在某種意義上是選民的選擇，也就是說當選人理所當然地源於大多數選民的意願。但是，上述的例子說明了選舉結果對表決方式的依賴性，於是，人們因此對選舉的公正性提出了質疑。選舉結果有賴於表決方式，盡管在每種計票方式中使用同一張選票。更有甚者是，每種表決方式都有其公正的理由。按今天人類的智慧，很可能給出更多的表決方式。這裏有兩個現成的例子：一種是，給候選人打一分如果投票人認為該候選人優劣排序高於中值。該選舉方式能保證當選人在大多數投票人的優劣排序中，高於中值。但這要求選民給所有候選人排序。另一個有趣的表決方式是由美國心理學家克雷德·庫姆斯(Clyde Coombs)提出來的。庫姆斯方法要求在新選票上去掉排序最低的候選人，如果第一次投票選不出的多數票的人。重複這一選舉過程，直到選出當選人為止。

對很多人來說，在這許多計票方式中，孔多塞方法最有說法力。因為在兩兩抓對選舉中，當選者統統勝出。孔多塞方法也有問題，這一問題是孔多塞本人提出來的。

考慮如下的選舉結果，並計算其兩兩抓對選舉結果：

上述選舉中，A對B：25勝，14敗；B對C：27勝，12敗；C對A：26勝，13敗。這裏沒有一個候選人在兩兩抓對選舉中全勝，且無第2次選擇的機會。這個例子告訴我們，孔多塞計票法無法無法產生當選人。很多人為了避免孔多塞方法的困難，提出了新的計票方式。兩個有名的新方法之一是布萊克方法，就是在沒有孔多塞意義上的當選者的時侯，用波達計數排序，靠前者勝出。另一個方法是澳大利亞墨爾本大學教授曼深(John  Manson)提出來的，在沒有孔多塞意義上的當選者的時侯，用波達計數排序，靠後者被排除。一個有趣的定理是，

如果有一個孔多塞意義上的當選者存在，這兩種附加的波達計數法產生的當選者就是孔多塞意義上的當選者，而且該當選者在兩種方式下的波達計數相同。若沒有孔多塞意義上的當選者時，兩種方式產生的當選者，可能會有不同的波達計數。

這就是有名的選舉悖論。在一個兩兩抓對選舉中，存在著某種勝出者的循環現象。這隻是選舉悖論中的一個，現實中存在著許多直觀上看似公正的選舉也會產生悖論，即無法決定當選人的情形。雖然，附加投票是一種很有吸引力的表決方式，但是，還是有很多情況，投票人會在投完票後改變他們的選舉意向。這些都是選舉在真實世界中的困難，對此最具說服力的是阿羅的理論，正是阿羅對選舉的研究產生了政治經濟學中的一個重要的分支 - 社會選擇理論。

   四. 阿羅的社會選擇理論簡介

從上麵的例子中，我們看到了不同的表決方式會導致不同的選舉結果。於是，人們提出了這些問題，有沒有一種方法，可以從眾多個體意向中得出一個總體意向呢？並且此方法符合公正性、一致性、平等性等一些列人們普遍認可的社會準則呢？同時，我們也會問選舉必須遵從怎樣的一些準則，才是一個好的選舉方法呢？最後，人們還會問，有沒有通過對選舉準則的比較來判斷一個選舉的好壞的方法呢？所有這些問題都是合理的，也是一個公平、民主的社會必須回答的。

在阿羅的理論中，他定義了公正性、一致性、傳遞性等選舉必須服從的公理。什麽是公正選舉必須服從的公理呢？假定下麵是一個由9個投票者組成的選舉：

顯然，A在選舉中勝出。現在來看一個所有其他條件都一樣，隻是有10個選民的選舉。我們的問題是，會不會在有10個選民的選舉中，勝出者不是A呢？這看似悖理，但這就是一個公正選舉所必須服從的公理。阿羅給出了一個公正選舉必須具備的一係列公正條件。阿羅在數學上嚴格地證明了，如果在超過2個候選人的選舉中，不存在任何一種選舉方法滿足所有的公正條件。這是一個令人沮喪的結果，盡管從阿裏發表他的論文之後，有無數頂級學者對其進行了質疑，但阿羅定理在技術上完美無缺。於是，在阿羅給出了這一令人吃驚的結果後，很多人修正了阿羅的公正條件，但其最終結果和阿羅相同：不存在一種選舉方法滿足所有的公正條件。

