和肖剛一起學習的日子

和肖剛一起學習的日子

李克正(771 研究生)

    自1977年認識肖剛後, 我和他一同在中國科技大學做了兩年的研究生, 後來雖然分赴美國和法國留學,仍經常通信切磋。肖剛對我一生的影響無疑是非常深刻的。

    2014 年6 月27 日,肖剛不幸因病去世。他的朋友們都深表惋惜, 很多人寫了紀念文章,我那時也匆匆寫了 4 篇。現在靜下心來,細細地回憶當年與肖剛一起學習的日子。希望讀者們能理解, 一個人一生中能有一個好同學是多麽的幸運。

1.我的新同學

    曆史的火車急轉彎的時候,總是有很多人被甩下去；但能抓住機遇的人, 卻可能跳上車頭。    

    1977 年, 我就得到了一次機遇,即高考的恢複。那時我已經過了28 歲,最寶貴的青春(從17歲到28 歲)都消耗在“文化大革命”及後來在蘇北農村插隊(近7 年)和在南京當工人 (2年多)。我希望將失去的時間盡可能追回一些, 辦法就是直接考研究生。

    但是 1977 年全國隻有中國科技大學和複旦大學招了研究生,而且都隻是數學係。複旦大學是教育部特別批準了15個招生名額, 而中國科技大學是中國科學院特別批準, 最終一共招了3名。我有幸得到了參加考試的機會(那時的信息還很閉塞, 我隻是在文匯報上看到複旦大學招研究生的新聞, 而直接給複旦和科大寫信都得到回複), 後來幾乎同時被科

大和複旦錄取,考慮後決定去科大。

    我是11月進入科大的,而肖剛10月就已經去了, 是“文革”後全國第一個入學的研究生, 我是第二個。我和肖剛的專業都是代數, 導師都是曾肯成先生。還沒入學就聽說我有一個同學。

    我和肖剛都是在蘇北農村插隊多年,在農村讀了不少書。曾肯成先生感慨地說: “那時我們都不做數學了, 沒想到你們還在做。”

2.“華山論劍”

    俗話說“不打不相識”, 我和肖剛最初的“華山論劍”是彼此出難題。幾個回合下來, 都發現對方是很難考倒的,可謂棋逢對手。從此不免惺惺相惜。但彼此出難題的習慣卻長久保持了, 即使在留學期間相互通信也常交換難題,並且都要作答後寄回。

    這樣我倆也養成了見難題就做的習慣, 從初等數學到大學本科水平的習題以至更深的習題都做。這習慣與導師也頗有關係:曾肯成先生是個出難題的專家。在中學時代我和一些同學喜歡做《數學通報》中的習題, 尤其喜歡“汀汲湘”出的題,到科大後才知道“汀汲湘”是曾肯成先生的筆名。在華羅庚先生發起的“數學小叢書”中, 本來曾肯成先生也寫了一本,名為《100個數學問題》(已有出版預告), 但原稿在“文革”中不幸散失。數學小叢書的主編江澤涵先生曾見過原稿, 評價非常高, 後來多次詢問我們能否找回原稿, 遺憾的是再也沒有找到,他自己也無法恢複了。江澤涵先生覺得非常可惜。

    每次我們去見曾老師,他總準備著幾個習題“招待”我們。一般我倆都要當場作答。一個人遇到大量難題總難免有做不出的時候, 但我倆在一起, 幾乎就是無堅不摧了, 記憶中沒有

一個題將我倆考倒的。

    題做多了,我倆不時也編一些習題。一般是在討論較深入時發現有趣的不平凡的問題。我們經常的工作方式是: 對問題初步研究提出一個猜想, 然後一個人努力證明, 另一個人則努力舉反例。這樣無論猜想對錯, 都可能解決, 解決後就得到一個習題, 一般都是好習題, 也較難。要是最終解決不了, 就記下來。按這樣的工作方式, 我倆經常要互相挑刺、爭論甚至挖坑設套, 形式上針鋒相對, 結果卻常常是聯手出題整人。我倆是樂此不疲的。

