有趣的概率問題 二

二 囚徒的困惑

 

1

 

某監獄關押著甲乙丙三個囚徒。有一天他們被告知：獄方已在他們之間隨機抽取一人執行死刑，剩下的兩人將被無罪釋放。

 

囚徒甲心裏忐忑不安，悄悄向看守打聽：乙和丙肯定有一人會被釋放，能不能告訴他乙和丙當中哪一個會被釋放呢？如果乙和丙同時獲釋，就請看守偷偷以投公平硬幣的方式決定說乙或丙釋放。

 

看守想了想，回答說：不錯，他們當中有人會被釋放，但我不能告訴你，因為這對你不利；一旦我告訴了你乙或者丙被釋放，你自己被刑罰的可能就從1/3變成了1/2，這對你太不公平了。

 

甲聽了迷惑不解。他知道看守所說似是而非，卻又不知錯在哪裏。

 

聰明的讀者能幫甲解惑嗎？

 

2

 

假如甲是這樣問看守的：乙是我的好朋友，請你告訴我，乙會被釋放嗎？

 

如果看守說：是的，乙的運氣不錯，要被釋放了。

 

在這種情形下，甲受刑罰的概率是多少呢？

 

為方便起見，我們用(A,B,C)表示甲，乙，丙抽到的結果分別為A，Ｂ和C，比如(罰,放,放）就是甲受刑罰，乙和丙釋放。這樣就有三種可能的結果：(罰,放,放)，(放,罰,放)，(放,放,罰)。

 

現在知道乙釋放，就是(罰,放,放)和(放,放,罰)二者之一發生了，而且二者是等可能的，這時甲受刑罰的概率的確變成了1/2，這或許就是看守的想法？

 

但是請注意，這個問題和原來的問題不是一回事。原來問題的答案是乙或丙，現在的答案則是放或罰。

 

3

 

我們用(A,B,C;D)表示甲，乙，丙的結果是A，Ｂ，C以及看守透露的是D釋放。這時可能的結果是：(罰,放,放;乙)，(罰,放,放;丙)，(放,罰,放;丙)和(放,放,罰;乙)。

 

假如看守說乙要釋放，就意味著可能結果是

(罰,放,放;乙)和(放,放,罰;乙)二者之一。但是現在兩者不是等可能的，所以答案不是1/2。

 

(罰,放,放;乙)發生的概率是(1/3)(1/2)=1/6，(放,放,罰;乙)發生的概率是1/3，所以在看守告知乙被釋放的條件下，甲受罰的概率是(1/6)/(1/6+1/3)  = 1/3。

 

甲受罰的概率依舊是1/3，並未如看守所說變成了1/2。

 

 

4

 

假定看守已經知道乙將被釋放。如果看守不是用扔硬幣的方式，而是加進強烈的主觀因素，在乙和丙同時獲得釋放的情況下總說乙釋放，這樣(罰,放,放;丙)就不可能出現了，於是隻有下麵三種可能：(罰,放,放;乙)，(放,罰,放;丙)和(放,放,罰;乙)。這時看守說乙釋放好像真的表明甲受罰的概率是1/2。

 

這豈不是說乙真能主觀改變甲受罰的概率？

 

問題變得很有趣了……