從《巴塞爾問題》的一種解法看數學之美

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從《巴塞爾問題》的一種解法看數學之美

什麽是倒數勾股定理？直線型的數軸和曲線型的圓有什麽關係？

昨天（2021年元旦），在油管上看到了《巴塞爾問題》的另類解法，大呼好酒。以下是視頻鏈接，建議有興趣的讀者花20分鍾看一看https://youtu.be/d-o3eB9sfls。這裏，我簡評一下，作為新年的小花，獻給大家。

巴塞爾問題（Basel Problem）由意大利數學家門戈利（Pietro Mengoli）於1644年（也有一說是1650年）提出，由大名鼎鼎的瑞士數學家歐拉在1735年解決。問題很簡單：求所有自然數的倒數的平方和，即：

S = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... + 1/n^2 + ...

看完視頻後，不由得擊掌為快。曾經的五講四美年代，哪四美記不清了。但數學之美，至少是3D型的。哪3D呢？麵容、身材和心靈？讀者的眼睛是雪亮的，請見仁見智吧。

先看一看這個問題本身的結構之美。

平方一下，還平方一下，再平方一下……

加一點，接著少加一點，繼續少加一點……

規律吧。就這麽規律得像輝煌的太陽，每天早上八九點鍾，準時流連在年青的你的發梢。漂亮吧。就這麽漂亮得像燦爛的銀河，每天晚上八九點鍾，按點飄逸在青春的你的頭頂。簡單（簡潔）吧。就這麽1、2、3地數下去，就那樣4、5、6地加下去，簡單得連小學生都看得懂。然而，就這麽簡單，就這麽眉清目秀，就這麽具有挑戰性---端坐在那裏，連續九十年、三代人，無解。

再看看數學的思維之美---看看他如何天馬行空，卻又長纓在握，抽象和具象相結合，幾乎完美地解決了這個問題：

先是合乎邏輯，由pi（抱歉，不會打那個希臘字母pai）走向圓；
繼而突發奇想，聯手其物理兄弟，點了幾盞小燈：

1) 倒數平方定律（光強和距離的平方成反比）

2) 初中平麵幾何兩個定理（倒數勾股定理和四點共圓定理);

3）化圓為方，變有限為無窮（數軸就是一半徑無限大的圓）；

最後，用部分（個數）對等總體（個數）原理（這是一似非而是的原理，被作者四兩撥千斤，略施輕功，就運展了一回乾坤大挪移），將問題一舉解決。

整個解題過程，恰如翼德兄於百萬數中，取上將pi值，探囊取物耳。

多說幾句，這個證明太漂亮了。麵對一個複雜的高數問題，用簡單的初中知識，庖丁解牛般拿下，借用刁參謀長的名言：阿三哥（Sanderson，3Blue1Brown的創始人）不愧是開學館的，證起題來滴水不漏，佩服，佩服！反過來看一看，現今又有多少“大師”，把簡單明瞭的問題，包裝成不知所雲的學術論文。以此對比，誰是大師，誰是大神，高下立判。

數學，還富含哲理之美。

數字，看起來枯燥，其實是有生命的。那一串串無窮單調數字，何止包藏著燈塔？誰能說，他們不是照亮你在黑夜裏前行的火炬、不是陪伴你風雨窗前的蠟燭？他們是你，是我，是人類的心靈之光。雖然微弱，卻數不勝數，從無窮遠走來，又向無窮遠走去。最後，竟超越無窮，回歸成一個有限的、小小的，和諧的圓。

美女，我所欲也。美圖（我給數學取的別名），亦我所欲也。二者可否得兼？To be, or not to be? That is the question.

列位看官作何思想？我的答案是，肯定有解，而且有多組解。不過，如果有無窮多組解呢？那……那就吃不完，兜著走了。再擴展一下，如果把美酒也拽進來（原來，3D之美，是這三美啊---嘻嘻），那又如何走呢？三角戀啊，也許可借著酒勁，飛走......？

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