3. 學習環境

    這裏恐怕需要費些文字解釋一下,否則今天的很多讀者難以想象我們當時的學習環境。

    科大是在“文革”中“下放”到安徽的, 經過蕪湖輾轉到了合肥, 被“臨時”安排了兩處校址, 一是原合師院, 另一是原銀行幹校, 都不大, 周圍大部分地區是農村, 其他地方也不發達,算是郊區吧, 離市中心約有4公裏, 公交車很少, 我們進城常是徒步。記得當時為了發一個電報要跑到一公裏多遠的“南七裏站”。今天科大所在地已是很繁華的中心區了, 站在那裏很難想象當年的景象。

    “下放”多年,建設很少。就是那麽幾個舊樓, 其中一個還失過火, 被戲稱為“火燒樓”。很多大型設備運去後, 到我們入學時還沒有打開, 早已是鏽跡斑斑。在今天看來, 當時的條件是很差的。

    數學係在原銀行幹校, 就一個小樓。係裏在一樓騰了個房間作為肖剛和我的宿舍, 後來單墫也住在這裏。

    校外的人隨便出入, 有些農民進來做生意, 例如用大米換糧票。有一個瘋子經常在附近唱歌和塗鴉。有一回有人到我們房間偷東西, 被我們發現, 他還很凶, 後來扭送到派出所, 也沒怎麽處理。

    我們每人每月的生活費是36元, 比我當工人時的工資都高。學校食堂便宜, 也不用交房水電費, 還有地方洗澡。對我們這些插隊多年的“知青”, 這樣的生活條件是很闊了。

    肖剛比較靦腆, 常怕見生人, 遇到要和外人打交道的事往往會推給我。但他對熟人(尤其是朋友)卻是很熱心的。

    科大在“文革”中所受到的破壞, 盡管次於北大和清華, 也是很嚴重的, 所以遺留的問題很多。我們在科大學習時, 還有一些很“左”的人在位, 矛盾並不小, 隻是我倆一般可以回避。但一些人欺負曾老師, 我們是義憤填膺的。

    團組織通知我、肖剛和一個留校的“工農兵學員”(忘了名字)組成一個團支部, 我和肖剛商量選那個留校生為支書。第一次支部生活, 我首先提出團章規定25歲退團, 有工作需要可延遲到28歲退團, 但我已28歲, 無論如何該退團了, 肖剛說他也過了25歲所以也申請退團,而那個留校生說他也可以退團了。於是我們的第一個決議就是三人同時申請退團, 支部解散。

4. 課與討論班

    上學不上課, 恐怕大多數人都覺得荒唐。然而甫入學時, 科大並無適合我倆上的課, 當然更沒有專為我倆開課。而我倆樂得不上專業課。

    公共課呢?我的外語需要補,有老師說學校新開了一門外語課, 水平比較高, 讓我去聽聽試試能否跟得上。去了才知道, 不過是練練“This is”, “I am”之類口語的班, 回來跟肖剛一說他啞然失笑, 後來就把“水平比較高”當作一個嘲笑詞。當然後來我就不去了。

    公共課還有政治, 後來開課時老師通知肖剛、單墫和我參加, 到課堂上一點名沒有我們,為什麽? 我們恍然大悟這是為78 級學生開的政治課, 當然沒有我們。我們還是回去等著上77級政治課吧, 當然最終也沒上。

    就這樣, 我和肖剛在科大的兩年中一堂課也沒上。那麽怎麽學呢? 主要就是曾老師帶著我們開討論班。除了曾老師和我倆外還有些老師參加。對我來說討論班完全是新鮮的, 當然毫無經驗。不過一開始沒有我的報告任務, 就是肖剛一個人準備的報告。

    報告的領域是李代數, 主要用的書是萬哲先先生寫的《李代數》(被戲稱為“萬代數”)。我當時不知道為什麽要學李代數, 但以前沒學過總是應該學的。後來才知道,這是為學習李型群做準備。