阿羅定理非常重要，在很多方麵甚至超出了定理本身。其中之一就是，阿羅把公理化方法應用在了實際問題上，而不僅僅是在純數學中。之前的公理化方法都是應用在像歐幾裏德幾何與集合論這樣的純數學領域裏的。阿羅在得出他的一係列集體偏好必須滿足的公理時，他參考了歐幾裏德和哥德爾的工作。阿羅在他的理論中強調了公理的獨立性和自洽性。阿羅的個體偏好必須滿足的公理來自於人們做決定時采取的實際判斷準則。很多人曲解了阿羅定理，盡管沒有一種得出集體偏好的方法能滿足所有個體偏好公理，這並不意味著得出集體偏好的方法沒有優劣之分。數學分析的結論是，如果人們對某個條件非常重視，那就該選擇某種滿足該條件的選舉方法。很多情形下，學者們能找出滿足該情形的最佳方法。找出特殊情形下的最佳方法，就是找出一種選舉方法滿足該特殊情形的所需條件。楊(H. Peyton Young)就曾找出過一個公理集合，能滿足所有像波達計數法那樣的選舉方法。

   五. 如何評價一個選舉體係

有許多不同的評價投票和選舉方法的標準。在選擇投票和選舉方法時，有可能會遇到問題。在選擇表決方式中，至少能讓平均水平的選民洽當地完成投票。2000年美國大選中，大多數選民隻知道三個最看好的候選人：戈爾、布什、納達。大多數選民心中也有對此三人的優劣排序，且沒有兩人排序相同。不過，在某些州裏，比如紐約州，選票上的總統候選人很多，而愛達華州的選民很可能不了解其中的任何一位，就連紐約州的選民也不一定了解他們。在全美國的選民中，除了戈爾、布什、納達三人之外，很可能沒有多少人了解其他候選人。也就是說，總統大選就不是理想情況。即各州選票上隻有全國候選人的一部分是其選民了解的，各州選民隻能對部分候選人進行排序。一個重要的問題是，如何設計一個投票表決係統能合理地讓所有選票進入表決。在數學上很難解決這個問題，因為在現實世界裏，必須把所有的情形全部考慮進去。

另一個例子是美國聯邦眾議員的選舉，數學家會選擇一個對各州盡可能公平的比例代表製選舉方法。但憲法規定每州至少有一個眾議員。很多人口稀少的州，按人口比例連一位眾議員也不該有。人們可以找出某種非常合理的按人口比例分配各州聯邦眾議員人數的方法，但對人口很少的州，其結果一定是該州不應得到一位聯邦眾議員，這還是違憲。數學和邏輯在遇到現實問題時，很多時候是無能為力的。

研究投票和選舉時，數學家們有著不同的出發點。一些人試圖把公正概念公式化，找出相應的公理，然後找出某種服從或不服從這些公理的方法。另一些人隻是要收集選民們對候選人的優劣排序。當有三個以上有影響的候選人時，進行兩兩相較的排序會產生某種優劣循環，這時若隻考慮最高排序者，反而更易解決問題。

這裏存在著一個純數學的問題：是否有某種演繹方法能找出避免上述種種問題的選擇方案呢？更進一步的問題是，是否存在著一種表決方案，可以僅從選票上就能反應出全體選民們對候選人的優劣排序呢？

兩位美國學者，經濟學家賽特維特(Mark Satterhwaite)和哲學家吉巴德(Allan Gibbard)從數學上獨立地證明了一條以他們名字命名的令人沮喪的定理：

