chatgpt的答案有誤？

盒中有3球，1黑2白，依次取2球第1球取出顏色未知，餘下二球中取第2球是白球，問盒中第3球是黑球的概率？

據說下麵是chatgpt的解答：

在這種情況下，我們可以使用條件概率來計算盒中第三球是黑球的概率。

事件A表示第一次取出的球是黑球，事件B表示第二次取出的球是白球，事件C表示盒中第三球是黑球。

首先，計算事件A和事件B同時發生的概率，即P(A ∩ B)。由於第一球顏色未知，所以取出白球的概率為：
P(白球) = P(白球|黑球) * P(黑球) + P(白球|白球) * P(白球) = (2/3) * (1/3) + (2/2) * (2/3) = 4/6 = 2/3。

然後，計算事件A和事件B同時發生的概率，即P(A ∩ B)。在第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的情況下，
即事件A和事件B同時發生的概率為：P(A ∩ B) = P(黑球) * P(白球|黑球) = (1/3) * (2/3) = 2/9。

最後，根據條件概率，我們有P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)。其中P(A ∩ B|C)表示在第三球是黑球的條件下，
第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的概率，因為每次取球都是獨立的，所以P(A ∩ B|C) = P(白球|黑球) = 2/3，
P(B)我們在前麵已經計算出來了。

將這些值代入公式中，我們得到：

P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3。
B因此，盒中第三球是黑球的概率為1/3。

按我的理解，chatgpt的解答是有問題的。我以為1/2才是正確的答案。下麵試圖用不同的方法給出答案。

不妨假設三球分別放在3個不透明的口袋中，口袋依次標號1，2，3。

方法1：打開標號為2的口袋，發現是白球。這時1號和3號口袋完全是對稱的，各自含黑球的概率是相等的，都是1/2。

方法2：就用chatgpt的方法。事件A表示第一次取出的球是黑球，事件B表示第二次取出的球是白球，事件C表示盒中第三球是黑球。也就是說
事件A表示口袋1中是黑球，事件B表示口袋2中的球是白球，事件C表示口袋3中是黑球。注意P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(A)，因為第一個是黑球，
第二個必然是白球，即P(B|A)=1，所以根據條件概率公式，

P(A|B)=P(A∩B|B)=P(A∩B)/P(B)。P(B)=2/3, P(A∩B)=1/3，故P(A|B)=(1/3)/(2/3)=1/2。
類似有P(C|B)=1/2。
 
不知道chatgpt中的P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3從何而來。A ∩ B表示第一個是黑球，第二個是白球，那麽第三個必然是白球，即
P(C|A ∩ B) =0，怎麽會是1/3？