    肖剛的報告一開始給我的印象就是胸有成竹。他首先對係列報告做了一個整體的介紹,說明有哪些具體課題。然後就逐漸展開,步步深入,很有條理。曾老師不時提出一些問題,

其他人也會問些問題。我當然一邊聽一邊讀書,準備將來自己也能講。這樣的學習效率很高。曾老師對肖剛的講法有很好的評價。

    此後不久, 曾老師指導我倆讀 R. Carter的Simple Groups of Lie Type (李型單群)。

    單群是有限群論中的一個核心課題。我16歲就學習抽象代數, 但那時對有限非交換單群隻知道5次以上的交錯群, 直到插隊時讀丟多涅的《典型群的幾何學》才知道了大批有限單群。肖剛19歲開始學抽象代數, 雖比我晚但起點高, 一開始就是讀 Serge Lang 的 Algebra, 該書不僅內容更新, 而且用的是範疇的語言, 而我隻讀過中文書, 知道的語言最新

也就是 1950 年代的“泛代數”,比肖剛要遜一籌。不懂範疇的語言, 就沒法學現代代數幾何,這是後話。

    1940-50年代發現有限單群主要靠典型群理論, 我國學者參與了這方麵的研究工作, 其中華羅庚先生的工作尤有影響, 在丟多涅的《典型群的幾何學》的參考文獻中, 華羅庚先

生的論文超過十篇, 而其他人(除丟多涅本人外)的論文不過一兩篇。到1950年代後期, 典型群這一途徑所能發現的已經都做完了, 但有限單群並沒有找完。1960年代國際該領域出現了一種全新的方法 ,即通過李代數構造有限群的方法, 源自Chevalley 的工作。遺憾的是, 由於“文化大革命”, 我國沒有學者參與這個方向的研究工作, 甚至很少有人知道。

    1977年數學界剛恢複研究工作, 段學複先生等群論專家提出先學李型群, 而 R. Carter 的 Simple Groups of Lie Type 是一本易懂的教科書。

    講這本書沒什麽困難。在講的過程中我們常常先在宿舍裏討論。為了搞清 B3 型 Weyl 群的結構, 肖剛還用紙做了立體模型。

    曾老師不時提出一些問題,我倆就這樣做了點小研究。例如有一次曾老師要我們算一下例外李代數的 Weyl 群的階 (書上有結果但無解釋), 我在寒假期間探討了F4 型 Weyl 群的結構, 給出一個正規群列,曾老師說“我聽得非常舒服”。後來肖剛和我分別對於 G2 型和 F4 型的一些問題(如多項式不變量)做了點研究。

    我倆一邊讀, 一邊在討論班講, 同時也把書翻譯了。本來譯書是為了讓我練英語, 但譯出後還真起了點作用,因為有些其他學校需要。後來我們就用複寫紙謄抄了多份(那時連

油印機都沒有), 在全國代數會議上分發給大家。

5. “科學的春天”

    “文革”期間可以說是“科學的冬天”,那時很多科學家無法做科學研究, 大學招的是“工農兵學員”。若沒有鄧小平的堅持, 隻怕直到今天大學招生還是“自願報名,群眾推薦, 領導審批,學校複審”那一套。

    我跟肖剛講過一些“工農兵學員”如何狂傲的故事, 後來成了他經常掛在嘴邊的笑話。

    “四人幫”倒台後,開了全國科學大會, “科學的春天”是郭沫若(科學院院長兼科大校長)在會上說的。

    “科學的春天”裏有什麽呢?首先是徐遲對於科學家的采訪,寫出的報告如“哥德巴赫猜想”非常有影響。影響有正麵和負麵的, 正麵的例如很多青年想學科學, 想上大學, 尤其是想上科大；負麵的例如很多人認為數學家都是書呆子, 走路要撞電線杆的。

    在這個背景下,科大招生有相當大的自主權, 多次派人到全國各地麵試, 除了研究生還有本科生, 後來還有少年班, 每次麵試都有新聞。

    記者們也沒少往科大跑。我和肖剛都是盡力回避, 學校也幫著擋駕, 但肖剛還是中了一次招。結果是一篇關於肖剛的報道登在報紙上了。對於今天的很多青年, 這真是巴不得的事, 可那時的我們是避之不及的。其實直到今天我也不認為出虛名是什麽好事, 因為中國最不缺的就是騙子。

