權翼
金融產品的量化分析
上篇帖子中，我們為讀者講解了作為期權風險係數的希臘字母中的第一個字母Delta。
讀者還記得Delta是期權價格相對於標的股票價格變化的敏感度。期權的Delta不是固定不變的，會隨標的股票價格、波動率、股息率、和無風險利率等其它變量變化而變化。而在期權風險係數中描述Delta相對於標的股票價格變化的敏感度，就是我們這一節的主題：Gamma。
Gamma的定義
Gamma的理論定義為期權的Delta相對於標的股票價格的變化率。通俗來講，在其它變量恒定前提下，當股票價格發生微小變化時，期權Delta的變化量就是Gamma。
舉例來說，在期權計算器默認頁麵，我們得到如下結果：
以看漲期權為例，此時：Delta＝0.5858，Gamma＝0.0130，這意味著如果股票價格上漲$1，看漲期權Delta將變為0.5858＋0.0130 ＝ 0.5988。
我們用計算器繼續進行驗證，將股票價格從100調整為101：
重新計算後，我們得到：
股票價格變化後，看漲期權Delta變為0.5986，和我們預期的0.5988非常接近。
如果我們進一步研究，就會發現Delta隨股票價格的變化並不是線性的。事實上，準確來講Gamma描述的是Delta變化的曲率。
我們下麵偷用一個以後會詳細介紹的高級工具－希臘字母動態圖－來從視覺上直觀了解一下Delta和Gamma的關係。讀者可以打開期權計算器，在頁麵默認狀態下，將頁麵上移，讀者可以看到在計算器基本輸出、輸入模塊下，有一個圖形顯示區，這就是期權初學者可以充分了解期權動態特性的希臘字母動態圖。
如上圖所示，橫坐標選擇的是股票價格(從20以下到180以上)，縱坐標顯示的是看漲、看跌期權Delta值。圖中可以看到，看漲、看跌期權Delta隨股票價格的變化是兩條平行的上行曲線，看漲期權Delta位於(0, 1)之間，看跌期權Delta位於(-1, 0)之間。除去深度實值和深度虛值(股票價格遠遠偏離平值100)部分比較平坦外，曲線基本為凹型向凸型轉換，意味著Delta的變化由緩慢逐漸加快，達到峰值後，又逐漸減緩。Delta的這種變化速度用下麵的Gamma圖顯示就更清晰了。(讀者隻需在圖右側取消Delta選項，選擇Gamma即可)。
顯然，Gamma在股票價格極低和極高(深度虛值和深度實值)時趨近於零，在接近平值附近時迅速飆升，達到峰值後又迅速回落。這和上麵的視覺觀察是一致的。(Gamma的具體峰值和很多變量有關，包括距到期日時間，這裏暫不作詳細論述)。
那麽在現實中，Delta變化的快與慢，Gamma值的高與低，有什麽實際意義呢？我們嚐試從Delta作為對衝比率這一內涵來解釋：
- Delta作為對衝比率
從上麵定義中我們知道，在股票價格變化相同情況下，Gamma高的期權Delta變化大且快，Gamma低的期權Delta變化小且慢。
當投資者用標的股票對期權策略進行Delta對衝而實現市場中性時，投資者需要隨時關注股票價格變化。當股票價格變化稍大，原來的組合就會偏離中性狀態，投資者需要及時買入或賣出適量的股票，使組合恢複中性，避免股票價格帶來的市場風險。在連續市場(價格連續，時間連續)，這樣的動態Delta對衝操作還是可行的；但在真實市場中，價格經常表現為跳躍式的波動，尤其在閉市後重新開市，價格經常出現大幅跳開，此時組合會因為偏離中性而帶來策略設計中所未期待的損益。
為預警或避免這種情況的出現，交易員在監測組合的淨Delta值時，還需要監測組合的淨Gamma值。Gamma值高(正或者負)，意味著在相同的股票價格變化下，組合更多的偏離市場中性狀態，也就是麵臨更多的價格風險。
Gamma的特性
同Delta一樣，Gamma也會隨股票價格、距到期日時間等因素變化而變化。在以後的希臘字母動態特性專題中，我們會更加詳細的探討Gamma的變化規律。以下簡要介紹幾個特性。讀者可以在期權計算器中，自己加強練習。
- 買入期權，Gamma為正；賣出期權，Gamma為負
對於同質(相同標的、相同到期日、相同行權價)的看漲、看跌期權，Gamma值是相同的。由上麵的Gamma圖我們看到，買入期權時，Gamma永遠為正；反之，當賣出期權時，Gamma則為負值。這一點很重要，它意味著當我們買入期權時，不論看漲還是看跌期權，我們均獲得Gamma多頭，當股票價格上漲時，Delta上漲；當我們賣出期權時，我們獲得Gamma空頭，當股票價格上漲時，Delta下降。
- 平值附近期權Gamma較高
