有趣的概率問題 三

三 Monty Hall 問題

 

1

 

Monty Hall是一個電視節目的主持人，他在美國的電視上主持一個名叫 Let’s Make a Deal 的電視節目，就是讓我們做個交易吧。

主席台上有三扇門，主持人事先在每扇門後各放了一個禮品。其中一扇門後是一輛名貴跑車，而另外兩扇後麵各有一頭漂亮的驢。主持人告訴大家：現在隨機抽取一位幸運觀眾，由他隨意選一扇門，門後的禮品就是他的獎品。很顯然，名貴跑車是大家心中的期盼。

幸運觀眾甲選好一扇門牌，門尚未打開。主持人在剩下的兩扇門中有意打開了一扇有驢的門，然後問幸運兒，願不願與剩下的門交換。這位觀眾撓撓腦袋，拿不定主意。

聰明的讀者，假如您是那個幸運兒，是換，還是不換？

 

2

 

這的確是一個有意思的問題。有人給當時IQ最高的Marilyn vos Savant寫信請教。Marilyn vos Savant是IQ在吉尼斯的記錄保持者，其IQ高達228分。Marilyn vos Savant信中說，應該換，並且解釋說：如不換，他得到跑車的概率是1/3，換以後得到跑車的概率將升至2/3。這封信發表在1991年Parade雜誌的“Ask Marilyn”欄目中。

不料想，這樣一封信，就象一陣風，吹皺了一池春水。或者更準確地說，是掀起了軒然大波。

當時有不少數學家和統計學家加入了聲討Marilyn vos Savant的行列。他們認為Marilyn vos Savant犯了很低級的錯誤，有人甚至要求Marilyn vos Savant為所犯的錯誤向公眾道歉。而事實上，犯錯的不是Marilyn vos Savant，而是他們自己。

為什麽會這樣呢？因為這有悖於大家的直覺。

直覺是什麽呢？一般人的直覺是，既然跑車在剩下的門中，換與不換沒有差別，每個門後有車的概率就都是1/2。

 

3

 

為什麽直覺是1/2呢？很可能是大家忽略了主持人是有意打開了一扇有驢的門。如果主持不是有意，而是隨意也就是隨機打開一扇門，碰巧發現是頭驢，這時換與不換沒有差別，答案都是1/2。

我們用（X，Y，Z，T）表示：一號門後有X，二號門後有Y，三號門後有Z，主持人打開的是T號門。為敘述方便，我們不妨假設觀眾選中了一號門，於是我們的樣本空間就是下麵的六種情形，每一種情形的概率都是1/6。

1：（車，驢，驢，二）

2：（車，驢，驢，三）

3：（驢，車，驢，二）

4：（驢，車，驢，三）

5：（驢，驢，車，二）

6：（驢，驢，車，三）

假如主持人隨機選了一扇門，比如二號，碰巧發現是頭驢，這就意味著情形1或者情形5發生了，這時車在一號門與在三號門是機會均等的，換不換沒差別。

 

4

 

假如主持人有意打開一扇有驢的門，就不可能出現前麵的情形3和情形6，隻有下麵的四種情形了，其中情形1和2發生的概率分別是1/6，情形3和4發生的概率分別是1/3。
1：（車，驢，驢，二）
2：（車，驢，驢，三）
3：（驢，車，驢，三）
4：（驢，驢，車，二）
這時如主持人打開了二號門，就成了情形1或情形4了，這時由條件概率公式，可以得出車在三號門後的概率是2/3，在一號門後的概率是1/3。

 

5

 

還有一個比較明顯的理由：車在一號門後的概率是1/3，而在另外兩扇門後的概率是2/3。由於主持人有意把有驢的門打開了，另一扇門後有車的概率就是2/3了。  

這和Bertrand的盒子悖論是不是非常類似？算得上是異曲同工了。