    而在那時, 一篇報道的效果, 是情書如雪片般飛來。肖剛把這些情書攤開來展覽, 誰都可以來“欣賞”。不過有一封還附了照片的, 肖剛把照片寄回了。

    還有一個影響, 是很多青年給著名科學家寫信。其中確有些優秀的, 但不多。這種事“文革”中就有, 例如據說蘇步青先生那時就通信指導過15個青年。但在1978年後, 青年求學的道路已逐漸打開, 優秀的青年求學不一定要找科學家幫助了。此時一些科學家收到的信, 往往水平不高,甚至是“民科”級的。

    例如龔升先生(當時已是數學係主任)就經常收到這樣的信。他有一次批示:交肖剛、李克正處理。

    我們看了這些信,水平都不高。怎麽處理呢?考慮再三, 我們將原信退回, 並寫回信說龔升先生已閱過, 現寄還請查收,然後說些鼓勵的話。

6. 泡圖書館

    除了討論班和在宿舍裏讀書, 我和肖剛經常做的一件事是泡圖書館。

    盡管搬遷受了不少損失, 科大圖書館的藏書還是很豐富的, 而且泡圖書館的人不多, 所以我倆如魚得水。我倆都不是科班出身,沒什麽專業局限, 興趣廣泛, 在圖書館裏自然是“博覽群書”,包括雜誌。泡完了總還要借些書帶回去, 如果借的是過刊, 那是很厚很沉的。

    有一天我們泡完圖書館回宿舍,正遇到77級本科新生入校,他們坐在大巴上看到我倆各抱著一大摞書經過, 紛紛感歎說科大的學生這麽用功, 我們一定要努力。我們沒想到竟然會有這樣搞笑的影響。

    即使在周末, 隻要圖書館開放我們也會去。記得有一次圖書館不開放, 但我們看到有一些老師進出, 其中有我們認識的方勵之教授, 他是我哥哥的大學同學, 我去科大時哥哥向他做了介紹。於是我們找方教授幫我們進去, 就這樣又泡了半天。

    在圖書館裏我們讀的書很雜。例如美國數學月刊, 都是比較通俗易懂的文章, 還有很多有趣的習題,我們經常讀。還讀過很多邏輯推理題的書, 邊讀邊做鍛煉邏輯思維。

    當年插隊時我的夢想是有學習的機會。而我對大學的期望, 一是有高水平的導師, 二是有幾個誌同道合的同學, 三是有個好圖書館。我的這個觀點頗得插隊友的讚同,但恐怕與

今日青年們的想法相距甚遠吧。

7. 肖剛教我英語

    前麵說到沒有適合我上的外語課,那麽我怎樣學外語呢? 肖剛說還是我來教你吧, 我當然非常樂意。於是肖剛就開始對我嚴格訓練。

    首先, 肖剛肯定我的語法還行, 給了我很大的鼓勵。但我實在是個很不合格的學生, 例如肖剛要我背單詞,說一天背不了一千個, 背五百個總可以吧, 我說天哪, 我一百個也背不了。而且我背了的還經常忘,所以肖剛每次檢查都不合格。

    這裏還有一個小插曲。曾老師因研究密碼與總參三部有合作項目, 為了幫助我學外語, 擬用總參撥來的課題經費買台錄音機, 讓我設法到南京去買(那時經濟上是個短缺時代, 很多東西不是有錢就能買到的)。我托人買到了, 花了300元, 但財務不但不給報銷, 還把我們熊了一頓,意思是買這麽貴重的東西需要校領導批準 (後來是經過層層審批多個校領導簽字才得以報銷)。現在看來這財務規定很荒唐,一般學校對於這種“橫向”課題經費的使用規定已很簡單。但今天財務上的一些規定, 也許將來人們也會覺得很荒唐吧。

    有了錄音機,肖剛就通過自己裝的高靈敏度收音機錄了美國之音等電台的英語練習資料,如《湯姆索亞曆險記》 , 《奧亨利短篇小說選》等, 讓我聽寫。錄音都很清晰, 但我一開始

基本上隻能抓住一些零散的詞, 幾乎連不成句子。反複聽了以後才能夠寫出個大概, 還有不少錯誤, 這遠不是合格的, 必須寫到一個詞都不錯才行。肖剛同時還布置我做很多練習,

