老安遊記《瀏覽美國地理風光》第十六篇:後記
自從關於聖路易斯拱門的遊記(第十三篇:看奇跡)發布以來,收到部分讀者提出的要求,希望了解懸鏈線方程的推導過程。因為涉及到數學中的微積分運算和物理學中的力學分析,對學文科的朋友,可能帶來不便,所以沒有在正文中詳細敘述。但是考慮到學理工科的讀者,就把懸鏈線方程的推導過程編在本後記中,希望能夠兩邊兼顧,對有興趣的讀者有所幫助。
1. 懸鏈線方程的精確解
懸鏈線(Catenary)是一種常用曲線,物理上用於描繪懸在水平兩點間的,在均勻重力作用下的軟繩或鎖鏈呈現的形狀,因此而得懸鏈線之名,下圖是路邊常見的懸鏈線。
圖1. 路邊常見的懸鏈線
現有一根自然下垂的柔軟細繩,取垂直的 y 軸為對稱軸,x 軸為水平軸,如圖 2 所示。
圖2. 置於坐標軸中的懸鏈線
(i)弧長分析
設曲線 y = f(x) 在(x,y)點的微元弧長為ds,其水平與垂直分量分別為 dx 和 dy,其傾角為 ,如下麵圖 3 所示。
圖3. 細繩在(x,y)點的弧長分析
曲線的斜率為:
(1)
微元弧長為:
積分後,可求得弧長:
(2)
(ii)受力分析
從水平和垂直的兩個方向進行受力分析:垂直方向由於重力的作用,繩中張力 F 的垂直分力並不是處處相等,而是從最低處起(=0),逐漸增加。繩中張力 F 的水平方向無重力作用,因此張力的水平分力處處相等。
取細繩坐標為(x,y)的點進行受力分析:張力 F 的走勢與此處的切線相同,張力的垂直分力為此處細繩的重力 mg,而細繩的質量 m 等於線密度 ρ 乘以繩長 S,mg=ρg S,
再設張力的水平分力為 T,則此細繩在(x,y)點上的受力情況如下麵的圖 4 所示。
圖4. 細繩在(x,y)點的受力分析
從圖 4 中很容易看出,曲線 y = f(x) 在(x,y)點的斜率為:
(3)
(iii)微積分運算
把方程(2)中的 S 代入方程(3),得:
(4)
兩邊求導,得:
(5)
將方程(5)中的 f(x) 導函數,轉移至等號同側,得:
(6)
兩邊積分,得:
(7)
亦即
(8)
查閱導數與積分表,發現:
(9)
以 f'(x) 代替 x,方程(9)的成為:
(10)
寫成微分形式
(11)
把方程(11)的兩邊,對 f'(x) 積分,得:
對方程右端,考慮到方程(8),得:
(12)
完成右端積分,得:
(13)
這是反雙曲正弦函數,反過來,雙曲正弦函數為:
(14)
對方程(14)積分得:
(15)
為了求出方程右端的積分,令 ,即 ,則,
方程(15)的右端變成:
再查閱導數與積分表,發現 [coshx]'=sinhx,把上式對 z 積分,得:
再把 z 還原成 x,得:
因此方程(15)變成:
(16)
(iv)懸鏈線方程的精確解
由於我們選取對稱軸為y 軸,在 x=0 處切線呈水平,即 f'(0)=0,從方程(14)中得到sinhC1=0,進而C1=0。對於C2,沒有任何限製條件,可取任意值,去掉下標2後,得:
(17)
令常數 a = T /,方程(17)變成:
(18)
這就是懸鏈線方程最一般形式的表達式,也就是在街頭常見的懸鏈線照片中,嵌入圖中的那個懸鏈線方程(見圖1)。令人驚喜的是,德國數學家萊布尼茨(Leibnitz)和荷蘭天文學家惠更斯,於1691年分別獨立地給出了該問題相同形式的解。
2. 聖路易斯拱門懸鏈線方程的近似解
(i)精確解的困難
在精確的懸鏈線方程表達式中,有兩個常數需要確定,常數 c 很容易定,它決定曲線在 y 軸上的高低,不失一般性,可取 c = 0。但是常數 a 卻不容易定,它決定曲線在 x 軸上的張開度和曲線頂點在 y 軸上的縱坐標。
不幸的是,對於給定點的坐標(x,y),要想求出 a,必須要解一個關於 a 的,非線性的(Non-Linear) 隱函數(Implicit Function)形式的,超越方程(Transcendental Equation)。沒辦法,隻能用數值方法去逐漸逼近。
因此,所謂的“精確解”,也隻是個稱謂罷了,不同的位數達到不同的精度,但都是近似值。其實,雙曲餘弦函數的值,除了少數幾個特殊點之外,都是無理數,都是近似值,就看你想要的精度是到多少位了。
再進一步看,甚至有理數中的分數,1/3=0.333 … …, 1/7=1.412857142857 … …,也都是“無限”循環小數,並不是“精確值”,不同的精度要求,選取不同的位數。
對於一般的懸鏈線方程(18),有人假設 c = 0,對於每一個 a 值,算出一條曲線,對於不同的 a 值,算出一族曲線,如下圖所示,這項研究形象地顯示了常數 a 的影響。
圖5. 不同 a 值算出的懸鏈線曲線族
數值逼近的方法,隻有在計算機發展到一定程度時,才能付諸實踐,而計算機真正開發出來,是上個世紀八九年代的事情。聖路易斯拱門的建造是上個世紀六十年代,用數值逼近的方法去解拱門懸鏈線方程的精確解,非線性的隱函數超越方程,似乎不太可能。