不存在任何一種選舉方案能夠避免上述的因滿足公正條件而產生的悖論，除非采用獨裁手段。也就是說，那些人們認可的公正條件之間，存在著某種邏輯矛盾。

當今的民主社會，有著廣泛的令人信服的基礎。其中之一就是如果選民們接受了充分的教育，就會有自己關於候選人的獨立見解，於是自由選舉就會達致一個穩定有效的社會。民主的一個特征就是社會中的每一個人都能得到有關其他公民意向的可靠信息。於是，民意測驗就能通過一部分公民的意向和偏好去有效地左右另一部分公民的意向和偏好。這就很難區分公民的意向是獨立產生的，還是受他人影響而來的。民主社會無法阻止民意測驗在公民中傳播，這種信息有時會讓民主社會不穩定。在選擇投票和選舉方法時，一個合理的標準是讓選民盡量少受其他人意向的幹擾。

考察不同國家的選舉方法也很有益。一個有趣的現象是，采用普選製的國家大多傾向於兩黨製。其結論是，普選製很難產生多黨製。有人認為那是好事，因為這樣的國家大多很穩定。也有人認為那裏的公民很不幸，因為沒機會看到選舉的多樣性，並參與其中。最初發現普選製與兩黨製相關性的是法國社會學家杜佛格(Maurice Duverge)，很多對政黨結構和選舉方法的數學與統計研究也得出了相同的結論。

計算複雜性也是考察選舉方法的標準。就是說如果找到了對一個選舉來說相對公正的方法，但該方法非常複雜，幾乎無法計算選舉結果，這就無法在現實中應用。也有人建議通過互聯網進行選舉，但其誠實性和安全性也是問題。

數學家和其他領域裏的專家對選舉的研究表明了，純數學和數學在實際問題中的運用之間存在很大的差別。人們能從數學上得到一個好的選舉方法，比如把候選人進行優劣排序，社會學家會告述你當候選人超過5個以上這就是一個不可能完成的任務；政治學者會指出這其中有幾個候選人你可能根本沒有聽說過；而那些管理投票的人會告述你，在真實世界裏，收到的很多選票因違規，而未計入選舉結果。

數學是為了實踐中遇到的問題而產生和發展的，盡管有時候那些源於實際問題的數學公式後來會與當初的問題愈來愈遠，但是數學家們還是會從那些解決問題的概念和工具中得到很多啟示。同時，世人也會從數學家的研究中對世界的本質看得越來越清晰。也能看出現實生活中的問題與數學及邏輯中的自洽性之間，存在著怎樣的不同。這就是對投票和選舉進行純數學意義上的研究的重要性。

   六. 上述社會選擇理論的意義所在

上述理論是現代民主製在進行社會選擇時的一個技術悖論。經濟學家詹姆斯·布坎南（James Buchanan），對此給出了解釋：現代民主程序的非理性（即邏輯悖論）指出了現代民主精神不會使任何個人的權益最大化。也就是說，現代民主的非理性是由於各個利益集團你爭我鬥、討價還價的結果，因此缺乏邏輯上的內在一致，看上去荒唐又悖理。但這才是民主與獨裁的最大區別，獨裁可以有高度的個人理性，但那隻是獨裁者的個人利益最大化。真正的自由民主製是不會產生任何個人利益的最大化的製度。

布坎南給出了立憲的基本原則。他認為，人的本性有好有壞，但“在設計政治製度及對憲法確定若幹檢查和控製條款時，每個人都必須被當作無賴，他的所有行為除了追求私人利益外，別無其他”。生命的本質是自身的生存與繁埴，也就是自私的。這些自私的人一旦在公共領域裏掌了權，必然會損公肥私，即使大多數人是大公無私的，但隻要有人自私，損公肥私就必然發生。因此，“立憲的一個重要原則就是──掌權者必將濫用政治權力去促進其特殊利益；這是事物和人性的自然趨勢，這是目的在於保障個人自由的所有製度特別要防範的”。

布坎南還認為，當對政治行為參與者的道德約束失去了其應有的效力時，民主政府必須限製赤字，以保證政府對稅收應負的責任。布坎南還得出這樣的結論：“利益集團之間不受約束的政治鬥爭不可能促進分配公平的種種目標”。社會必須適當的製度安排，來製約利益集團之間的競爭，使利益集團之間的競爭能達成公共利益。