還有背單詞, 並經常考我。記憶中每次我都考不及格。雖然我是肖剛的差生, 但我心裏有數: 其實我進步很快, 隻是不能跟肖剛比。

    就是這樣被肖剛拖著拽著,兩個月後我已經可以和他一起翻譯 Carter 的書了(但書中的前言,曾老師說必須肖剛翻譯,因為不能“略輸文采”)。

    一年後, 國內開始成批派遣出國訪問學者和留學生。為此先舉辦了全國性的外語考試, 學校讓我和肖剛都參加了。肖剛考了87 分, 是安徽考區的最高分。我的成績聽說隻有 68

分, 有點沮喪, 但學校很滿意(後來定的及格線是 50 分,甚至一些沒及格的人也被派遣出國了)。在出國前我參加外訓班, 老師竟把我看作班裏最好的學生之一。後來出國也沒有遇到

語言上的困難, 足見肖剛的訓練法之高明。

8. “三劍客”

    單墫和我同時考科大的研究生, 但卻遲遲沒有錄取, 原因是“政審”出了問題。

    這問題是:單墫的檔案裏寫著,他的姐姐是“特嫌” , 即有特務嫌疑(請讀者別往諜戰劇上聯想)。

    這樣的“問題”在今天看來實在荒唐:首先,“嫌疑”若不能定案是不能寫入檔案的；其次, 即便真是特務, 也得說明犯罪事實和性質；再次,姐姐的問題怎能牽連到弟弟考研? 然而當時就是這樣。

    至於他姐姐是“特嫌”的理由大略如下。單墫小時候, 家裏住在南京城南的一個老式院子裏, 這種院子房挨房,都是木板房且逼仄。他們家的一個鄰居是個孤苦伶仃的老太, 單墫的姐姐待她好。後來老太因有“海外關係”移民香港,這樣的人都有“特嫌”, 而單墫的姐姐跟她關係好也就傳染了“特嫌”。

    由於這個原因,單墫盡管中學時成績拔尖, 高考隻考上揚州師院, 而且畢業後考研考不上。但其中的原因, 直到考科大後才知道。

    即使在當時, 大家也都知道這個“問題”完全是扯淡, 但領導不敢拍板。總拖著不行啊,如果不錄取趕快告訴人家,還可以考別的學校。係裏也著急,後來是盯著校領導挨個簽字, 總算通過了。

    單墫來了, 我們的宿舍更熱鬧了。單墫是解題高手, 而我和肖剛又喜歡做題, 所以那段時間做了很多題, 例如美國數學月刊上的題，Putnam大學生數學競賽題, IMO 賽題等, 我們

還編過二十多屆IMO題解, 當時有個公司拿去說要出版, 後來沒出也沒拿回原稿。

    我們的宿舍在辦公樓裏, 經常人來人往, 有些老師常來坐坐,不時帶些題目來給我們做。這些題目我們都會一個不漏地給出解答。後來有些老師幹脆就把待解習題順路放在我們宿舍, 過兩天來取答案。久而久之,楊勁根戲稱我們的宿舍為“中國科大解題中心”。

    題做多了, 我們也不時編些整人的題, 這樣就形成三人論劍的局麵。常常是兩人討論出個題目再去考第三個人, 而第三個人也不是省油的燈, 往往做出來後還會把問題改得更難再回敬給二位。這樣編出的習題可能相當難。

    例如有這樣一 個 組 合 題 : 設S是一個n元集, S_1,...,S_m 是S 的非空子集(m > n)。證明存在這些子集的兩個組(兩組無公共子集)使得它們具有相同的並。

    為了中學生容易理解我把問題改為:在一個數學競賽中共有n個試題, 有m個參賽者(m>n),每個人都至少做出1題。他們可以組隊,一隊人中有一個人做出某題就算該隊做出這個題。證明必可組成兩個隊(一個人不能同時參加兩個隊), 使得兩隊做出的題目相同。

    這原是美國數學月刊上的題, 原解答長達3頁, 然而肖剛讀後發現解答有誤。為此他重做了一個解答,長達1 頁。後來單墫利用線性代數做了一個非常簡單的證明, 證明的思想源自李代數理論中的精妙方法和曾老師由此編的初等習題。

    我曾和單墫商量, 基於我們編的習題出一本高等代數習題集。單墫覺得這樣的習題集怕是沒人做, 就擱下了。我後來在《抽象代數基礎》中放入了我們出的一個習題(附有解答),