科學技術的發展,都帶有時代性,聖路易斯拱門在建造時,連現代化的直立加橫臂的起重機(Crane)都還沒有,隻能利用已經建造好的“腳”,當作起重機的立柱,把預製好的三角單元,一塊一塊地疊加上去,見下麵的圖 6 和圖 7。
圖6. 聖路易斯拱門的單元結構圖
圖7. 聖路易斯拱門的中期施工圖
所以說,在聖路易斯拱門的建造過程中,使用某種近似方法,是不得不做的事情。我尚未看到當初建設者所寫的計算公式報告,而是根據目前所知的條件,推導出聖路易斯拱門懸鏈線方程的近似解。
(ii)尋找懸鏈線的近似解
如果能夠找到一個顯式的懸鏈線方程的近似解,在工程應用上就會方便得多。最簡單的假設就是:取雙曲餘弦符號內的 a = 1,因而前麵的懸鏈線方程(18),就可以簡化為如下的方程(1),(注:方程的編號在這節重新開始)。
y = c + a cosh x (1)
對於聖路易斯拱門,高度等於兩腳之間的距離,所以對於拱門的頂點,x =0, y = 1, 則方程(1)變成:
c + a = 1 (2)
對於拱門的右腳,x = 1/2,y = 0, 則方程(1)變成:
c + a cosh 1/2 = 0 (3)
方程(2)減去(3),消去 c ,解出 a:
a = 1 / [1-cosh 1/2] (4)
把(4)中的 a 值代入(3),解出 c:
c = - a cosh 1/2 (5)
再把(4)中的 a 和(5)中的 c 代入方程(1),得:
y = [cosh x - cosh 1/2] / [1 - cosh 1/2]
於是,y 作為 x 的顯函數,得:
y = 1 - [1 - cosh x] / [1 - cosh 1/2] (6)
根據雙曲餘弦函數的定義,
(7)
最後得到聖路易斯拱門懸鏈線的近似解:
(8)
這是一個 y 關於 x 的顯式方程,對於任意的 x 值,馬上可以求出對應的 y 值。
(iii)懸鏈線近似解的驗證
為了驗證這個公式,我們做出如下計算,在x = -1/2 和1/2 之間取21個點,由公式(8)所算出的曲線圖如下(圖8),毫無疑問,這是一條懸鏈線。
圖8. 取21個點所計算出來的聖路易斯拱門形狀
如果取更多的點,計算中取更多的位數,則曲線就會更加光滑,數值也就會更加精確,完全可以代替令人大傷腦筋的,非線性的,隱函數形式的,超越方程了。
3. 拋物線和懸鏈線的對比
我最近在網上查閱了一些有關聖路易斯拱門的文章,有人說,拱門的形狀是“拋物線”, 很可惜,這是個錯誤的認識。為此,我做了一個拋物線的計算,拋物線的方程選作如下的方程(9),以滿足和懸鏈線方程(8)相同的頂點和雙腳條件。
y = 1 – 4 x² (9)
如果 x 值都取有理數, y 值必定也都是有理數,所以拋物線的解是真正的“精確解”。如果把拋物線的結果與懸鏈線的結果重疊在一起,可以看出,相比於懸鏈線,拋物線比較“瘦”,如下麵的圖 9 所示。這裏的黑色實線是懸鏈線,紅色虛線是拋物線。
圖9. 拋物線與懸鏈線的對比
下麵的表1列出了懸鏈線和拋物線在 21 個點上的坐標值。
表1. 拋物線與懸鏈線的對比
從上麵表 1 中可以看出:拋物線總是低於懸鏈線,兩者之間的差別,在於小數點的第3位以後。懸鏈線是無理數,拋物線是有理數。總而言之,拱門的形狀,“看似好像拋物線”, “實則倒置懸鏈線”。
4. 編者的暫時告別
新年伊始,迄今為止,本人發布了三套係列主題遊記。從第二個千禧年的第二個十年,第一年第一個月的第一天 (2021.1.1),開始發布第一套:《走遍美國五十州》。五個月後 (2021.5.1),又開始發布第二套:《追尋美國總統的足跡》。再過三個月後(2021.8.1),開始發布第三套:《瀏覽美國地理風光》,現在已經全部與讀者見麵。
在這段時間裏,得到了許多網友的響應,有表揚也有批評,有補充也有糾正,筆者在此表示衷心的感謝。在讀者的殷切希望和熱情鼓勵下,逼得我不顧“老賣年糕”(侯寶林語:意為老邁年高),閱讀書籍,查找資料,勤動腦筋,客觀上推遲了“老年癡呆症”的光顧,看來是件好事。
另一方麵,這項工作對我來說,也是一種精力和體力的考驗:貪黑熬夜成了家常便飯,深夜夢裏突發奇想,一躍而起拿筆記下,否則第二天必忘無疑,也是常有的事。因此,下一段時間,打算調整一下心情,歇歇腳,喘口氣,然後再找點什麽由頭,繼續當我的“坐家”。
也可能換個方式打發時間,“萬卷書”是讀完了,是不是該走“萬裏路”了?一年多的疫情,把人都憋死了,現在情況已經有所好轉,打算邁開雙腳,拄起單拐,找個目標,走一走,看一看,去哪裏走,去哪裏看,再考慮考慮吧。
不論是家裏坐,還是出門走,總得考慮寫什麽主題呀?前麵的三套遊記,都是寫美國境內的,為何不考慮一下美國之外呢?再想想吧,也歡迎各位,幫忙出個主意,多謝了,再見。