《海邊拾貝·西格爾的故事之二》

《海邊拾貝·西格爾的故事之二》

【摘譯自馬庫斯·杜·索托伊的《素數的樂音：探索最偉大數學之謎》】...但是哈代不滿足於直覺。他和李特爾伍德發掘了一種精確計算零點的方法。...這個算法利用黎曼發現的（澤塔函數）相對於1/2數軸的左右對稱性。他們的方法結合歐拉推導出的高效能方法，對無窮級數的求和值進行漸近估算。到1920年代末，他們成功地找到138個零點。像黎曼預言得一樣，它們全都在1/2的數軸上。但是哈代和李特爾伍德公式也走到頭了。它不可能精確計算出更遠些的零點。

看來這些計算再也無法往前推進。哈代的數學分析證明有無窮多的零點在這臨界線上。感覺上，如果有偏離臨界線的零點，它們隻能在很遠的地方。李特爾伍德曾經演示過，素數這種奇怪的東西會隱藏天機一直到極其深遠的地方。結果，數學家不再去尋找零點的位置，而隻是專心研究（澤塔函數的）理論特性，來試圖揭開黎曼思想的秘密。

這一切卻因為一個意想不到的發現而改變了。西格爾那時在法蘭克福，正為黎曼猜想的研究犯愁。他收到數學史學家埃裏克·貝塞爾-哈根寄來的一封信。貝塞爾-哈根正在整理黎曼未發表的筆記。（黎曼去世後，）性急的管家燒掉了他很多文稿。黎曼的妻子愛麗絲好歹搶救了一些。她將大部分黎曼的科學文稿交給黎曼的好友兼同事戴德金。幾年後愛麗絲後悔了。黎曼的文稿裏會有些個人生活的隱私。...她要戴德金退回文稿，哪怕裏麵隻是有一丁點購物單和朋友的名字。

戴德金把最後剩餘的文稿存在哥廷根的圖書館裏。貝塞爾-哈根想從這些檔案中的文稿裏弄出個究竟，但是沒有頭緒。像很多數學家的隨筆一樣，這些文稿是一堆不完整公式和設想的亂麻。貝塞爾-哈根想到西格爾會不會更懂得給這些符號解碼。

西格爾寫信給哥廷根的圖書館管理員，要求參考一下黎曼的“遺產”。管理員就將這些文件寄到法蘭克福當地的圖書館。西格爾挺願意試試，因為他能從他自己研究的困境中轉換思緒出來。包裹按時到了。他趕忙去取。包裹打開，散開的文稿裏滿是繁瑣的數字計算。這些文件揭示一個長達七十年的假象。黎曼不是一個僅僅憑借直覺和概念，不尋求證據支持的數學家。麵對這些龐雜的計算，西格爾調侃道，“這就是黎曼最普適的道理。”

之前有些資曆較淺的數學家翻閱這些文稿章頁，想從中為黎曼猜想找些線索。但沒人弄懂那堆殘碎的方程式。最讓人困惑的是為黎曼怎麽會在業餘時間做這些大量的純算術。這是為什麽呢？隻有西格爾這種等級的數學家才懂得黎曼幹了些什麽。

看著這些文稿，西格爾明白黎曼遵循他的導師高斯的格言。高斯總是強調，一個建築師在蓋好一棟樓之後要把腳手架拆掉。西格爾手上拿著的脆薄的紙頁上滿滿都是計算。黎曼一生貧窮，還要養他的幾個妹妹。他隻能買低廉的紙張，還要將紙張上的空間利用到極致。黎曼是個計算高手。他的概念化的觀點正是建立在通過這些計算，找到實證的基礎上。有些計算沒有新意，比如將2的平方根算到小數點後三十八位。西格爾好奇那些他從來沒有見過的東西。清理這些亂糟糟的紙頁後，西格爾明白了。黎曼那是在算零點。

西格爾發現黎曼用一個特殊的公式來算澤塔函數零點的位置。公式的頭一部分基於哈化和李特爾伍德發現的同一個技巧。黎曼早了六十年知道了這方法。公式的另一部分完全是新的。黎曼找到一個更巧妙的無窮級數求和的辦法...

去世六十五年後，黎曼這位傑出的數學家還是甩了別人好幾條街。哈代和李特爾伍德錯誤地相信黎曼論文隻是一個啟發性的見解。其實那是基於實際的計算。隻是黎曼不想把他的計算告訴別人。幾年內，哈代的學生用西格爾發現的黎曼秘密公式證實前1041個零點都在臨界線上。而這個公式要到計算機時代真正體現它的威力。

很奇怪數學家們等了這麽長時間才意識到黎曼筆記裏有如比有價值的東西。他的那篇十頁紙的論文和他寫給其他數學家的信裏已經暗示他有些實貨。在論文裏他提到一個新公式，但是又說“這公式還沒有簡化到可以公開發表的程度。”哥廷根的數學家們研究他的論文有七十年了，卻沒有人知道幾個街道外（的圖書館裏）就有一個計算零點的神奇公式。克萊因，希爾伯特和蘭道都喜歡隨意評判黎曼，但誰都沒有去看一眼他留下來的未發表的“遺產”。

憑心而論，隻要看一眼黎曼的文稿就能知道這項（整理黎曼工作的）任務的艱難。西格爾寫道，“黎曼的關於澤塔函數的筆記裏沒有一點是寫好了，可以發表的。有時候，同一頁的公式完全對不上號。而經常是方程式隻有半拉子寫在紙上。”這就像仔細研究一部末完成的交響樂的初稿。最後的完工全靠西格爾的數學功力，從黎曼繁亂的筆記裏提煉出這個公式。它現在被命名為黎曼-西格爾公式，實至名歸。

因為西格爾的執著努力，我們看到黎曼的另一麵。黎曼確實倡導抽象思維和普適概念的重要性。但他也知道不能忽視計算和數值檢驗。黎曼從未忘記他的數學發仞於十八世紀的曆史傳統。

--寫於2019年6月22日 （圖片來自網絡）