卻不料被人拿去當論文發表了。

    為了發表這類初等問題,肖剛擬了一個我們三人共同的筆名“肖韌吾”(意為小人物)。後來我和肖剛用得很少,單墫卻用此筆名發表過不少文章, 而且在我和肖剛出國後還繼續發。聽說後來有人據此稱我們為“三劍客”, 有點意思。

9. 全國代數會議

    1978年4月,全國代數會議在北京師範大學召開。這樣的學術會議由於“文革”而停辦了十餘年。

    曾老師帶我們去參加了這個會, 前一段時間的學習可以說是為參加這個會議做了準備。這個會議主要是大家一起讀李型群, 主要是讀 Carter 的書。

    在會上我們認識了很多國內的代數學家, 記得有段學複、萬哲先、張禾瑞、曹錫華、郝鈵新、佟文廷、王仰賢等前輩, 還有年輕的一代如戴宗鐸、劉木蘭、馮緒寧、李根道、陳誌傑、邱森等等。鍾家慶也在會上做了個報告。

    我覺得這個會的主要作用是激發了國內代數學界重整旗鼓的決心。肖剛和我在會上也做了報告。段學複先生說肖剛和我的報告“給了與會者很深的印象。我們很高興地看到, 國內代數學界後繼乏人的情況已經開始改變。”

    會議期間組織大家去十三陵。其間我和肖剛又一次“曆險”。

    大家去的是定陵, 肖剛和我想去個沒去過的地方, 看看昭陵不遠, 就走過去了。

    昭陵年久失修, 多有殘破, 瓦上長著草。旁邊的一塊空場上有一群外國人,看來是某國使館來郊遊的。一些孩子們在賽球, 不知什麽原因起了爭執, 一個大人過來勸說, 肖剛翻譯他說的是“友誼第一,比賽第二”,哈哈。

    我們照了幾張照片, 忽然蹦出一個警察,說我們拍了外國人,要我們把膠卷曝光。那樣我們損失就大了,於是我據理力爭。怎麽說都說不通, 肖剛有些怕了, 說給他算了, 我堅持不給,但也不硬頂, 打定主意采取“磨”的戰術, 不知磨了多長時間, 也許不止半小時, 警察給磨疲了,自己也說這麽遠的距離不可能拍得清楚, 我自然順著說下去, 警察看看時間不早了, 說別耽誤你們回去, 就放過了。回去後曾老師開玩笑說肖剛“立場不堅定”。

10.留學去

    “改革開放”的一個重要舉措是派遣留學生。1979 年, 我和肖剛都在科大的派遣名單中。

那段時間, 我和肖剛已在讀Humphreys的線性代數群, 該書采用代數幾何的方法研究代數群, 書後有一個附錄簡單介紹代數幾何。我和肖剛越讀越覺得代數幾何非常要緊, 而在我國非常薄弱。所以說到出國留學, 我倆是打定主意非代數幾何不學, 而且要學好了帶回來。對此我倆不僅目標非常明確,而且意誌非常堅定。

    去哪個國家呢?美國、蘇聯、法國都是代數幾何強國, 但當時和蘇聯的關係還不大適合派遣留學生。曾老師說,你們兩人不要去同一個國家, 一個去美國一個去法國。肖剛想了

想對我說, 看來隻能你去美國我去法國了。是的, 我那時英語都還不行, 再學一門法語實在勉為其難。而肖剛很快就將法語學得很好了。

    出國後我們經常通信,互相報告學習情況。我和他都是一開始就參加討論班, 很多東西聽不懂。記得肖剛有一封信裏列出一大堆不懂的術語,還有一次因需要讀 SGA4,說簡直是天書。在相當長的時間裏,我倆仍像以往那樣互相啟發和幫助。當然,我倆不久就都渡過了難關,此後不僅可以讀“天書”,甚至也可以寫一點。

    此外,在通信中我倆還不時互相給出些習題, 其中頗有些很重要的習題。這些習題都不很初等, 但在我的印象中還沒有做不出的。

    我倆畢業後都回國工作, 而且傾注了很大的精力於人才培養。

 

《科大瞬間》文學城編輯部

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