在市場的浪潮中，價格起伏如潮水。
有人認為它全憑運氣，有人相信它是理性的結果。
上世紀七十年代，布萊克（Fischer Black）、舒爾斯（Myron Scholes）和默頓（Robert Merton）提出了一個驚人的想法：
即使未來無法預測，我們也能用數學為風險定價。
從那一刻起，金融世界第一次有了能度量不確定性的工具。
這就是著名的 Black–Scholes–Merton 模型（Black–Scholes–Merton Model, BSM）。
隨機漫步與布朗運動
想象你蒙著眼走路，每一步要麽前進，要麽後退，概率各一半。
這就是隨機漫步（Random Walk）。
股票價格的變化也是如此，看似雜亂無章，卻有統計規律。
布朗（Brown）觀察到花粉在水中不斷抖動，那是分子不停撞擊的結果。
股票價格也像那顆花粉，被情緒、政策、資金和新聞不斷撞擊。
這種連續但不平滑的運動，便是布朗運動（Brownian Motion）。
由於股票價格不會為負，科學家提出了幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion, GBM）。
它假設價格的對數變化率服從正態分布。
以蘋果公司為例，若當前股價 180 美元、年收益率 8%、波動率 20%，
一年後股價落在 150 至 220 美元之間的概率約為 68%。
雖然未來方向未知，但可能性可以被數學刻畫。
黑舒爾斯默頓模型：風險的價格
BSM 模型最重要的一個結果是認沽認購平價（Put–Call Parity）：
C + PV(K) = P + S
看漲期權（Call Option）加上行權價現值（PV(K)）的價值，
等價於看跌期權（Put Option）加上股票現價（S）。
假設蘋果股價 180 美元，一年期行權價 180 美元的看漲期權價格為 10 美元，
無風險利率為 5%，行權價現值為 171.4 美元。
若看跌期權價格為 5 美元，則 C + PV(K) = 181.4，而 P + S = 185。
套利者會買入便宜組合、賣出貴的組合，市場最終回到平衡。
Black 公式（Black’s Formula）則將模型擴展到遠期合約（Forward Contracts）。
例如黃金遠期價格 2000 美元、波動率 20%，一年期行權價 2000 美元的看漲期權價值約 120 美元。
這樣，商品、外匯、利率市場的風險也能精確定價。
所有衍生品——看跌期權、價差期權、蝶式結構——都可以通過若幹看漲期權組合出來。
理解一個 Call，就能推導整個衍生品宇宙。
隱含波動率：市場的溫度
期權價格中蘊藏著市場對未來波動的預期。
這個隱藏的指標叫隱含波動率（Implied Volatility）。
如果把不同執行價的隱含波動率畫在圖上，會看到一條“笑臉曲線”，
這就是波動率微笑（Volatility Smile）。
2020 年三月，美股暴跌。
標普 500 看跌期權隱含波動率從 15% 飆升至 80%。
投資者蜂擁買入保護性看跌期權，曲線出現明顯傾斜。
隱含波動率成了市場的體溫計。
溫度高意味著恐慌，溫度低意味著貪婪。
希臘字母：風險的語言
期權價格受到許多變量影響。
希臘字母（Greeks）是用來衡量這些敏感度的工具。
Delta 表示期權對標的價格變動的敏感度。
假設你持有特斯拉看漲期權，Delta 為 0.6，股價每漲 1 美元，期權漲 0.6 美元。
做市商會賣出 0.6 股對衝風險，這稱為 Delta 對衝（Delta Hedging）。
Gamma 衡量 Delta 的變化速度。
當期權接近到期時，Gamma 會急劇上升，交易員必須頻繁調整倉位。
Theta 表示時間價值的流逝。
Theta 為 -0.03 意味著每天損失 3 美分。
賣方喜歡時間的流逝，買方則希望時間停滯。
Vega 衡量波動率對期權價格的影響。
財報前，隱含波動率上升使期權變貴。
Rho 則衡量利率變化的影響，對長期期權尤其重要。
數學的魔法：伊藤引理
