我所了解的吳文俊先生

第79期 | 胡森 781

我所了解的吳文俊先生
胡森 781

恩師吳文俊先生兩年前仙逝。每每念及，音容笑貌仍栩栩如生。他與人為善、平等待人的處世態度，令人銘記在懷。他的學術研究工作深刻且富於原創性，令人歎為觀止。

吳文俊先生

示性類領域的學術貢獻

吳先生以數學為畢生誌業， 他最重要的成就在於對示性類的研究。J. Milnor 所著《Characteristic Classes》無疑是該領域最重要的著作，影響了上個世紀六七十年代眾多數學家，被拓撲學家奉為聖經。而該書主要內容，則源自吳先生的博士論文。我的一位學生在巴黎訪問期間，偶然見到一本吳先生的博士論文，如獲至寶，買來贈我，我才得以細讀。

吳先生將示性類歸為三大類，即Stiefel-Whitney類、Pontryagin類和Chern類，他給出了示性類組合的定義，並厘清他們之間的關係。Milnor的著作隻給出了抽象的構造，而忽略了組合的構造性定義，留下很大的遺憾。構造示性類的基礎是分類空間Grassmannian的同調與上同調，Pontryajin用的是同調，陳省身先生用上同調並可用曲率來定義，吳先生在陳先生和法國導師Ehresman工作的基礎上， 給出了示性類的組合定義。吳先生1965年考慮Composite Grassmannian上的Chow環，成功地在帶奇點的代數簇上定義了陳類。他這項工作以中文發表，不久就因為“四清”運動和文革被迫中斷。MacPherson 1974年用完全不同的方法(Mather建議的Nash blowup）也在代數簇上定義了陳類。吳先生的組合方法更容易定義，更方便計算，其優勢值得進一步挖掘。

吳先生的博士論文封麵

吳先生在示性類領域的另一項重要工作是定義了吳類。吳類作為模2不變量，與Stiefel-Whitney示性類可相互導出，二者在配邊理論有基本應用。不過最近的研究表明，吳類可以在帶奇點的空間上定義，而Stiefel-Whitney類則無法做到。1996年Witten使用吳類研究M理論中M5膜的構造，後來又用於研究作為D膜荷的K理論。這些工作被Hopkings-Singer提練為吳結構，是構造spin Chern-Simons理論的關鍵。三維spin Chern-Simons理論是理解分數量子霍爾效應的基礎。在拓撲絕緣體研究中，Kitaev建議用K理論分類，而K理論與一般示性類的主要區別在於torsion部分，吳類在這裏又起到重要作用。吳先生的工作被廣泛應用於弦論和凝聚態研究，吳類和吳結構已與Yang-Mills, Chern-Simons, Calabi-Yau等工作一起載入史冊。

其他領域的開創性工作

吳先生在中國數學史和幾何機械化領域也作了開創性工作。在數學史研究方麵，吳先生確立了這樣的原則：從數學史的客觀史料出發整理出規律，而不是簡單用現代的數學概念來解釋曆史上的數學工作。這一原則看似平淡，在吳先生深厚的古文與數學功底之下被發揮的淋漓盡致。吳先生挖掘出九章算術背後的數學理論，例如出入相補法，並提出中國傳統數學構造性特點。吳先生將中國傳統數學求解多變量多項式方程組的方法用於初等幾何定理的機器證明，取得了巨大成功。最近的一些研究表明，與其他算法如Grobner基算法等相比，吳算法可能在求解稀疏多項式方程組方麵有優勢，在大數據時代可能更有用。值得注意的是，吳先生的構造性數學思想也體現在拓撲與幾何的研究裏，貫穿於吳先生一生的工作中。吳先生對研究中的盲目跟風頗有微詞，他的很多工作都是構造性的，並有極強的原創性，是數學工作的典範。

吳文俊先生

吳先生一些原創性的工作，剛開始並不為大家所理解。比如幾何定理機器證明。其背後是計算代數幾何，計算效率是關鍵之一。吳先生的工作還可用於微分多項式係統。為驗證其算法的可行性，吳先生五十多歲開始學習計算機編程。他的工作後來得到美國符號計算與自動推理學界的承認，並榮獲大獎。吳的算法還在不斷發展中，可能在新一代大數據計算中發揮作用。

與人為善的處世之道

吳先生為人謙和，淡泊名利，與人為善，提攜後學。我本人有幸多次得到他的鼓勵與幫助。

我1983年從中國科大本科畢業後，經彭家貴老師推薦，到科學院係統所成為吳先生最早的碩士生之一。我在研究生期間，跟隨吳先生在機器證明方麵做了一些工作。當時吳先生身邊是很需要人的，我卻想出國深造。吳先生得知我的想法後欣然同意，尊重我的選擇，並推薦我到普林斯頓大學數學係攻讀博士學位。再後來，我尋求回國工作機會，吳先生又大力支持我入選中科院百人計劃，於2001年回到中國科大任教。2010年中國科大籌劃成立中科院吳文俊數學重點實驗室，吳先生一如既往給予支持，還欣然題詞：“祝中國科大為數學強國貢獻巨大力量。” 後來雖取得了一些成績，但距離吳先生厚望還有不小差距，慚愧！

2010年吳先生題詞

記得在1996年，我曾到當時的美國數學會主席F. Browder家中做客閑談。中間他提到吳先生七十年代末成立係統所，與華先生的數學所抗衡，我頗感意外。事實上，吳先生與華先生關係融洽，相互尊重。吳先生對於成立機構、擔任行政管理工作並無興趣。據說當時有人希望吳先生擔任係統所所長，吳先生表示如要他當所長，他加入係統所就免談。吳先生此前一直在數學所工作，是數學所的棟梁，1956年與華羅庚、錢學森同獲首屆國家自然科學一等獎。華先生1957年被打成不公開的右派，在數學所處境不佳。1958年科大成立，學術環境比較自由，華先生遂將工作重心轉到科大。華羅庚、關肇直、吳文俊三位先生分別主持了科大數學係58、59、60三個年級的學生培養，那三屆科大學子如今分別被稱為華龍、關龍、吳龍。華老六十年代在科大成立數學所，吳先生是第一位受邀進所的研究員，後來因文革停止活動。科大數學所1978年在合肥恢複，2010年又以科大數學所為基礎，成立了中科院吳文俊數學重點實驗室。

除去數學前沿領域突破性工作之外，吳先生還組織大量的學術活動，讓無數人受益。華老的大弟子陸啟鏗研究員曾長期參加吳先生的討論班，他生前多次說過他的微分幾何是跟吳先生學的。吳先生五十年代初講de Rham定理的證明，後來講高維Riemann-Roch公式的工作，陸先生都積極參加，七十年代初陸先生就意識到物理中的規範場就是微分幾何中的聯絡。楊振寧先生建立了規範場與整體微分幾何的全麵聯係，將數學與理論物理重新接上頭，堪稱當代科學研究裏程碑式的工作。華老的另一位弟子龔昇教授，中學階段就得到吳先生的指導，中學畢業時，吳先生贈送他一套微積分教科書。龔昇教授後來走上數學道路，與吳先生的影響不無關係。

今天我們緬懷吳先生，仍可深深感受到他的人格魅力與學術影響。先生之風，山高水長，雖不能至，心向往之。

作者在吳先生家中

文圖編輯：張家幹，劉揚，許讚華
排版編輯：許讚華，俞霄

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[務實小民]

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“雖不能至，心向往之。”，讚！