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有趣的概率問題 五

(2022-01-13 06:12:23) 下一個

  兩個信封問題

 

1

 

有兩個一模一樣的信封,裏麵都裝有現金,其中一封是另一封的兩倍。你可以隨便選取一個信封,其中的現金是你的獎品。在你還未打開選好的信封之前,問:要不要換成另一個信封?

 

換,還是不換?

 

2

 

決定換還是不換,準則隻能是另一封信裏的錢是否更多。

 

如何知道另一封信裏的錢是否更多?在沒有打開信封之前,不可能知道裏麵有多少錢,那是一個未知數,或者準確一點說,是個隨機變量。對待隨機變量,我們無法事先知道它的精確值,但有時能算出它的數學期望值。數學期望值,實際上就是我們常用的平均值。如果知道隨機變量的概率分布,就可以算出它的數學期望值。比方說,如果隨機變量X可以取值ab,其期望值E(X)就是E(X)=ap+bq,其中pq分別是X=aX=b的概率。因為X隻取ab兩個值,必定有 p+q=1。粗略地說,如果你不知道隨機變量的精確值,往往可以用期望值代用。

 

 

3

 

如何計算信封裏現金的期望值呢?下麵是一段推理,稱之為推理一。

 

1:用A表示所選信封裏的現金。
2A是小錢的概率是1/2A是大錢的概率也是1/2
3:用X表示另一封信裏的現金,則有p = P(X=2A) = 1/2, q = P(X=A/2) = 1/2
4:所以X是一個隨機變量,其數學期望值為E(X) = (1/2)(2A)+(1/2)(A/2) = (5/4)A
5:因為E(X) > A,換是合理的選擇。

 

這段推理有問題嗎?似乎每一步都合情合理,中規中矩。

 

假如推理正確無誤,那麽再問:想不想換回原來的信封? 

 

又該如何是好?

 

 

4

 

細想的確有點不對勁,但問題出在哪裏呢?

 

先看第4步。從期望值的計算來看,信封裏的現金變成了要麽是大錢2A,要麽是小錢A/2,大錢小錢之比是4,明顯和原題有出入。原題中的大錢小錢之比是2

 

4步的計算來自第3步,所以我們看第3步。第3步說,另一信封裏的現金是大錢和小錢的概率各占一半,並無不妥。

 

再看第2步。有問題嗎?

 

有!

 

細思極恐,問題就出現在不經意的細節。

 

不錯,A是小錢和大錢的概率的確都是1/2,但大錢和小錢是不同的值,用同一個數A表示容易引起誤解,後麵的錯誤就是源於此處。實際上A是一個隨機變量,它是大錢和小錢的概率各占1/2

 

 

5

 

我們換一個思路,看下麵的推理二。

 

兩個信封,一個裏麵的現金是B元,另一個是2B元。用Y表示所選信封裏的現金數,則Y是一個隨機變量。我們有 P(Y = B) = 1/2P(Y = 2B) = 1/2。這裏可以看出,Y是大錢時它的值是2BY是小錢時它的值是B,不能簡單的用同一值表示。

 

X表示另一信封裏的現金數,則有 P(X = 2B) = 1/2P(X = B) = 1/2。所以E(X)=(1/2)(2B) + (1/2)B = (3/2)B。同樣,E(Y)=(3/2)B

 

兩個信封裏現金的期望值一模一樣,交換不帶來任何好處。

 

6  

 

下麵的領帶問題是一個變種,同樣有趣。

 

情人節過後,兩個男人在酒吧見了麵,每人都打了一條新領帶。甲說:很高興見到你,瞧我太太給我買的領帶,又便宜又好。” 乙說:可不是嗎,我太太給我的領帶更便宜更好。於是兩人頂上嘴了,都宣稱自己的太太更加賢惠能幹,買的領帶更加實惠合適。好在兩位都是紳士,決定用打賭的方法解決爭端:誰的領帶貴就把領帶送給對方。

 

甲心裏想:如果我輸了,輸的是我的領帶,如果贏了,就是贏更貴的領帶,輸和贏的概率都是1/2,因此期望值總是正數。這個賭隻贏不虧。” 於是甲非常高興。

 

乙也是同樣的想法,自然眉飛色舞。

 

為什麽會這樣呢?

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評論
梅華書香 回複 悄悄話 好文章
longbridge 回複 悄悄話 很多概率問題 可以用數學方法計算出來,例如買彩票或開賭場。但有些情況下出現的概率令人感到匪夷所思。我有一次給掛鍾換#7電池時,不慎將電池從2米多高處掉落下來,奇跡出現了,電池竟然豎直站在地上。這個概率小到什麽程度又該如何計算?
cys254 回複 悄悄話 如果輸了,輸的是太太的心意,這個比領帶值錢多了。
內務府 回複 悄悄話 奇怪,怎麽發出來貼,隻剩了一半。算了,不發了。
內務府 回複 悄悄話 領帶價格分別是X和Y;贏輸可能1/2;手裏拿X領帶的人打賭的期望值是1/2 * 0 + 1/2 * Y = Y/2. 隻有在X
6ba6 回複 悄悄話 有意思, 謝謝分享!
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