伊藤引理（Ito’s Lemma）是連接隨機路徑與定價模型的橋梁。
如果股票價格遵循幾何布朗運動：
dS = μSdt + σSdz
那麽函數 f(S, t) 的變化為
df = (μSf? + ½σ²S²f?? + f?)dt + σSf?dz
由此可推導出著名的黑舒爾斯默頓偏微分方程（Black–Scholes–Merton PDE）：
∂V/∂t + ½σ²S²∂²V/∂S² + rS∂V/∂S - rV = 0
隻要期權價格符合這個方程，市場中就不存在無風險套利。
這個方程與物理中的熱傳導方程（Heat Equation）完全等價。
時間像溫度，波動率像熱量。
財報前的市場就像被加熱的金屬，波動率上升使期權價格同步升溫；
財報公布後熱量消退，波動率下降，期權價格回落。
二叉樹模型：離散的近似
Cox–Ross–Rubinstein 二叉樹模型（CRR Model）把連續的市場過程離散化。
每一步股票要麽上升 u 倍，要麽下降 d 倍。
以阿裏巴巴為例，當前股價 80 美元，一年後上漲 10% 或下跌 10%。
行權價 80 美元的看漲期權，上漲時價值 8 美元，下跌時為 0。
無風險利率 5%，期權現值約 3.8 美元，與 BSM 模型幾乎一致。
在 CRR 模型中，還可以在每個節點計算 Delta 與 Gamma，
得到一張完整的風險敏感度地圖。
美式期權：自由的價值
歐式期權（European Options）隻能在到期行權，
美式期權（American Options）則可以在任意時刻行權。
這份自由，本身就有價值。
在不派息股票上，提前行權通常不劃算。
但在派息股票上，如沃爾瑪，
除息日前的股息現值有時大於剩餘時間價值，
提前行權反而更優。
投資者常用反向歸納法（Backward Induction）尋找最佳時機。
從到期日往前推，每個節點比較“立即行權”和“繼續持有”的價值，
取更高者作為最優策略。
路徑依賴期權：價格的記憶
有些期權不僅取決於最終價格，還取決於價格的路徑。
亞式期權（Asian Option）按平均價格結算，
適合原油與外匯市場，可平滑短期波動。
障礙期權（Barrier Option）在價格觸及某一水平時激活或失效。
它們讓投資不再是一個瞬間，而是一段旅程。
期權的現實與策略
期權已成為風險管理和策略性建倉的核心工具。
基金經理用看跌期權保護投資組合，
做市商用 Delta–Gamma 對衝維持中性，
散戶用小倉位看漲期權博取杠杆收益。
特斯拉股價從 120 美元漲到 250 美元，
行權價 180 美元的看漲期權從 5 美元漲到 70 美元。
這是杠杆的力量，也是風險的鏡子。
同樣的結構也可以反向使用，成為穩健收益策略。
今天我賣出了 FIG 的看漲期權，行權價 50 美元，獲得權利金 4.5 美元。
當前 FIG 股票價格為 55 美元。
表麵看似冒險，實則邏輯清晰。
Adobe 曾在 2022 年宣布以約 200 億美元收購 Figma，
市場普遍認為對應估值約為每股 50 美元。
雖然交易最終未完成，但 50 美元成了心理錨點。
若 FIG 股價穩定在 50 到 55 美元區間，
賣出 50 行權價的看漲期權既可賺取 4.5 美元權利金，
又能在被行權時以 45.5 美元的有效成本買入股票。
如果股價不跌，我賺權利金；
如果被行權，我以折價買入。
這筆交易的結構簡單，卻體現了理性期權思維：
在確定的邊界內，利用概率和時間獲得優勢。
當然，沒有哪筆交易是完全無風險的。
若市場重估 FIG，或消息刺激價格突破，
賣出期權者仍需承擔被迫交割的風險。
理性的投資者在收益前，先設計好退出的路徑。
期權的力量不在預測，而在選擇。
它讓投資者定義自己的勝負條件，
在不確定的世界中找到可控的秩序。
布萊克、舒爾斯和默頓沒有預測未來，
他們隻是告訴我們，未來的可能性可以被量化。
風險不再是恐懼，而是一種度量。
每一次價格波動，都是市場在說話。
"以阿裏巴巴為例，當前股價 80 美元"
隻有前半段是年初或去年寫的才有可能，那時候BABA還徘徊在80左右。