通常來講，平值附近期權的Gamma較實值或虛值期權高。如下圖所示，橫坐標為行權價，標的股票價格為100；Gamma峰值出現在105左右。
波動率上升，Gamma下降
如下圖所示。橫坐標選取為波動率。
- 平值期權在到期日臨近時，Gamma飆升
如下圖所示，橫坐標選取距到期日時間，左側為到期日。
讀者要注意，上麵的特性隻適合平值附近的期權，對於深度實值和深度虛值期權則恰恰相反。例如下圖顯示的是行權價為120的虛值看漲期權，臨近到期日時Gamma迅速衰減。
Gamma是你的朋友
上麵基本特性中，我們講到買入期權，Gamma為正，獲得Gamma多頭。
正的Gamma代表股票價格上升時，Delta上升；股票價格下降時，Delta下降。如果我們將Delta看作我們以期權組合代替標的股票的比率，上麵的描述可以重新歸納為：當股票價格上升時，我們持倉股票數量增加；當股票價格下降時，我們持倉股票數量減少。這看上去是一個非常不錯的交易方式！
我們回顧本節最開始的例子：當股票價格由100變為101時，看漲期權的Delta由0.5868變為0.5986，也就是如果我們持有一個看漲合約，以相應的股票計算，我們的持倉由58.68股上升為59.86股，增加了1.2股。相反，如果股票價格有100下降為99，Delta將由0.5868下降為0.5727，即相應的股票持倉下降為57.27股，減少了1.4股。
顯然，當股票價格上升，股票持倉自動增加，而當股票價格下降，股票持倉自動減少，這正是投資者理想的投資模式。現實中，的確有很多專業期權交易員和機構，利用低成本的交易優勢，通過這種方法獲利。在專業期權交易中，這種方法稱為Gamma交易(Gamma Scalping)。下麵我們通過實例幫助讀者理解。
假設我們構建一個如下的市場中性策略，以期權計算器默認值為例：
- 買入一個平值看漲期權，價格12.82，支付現金12.82 x 100 = 1282; Delta為0.5858
- 同時賣出58.58股標的股票，收入現金100 x 58.58 ＝ 5858
當股票價格變動，我們根據期權Delta的變化進行動態Delta對衝：
- 當股票價格上升為101時，期權Delta為0.5986，需要重新賣出1.28股以實現市場中性。收入現金：101 x 1.28 ＝ 129.28。
- 當股票價格下降回100時，期權Delta返回0.5858，需要買入1.28股；付出現金：100 x 1.28 = 128。
- 當股票價格繼續下降至99時，期權Delta為0.5727，需要買入1.31股以實現市場中性。付出現金：99 x 1.31 = 129.69。
- 當股票價格上升回100時，期權Delta返回0.5858，需要賣出1.31股；收入現金：100 x 1.31 = 131。
在上麵四次的對衝交易中，我們的操作實際都是低買高賣；因此為我們帶來了129.28 － 128 － 129.69 ＋ 131 ＝ 2.59的利潤。
上麵的例子告訴我們，當我們同時擁有Gamma多頭和市場中性組合時，不論股票價格上漲還是下跌，在動態Delta對衝操作中，實現了標的股票的低買高賣，從而為組合帶來盈利。細心的讀者在反複練習中可以發現，Gamma交易中盈利的大小和Gamma值是正相關的。因此深入了解Gamma的動態特性，為期權初學者研究最佳交易機會，又提供了一個有效的訓練領域。
與Gamma多頭相反，當投資者賣出期權時(看漲或看跌)時，Gamma為負值，交易者獲得Gamma空頭。此時，依照上麵同樣操作，不論股票價格上漲還是下跌，交易都會帶來虧損。
至此，讀者可能會設想：如果我們都買入期權獲得Gamma多頭，再利用股票實現Delta對衝，那麽我們不是就可以獲得無風險的穩定盈利了麽？但是常識又告訴我們天下沒有免費午餐，那麽上麵的Gamma交易風險究竟在哪裏呢？
其實在眾多的期權風險係數當中，Gamma還有一個形影不離的孿生兄弟，那就是描述期權時間損耗的Theta。 從基礎知識中，我們知道期權的價值是內在價值和時間價值的總和。在其它變量恒定前提下，隨著時間推移，期權的時間價值逐漸衰退，直到到期日時，衰退為零。當投資者買入期權後，實際上是在每天支付Theta賬單。現在我們就明白了上麵Gamma交易中，投資者還麵臨Theta風險。
下一節關於Theta的解釋中，我們會詳細探討Theta的特性，以及如何合理配置Gamma與Theta，從而在Gamma交易中獲得交易優勢。
